Диссертация (1145371), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Как обычно, переменная u обозначает значение точного решения в выбранной точке куба. Переменная u1 – значение, найденное154методом Монте-Карло. Величина ∆ обозначает статистическую погрешность, авеличина L – среднюю длину траектории.x1x2x3uu1∆L0.8 0.7 0.9 2.930 2.934 0.015 1980.5 0.5 0.5 1.500 1.481 0.023 2600.8 0.5 0.7 2.290 2.285 0.020 2090.4 0.3 0.6 1.450 1.440 0.019 2520.5 0.6 0.5 1.610 1.606 0.024 2470.3 0.4 0.3 0.850 0.839 0.019 2710.1 0.1 0.1 0.220 0.219 0.006 1650.1 0.1 0.8 1.620 1.618 0.008 1710.9 0.9 0.8 3.220 3.222 0.011 1070.3 0.8 0.4 1.530 1.522 0.019 189В качестве примера вычислений функционала рассматривалось вычисление среднего значения функции u(x) в кубе.
На выборке объёмом 10000 получены следующие результаты: среднее значение u = 1.672; статистическаяпогрешность ∆ = 0.025; средняя длина траектории ∆ = 179. Фактическая погрешность вычисления среднего значения не превышает 0.005.Зависимость длины траектории от параметра δ характеризуют следующие результаты вычислений.δ 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9L∇L211021792493233934655466208177707470728174Незначительные изменения разности назад ∇L для переменной L свидетельствуют о логарифмической зависимости средней длины траектории отпараметра δ.1553.3Краевые задачи для оператора ЛапласаПусть, как и ранее, D — ограниченная область в Rn , Γ — ее граница,D = D ∪ Γ — замыкание D, D1 = Rn \ D.
В данном разделе рассматриваются различные алгоритмы статистического моделирования, решающие краевыезадачи для уравнения Пуассона ∆u(x) = −f (x), как внутренние (в D), таки внешние (в D1 ). Для решения первой краевой задачи обычно используютстатистические оценки на траекториях случайных блужданий внутри области.Их недостатком является смещение, связанное с остановкой блуждания вблизиграницы и заменой точного значения функции в точке остановки на близкое кнему значение в граничной точке. Данное смещение при практических вычислениях трудно оценить. Альтернативные алгоритмы, основанные на решенииуравнений теории потенциала, оценивают лишь конечную сумму ряда Неймана, следовательно, тоже содержат ситематическую погрешность. Однако, еслиограничиться областями, которые являются многогранниками, то несмещёныеоценки построить можно на траекториях блуждания по полусферам.Одним из важных приложений алгоритмов блуждания по сферам иблуждания по полусферам является алгоритм Келлога [4] для определенияпервого собственного числа для первой краевой задачи.
Реализацию методаКеллога путем вычисления итераций оператора Грина стохастическими методами можно найти в работах [20, 21]. В монографии [35] статистические оценкипервого собственного числа краевой задачи получены дифференцированием попараметру из оценок для уравнения Гельмгольца.3.3.1Блуждания по полусферамВ данном параграфе рассматриваются различные варианты блужданияпо полусферам. Статистические оценки решений краевых задач, построенные156на траекториях этих процессов являются несмещенными, если область является многогранником. Для произвольной области с регулярной границей предполагается,что часть границы области, где задано условие Неймана, являетсявыпуклой.
В этом случае смещение будет обусловлено лишь досрочной остановкой процесса вблизи границы, где задано условие Дирихле. Изложение следуетработам [51], [14]. Аналогичные, но смещенные оценки, в областях с произвольной границей построены в работах Н.А.Симонова [45], [46].Пусть T — половинка шара радиуса R с центром в нуле в Rn , n > 3.Плоскую границу области T обозначим H, а сферическую — S. Пусть ∂T == H ∪ S. Рассмотрим задачу Дирихле∆u = −g,u|∂T = ϕ,u ∈ C 2 (T ) ∩ C(T ),ϕ ∈ C(∂T ).(3.3.1)Функция Грина G(x, y) задачи Дирихле (3.3.1) строится методом отражений иимеет вид1G(x, y) =(n − 2)σn11−−|x − y|n−2 |x − y|n−2Rn−2111− n−2−, (3.3.2)|x|(n − 2)σn |x∗ − y|n−2 |x∗ − y|n−2где x ∈ T , x∗ — точка, симметричная x относительно сферы S, x и x∗ — точки,симметричные x и x∗ относительно плоскости H.Если 0 < β < 1 и точка x лежит на оси симметрии полушара на расстоянии βR от его центра, то нормальная производная функции Грина по внутренней нормали к поверхности полушара имеет вид2Rβ11σy ∈ H,|x−y|n − (β|x∗ −y|)n ,nk(x, y) = 11 σR 1 − β 2 |x−y|, y ∈ S.n − |x−y|nn(3.3.3)Для любой функции u ∈ C 2 (T ) ∩ C(T ) справедливо интегральное пред-157ставлениеZZk(x, y)u(y) dy S −u(x) =G(x, y)∆u(y) dy.(3.3.4)T∂TОчевидно, что k(x, y) является плотностью вероятностей перехода по переменной y.
Представления, аналогичные (3.3.4), справедливы для произвольнойвнутренней точки, произвольной области T , граничные точки которой регулярны [8]. Для решения первой краевой задачи в произвольной замкнутой ограниченной области D с регулярной границей в пространстве Rn зададимся семейством областей T (x), x ∈ D, тогда представление (3.3.4) можно рассматриватькак интегральное уравнение в пространстве C(D)Zu(x) = P (x, dy)u(y) + F (x),x ∈ D,(3.3.5)Dгде субмарковское ядро P (x, dy) имеет плотность k(x, y).
Отметим, что функция F (x) должна учитывать как правую часть уравнения, так и граничныезначения ϕ(x).Пусть x0 = x, x1 , x2 , . . . — цепь Маркова с переходными вероятностямиP (x, A). Вообще говоря, это обрывающаяся цепь. На траекториях цепи стандартным образом строится последовательность ξi (i = 0, 1, 2, 3, . . .) несмещенных оценок для u(x). Пусть N — момент перехода цепи в поглощающее состояние (N = ∞, если цепь не обрывается), N ∧ i — минимум из N и i, ηi — несмещенная оценка для F (xi ), тогдаξi = u(xN ∧i ) +NX∧i−1ηj ,n = 1, 2, 3, . . . .(3.3.6)j=0Свойства траекторий цепи и свойства оценок можно исследовать методами главы 1.158Блуждание по полусферам в многогранникеПусть область D является многогранником. Для каждой внутренней точки области определим d(x) — расстояние от x до границы области D и точкуx0 ∈ ∂D, ближайшую к x .
В качестве подобласти T (x) выберем половину шарас центром в точке x0 и радиусом R(x) = d(x)/β, если она содержится в D иx0 является ортогональной проекцией x на некоторую грань многогранника, впротивном случае D(x) — шар радиуса d(x) с центром в точке x. Ядро P (x, A)сосредоточено на границе выбранной области T (x) и имеет плотность k(x, y) вслучае полушара, либо определяет равномерное распределение на сфере. ЦепьМаркова, определяемую таким ядром, будем называть блужданием по полусферам.Лемма 3.3.1 Процесс “блуждания по полусферам” сходится с вероятностью 1 к точке, лежащей на границе области D.
Среднее число шагов довыхода процесса на границу имеет конечные математическое ожидание и дисперсию.Доказательство. Заметим, что координатные функции vi (x) являютсягармоническими, ∆vi (x) = 0 (i = 1, 2, . . . n). Значит, координатные функции —инвариантные для ядра P (x, A) и, в силу Теоремы 1.3.3, последовательность xiсходится к некоторому случайному вектору x∞ почти наверное на множественеобрывающихся траекторий.
При переходе из xi на сферу верно равенство|xi+1 −xi | = d(xi ), а при переходе на полусферу справедливо неравенство |xi+1 −xi | > min(1, β −1 − 1)d(xi ), поэтому d(xi ) → 0. Дальнейшее доказательство,для наглядности, проведем для трехмерной области. Пусть W — множество техточек x ∈ D, для которых T (x) является полушаром.Докажем, что существуют константы c > 0 и δ > 0, такие что для всехточек x ∈ D \ W часть полушара с центром в точке x0 и радиусом cd(x),159лежащая в некотором двугранном угле, величина которого больше δ > 0, содержится в W . Пусть ρ(x0 ) — расстояние до наименее удаленной от x0 точки,лежащей на грани, которой x0 не принадлежит.
Если x0 является проекцией xна некоторую грань многогранника, то ρ(x0 ) > min 1, ctg(α/2) d(x), где α —наименьший из двугранных углов многогранника, в которые входит выбраннаягрань. Если x0 не является проекцией x на какую либо грань многогранника,то x0 лежит на ребре некоторого двугранного угла γ. Выберем из граней, содержащих точку x0 , ту, расстояние d1 (x) от которой до точки x максимальное,тогда d1 (x) > d(x) sin(γ/2) и ρ(x0 ) > min 1, ctg(α/2) sin(γ/2)d(x), где α —наименьший из двугранных углов многогранника, в которые входит выбраннаягрань.
Таким образом, найдется константа c, такая что полушар радиуса cd(x)с центром в точке x0 и осью симметрии, перпендикулярной некоторой грани,в которой лежит x0 , лежит в области D. Искомым множеством является полушар радиуса βcd(x)/4, если x0 является внутренней точкой грани, четвертьшара, если x0 лежит на ребре двугранного угла, и долька полушара, вырезаннаядвугранным углом с ребром, проходящим через точку x0 перпендикулярно выбранной грани, если x0 является вершиной многогранника. При этом величинадвугранного угла равна плоскому углу грани с вершиной в точке x0 .Из доказанного утверждения следует, что существует положительная постоянная ε, ограничивающая снизу вероятность P (x, W ).
Для точек x ∈ Wблуждание выходит на границу области D за один шаг с фиксированной положительной вероятностью ε1 = ε1 (β). Пусть N — момент первого выхода блуждания на границу (N = ∞, если блуждание не выходит на границу за конечноевремя) и pi (x) = Px ({N > i}) (i = 0, 1, 2, 3, . . .). Очевидно, что для внутренних точек области D вероятность p1 (x) = 1.
В силу марковского свойства,160pi (x) =RP (x, dy)pi−1 (y) (i = 1, 2, 3, . . .), поэтомуDp2 (x) =1 − ε1 , x ∈ W,x∈/ W,1,Zp3 (x) =ZP (x, dy)(1 − ε1 ) +P (x, dy)p2 (y) =DZWP (x, dy)) 6V \W6 1 − ε1 P (x, W ) 6 1 − ε1 ε,и p3i (x) 6 (1 − ε1 ε)i .Следовательно,Px ({N < ∞}) = 1 − lim Px ({N > 3i}) = 1,i→∞и, в силу монотонности последовательности pi (x),Ex N =∞Xpi (x) 6 3i=12Ex N = 2∞X∞Xk=0ipi (x) − Ex N 6 18i=1(1 − ε1 ε)k = 3/(ε1 ε),∞Xk(1 − ε1 ε)k−1 = 18/(ε1 ε)2 .k=1Очевидным следствием доказанной леммы 3.3.1 является лемма.Лемма 3.3.2 Пусть F (x) ограничена и существует константа C, такаячто несмещенные для F (xi ) оценки ηi в (3.3.6) имеют дисперсию Dx ηi 6 C, иN — момент выхода “блуждания по полусферам” на границу области D, тогдаNP−1ξN = ϕ(xN ) +ηi является несмещенной оценкой для u(x) и Dx (ξN ) 6 C1i=0для некоторой константы C1 < ∞.Доказательство.
Из ограниченности дисперсий и функции F (x) следует ограниченность вторых моментов величин ηi константой C0 . Пусть M —наибольшее значение функции u(x), тогда1612Ex ξN= Ex= ExN−1X!2=ηi + u(xN )i=0N−1X!ηi2 + u2 (xN )+ 2Exi=0N−1Xηii=026 C0 Ex N + M + 2ExN−1X!ηj + u(x(N ))6j=1+iN−1Xηi u(xi+1 ) 6i=026 C0 Ex N + M + ExN−1Xηi2 + u2 (xi+1 ) 6 2C0 Ex N + M 2 (1 + Ex N ).i=0Моделирование траекторий и вычисление оценки решенияДля моделирования траекторий воспользуемся методом отбора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
