Диссертация (1145371), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Мы рассматриваем случай произвольной ограниченнойобласти D (как правило, не односвязной), такой что в D1 справедлива теоремасуществования и единственности решения задачи (3.3.11).Пусть Kρ — шар радиуса ρ с центром в нуле, такой что D ⊂ K ρ , и Sρ —его граница. При |x| > ρ для решения задачи (3.3.11) справедливо интегральноепредставление ([38, стр. 231]):1u(x) =σn ρZ|x|2 − ρ2u(y)dy S,|x − y|n(3.3.12)Sρкоторое можно записать в виде: n−2 Zρu(x) =p(x, y)u(y)dy S.|x|(3.3.13)SρФункцияp(x, y) =|x|ρn−2|x|2 − ρ2.σn ρ|x − y|n(3.3.14)является плотностью распределения (по переменной y), сосредоточенного насфере Sρ .Пусть R(x) = dist(x, Γ) – расстояние от точки x до границы Γ.171Определим в D1 марковский случайный процесс блуждания по сферамследующим образом.1.
x0 = x ∈ D1 .2. Если |xi | > ρ1 > ρ, то xi+1 распределено на сфере Sρ с плотностью p(xi , y).3. Если |xi | 6 ρ1 , то xi+1 распределено равномерно на сфере радиуса R(xi ) сцентром в точке xi .Поведение процесса описывает следующая лемма.Лемма 3.3.5 С вероятностью 1 блуждание по сферам сходится к случайнойточке, лежащей на границе Γ области D1 .Доказательство. Зафиксируем произвольную внутреннюю точку xe области D. Функция v(x) = |x − xe|2−n является гармонической в D1 и стремитсяк нулю на бесконечности. Пусть Bi — σ — алгебра, относительно которой измеримы случайные векторы x0 , x1 , . . . , xi .
В силу теоремы о среднем значении длягармонических функций и формулы (3.3.13) имеемxi ∈ K ρ1 , v(xi ),Ex v(xi+1 ) | Bi = n−2 |xi |v(xi ), xi ∈ Rn \ K ρ1 .ρ(3.3.15)Отсюда видно, что Ex v(xi+1 ) | Bi > v(xi ). Следовательно, {v(xi ); Bi }∞i=0ограниченный субмартингал, и {v(xi )}∞i=0 сходится с вероятностью 1 к положи∞тельной случайной величине. Значит, |xi − xe|2 i=0 сходится с вероятностью 1.Взяв две различные точки xe1 и xe2 в области D, видим, что последователь∞ность из разностей |xi − xe1 |2 − |xi − xe2 |2 i=0 сходится с вероятностью 1. Поэтому, сходится с вероятностью 1 последовательность скалярных произведений{(xi , xe1 − xe2 )}∞i=0 и, следовательно, сходятся проекции векторов xi на произвольное направление, т.е.
сходится сама последовательность {xi }∞i=0 . Обозначим еепредел x∞ .172Поскольку при переходе на сферу Sρ траектория блуждания совершаетскачок |xi+1 − xi | > ρ1 − ρ, то она с вероятностью 1 становится траекториейблуждания по сферам начиная с некоторого момента времени. Поэтому, R(xi ) == |xi+1 − xi | → 0 с вероятностью 1.Построим последовательность несмещенных оценок ξi = ηi u(xi ) для u(x).Случайные величины ηi вычисляются по формулам: η0 = 1, ηi+1 = ηi ζi , гдеζi = 1, если xi ∈ K ρ1 , и ζi = (ρ/|xi |)n−2 , в противном случае.Лемма 3.3.6 Последовательность {ξi ; Bi }∞i=0 образует ограниченный мартингал.Доказательство. Действительно, из определения оценок и марковскогосвойства цепи следует, чтоEx (ξi+1 | Bi ) = ηi+1 Ex u(xi+1 ) | Bi = ηi+1 Ex u(xi+1 ) | xi =u(xi ),x i ∈ K ρ1 ,= ηi+1 n−2= ηi u(xi ) = ξiρnu(xi ), xi ∈ R \ K ρ1 ,|xi |Ограниченность мартингала оценок следует из ограниченности решения u(x) вD1 .Из доказанных лемм следует, что с вероятностью единица существуетпредел ξ∞ = limi→∞ ξi = ηϕ(x∞ ), где η = limi→∞ ηi .
В силу теоремы Лебега,Ex ξ∞ = limi→∞ Ex ξi = u(x). Пусть τ — момент первого попадания процесса вδ-окрестность границы, тогда ξτ — также несмещенная оценка u(x) с конечнойдисперсией, поскольку ξτ = Ex (ξ∞ | Bτ .Заменяя в оценке ξτ точку xτ на ближайшую точку границы x∗τ , получаемоценку ξδ . Ее смещение |Ex ξδ − u(x)| 6 ε(δ), где ε(δ) — модуль непрерывностиu(x). Очевидно, чтоDξδ 6 ε2 (δ) + 2ε(δ)kuk = Dξ∞ .1732Получим, наконец, неравенства для второго момента m2 (x) = Ex ξ∞.Во первых, m2 (x) = Ex η 2 ϕ2 (x∞ ) 6 Ex ηϕ2 (x∞ ) = V (x), где V (x) — гармоническая в D1 функция, равная ϕ2 (x) на границе области.
Наконец, из неравенства η 2 6 ζ0 η , следует, чтоm2 (x) = Ex η 2 ϕ2 (x∞ ) 6ρ|x|n−2Ex ηϕ2 (x∞ ) =ρ|x|n−2m2 (x),при x ∈ Rn \ K ρ1 .В заключение покажем, как можно моделировать случайный вектор Yс плотностью p(x, y). Очевидно, что условное распределение вектора Y , когдафиксирована его проекция Z на направление x, является равномерным на сфереpрадиуса ρ2 − Z 2 в Rn−1 , поэтому Y можно моделировать по формулеρZ1Y =x+ρ|x|q1 − Z12 Ω1 .Здесь Ω1 — изотропный вектор в гиперплоскости, ортогональной x. Его моделирование не вызывает затруднений.
Случайная величина Z1 распределена на[−1, 1] с плотностьюp(z1 ) = |x|n−2 (|x|2 − ρ2 )(1 − z12 )(n−3)/2σn−1.σn (ρ2 + |x|2 − 2|x|ρz1 )n/2Алгоритм моделирования случайной величины Z1 изложен в § A.4.3.Пусть n = 3, а граница области D1 состоит из плоских участков. Заменяя для точек x ∈ K ρ1 , переход на сферу, переходом на полусферу, если этовозможно, получаем процесс блуждания по сферам и полусферам для внешнейзадачи Дирихле. Докажем для этого процесса аналог леммы 3.3.1.Лемма 3.3.7 Процесс блуждания по сферам и полусферам для внешней задачи Дирихле сходится с вероятностью 1 к точке, лежащей на границе области D1 . Среднее число шагов до выхода процесса на границу имеет конечныематематическое ожидание и дисперсию.174Доказательство.
Анализируя доказательство леммы 3.3.5, убеждаемся,что сохраняется формула (3.3.15), следовательно, траектория процесса блуждания по сферам и полусферам сходится к некоторой точке x∞ . С вероятностьюединица траектория не посещает сферу Sρ , начиная с некоторого шага. Тогдаиз доказательства леммы 3.3.1 следует, что x∞ ∈ Γ.Пусть W — множество тех точек x ∈ K ρ1 , для которых T (x) являетсяполушаром. Как и в лемме 3.3.1, убеждаемся что существует положительнаяпостоянная ε, ограничивающая снизу вероятность перехода P (x, W ) для точекx ∈ K ρ1 .Для точек x ∈ W блуждание выходит на границу области D1 за один шагс фиксированной положительной вероятностью ε1 = ε1 (β). Пусть N — моментпервого выхода блуждания на границу (N = ∞, если блуждание не выходитна границу за конечное время) и pi (x) = Px ({N > i}) (i = 0, 1, 2, 3, .
. .). Очевидно, что для внутренних точек области D1 вероятность p1 (x) = 1. В силумарковского свойства,Zpi (x) =P (x, dy)pi−1 (y) (i = 1, 2, 3, . . .),D1поэтомуp2 (x) =1 − ε1 , x ∈ W,1,Zp3 (x) =x∈/ W,ZP (x, dy)(1 − ε1 ) +P (x, dy)p2 (y) =D1ZWP (x, dy)) 6D1 \W6 1 − ε1 P (x, W ) 6 1 − ε1 ε,Наконец, p4 (x) 6 p3 (x), x ∈ K ρ1 иZp4 (x) = p(x, y)p3 (y)dy S 6 1 − ε1 ε,Sρx∈/ K ρ1x ∈ K ρ1175Следовательно, p4i (x) 6 (1 − ε1 ε)i иPx ({N < ∞}) = 1 − lim Px ({N > 4i}) = 1.i→∞В силу монотонности последовательности pi (x),Ex N =∞Xi=12Ex N = 2∞Xi=1pi (x) 6 4∞X(1 − ε1 ε)k = 4/(ε1 ε),k=0ipi (x) − Ex N 6 32∞Xk(1 − ε1 ε)k−1 = 32/(ε1 ε)2 .k=1Несмещенные оценки ξi решения u(x) на траекториях нового процессаимеют прежний вид и случайная величина ξ∞ = ξN = ηN ϕ(xN ) также являетсянесмещенной оценкой и может быть эффективно реализована.3.3.3Вычисление электростатических емкостейОдной из возможных областей применения стохастических алгоритмоврешения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа является электростатика.
Аналитические формулы для электростатических емкостей объектовизвестны [29, 58] в редких случаях. Поэтому, для определения электростатических емкостей применяются разнообразные вычислительные алгоритмы, в томчисле и алгоритмы статистического моделирования [66], связанные с блужданием по квадратам и блужданием по кубам.В данном параграфе рассматривается универсальный статистический алгоритм вычисления емкостей проводников в однородной среде, основанный наблуждании по сферам и блуждании по сферам и полусферам, пригодный дляобластей с произвольными границами. Обсуждаются лишь принципы его работы и простейшие примеры применения. Полное описание алгоритма и его возможностей содержится в работах [19, 22], написанных совместно с аспирантом176А.Н.Кузнецовым.
Дальнейшее изложение следует указанным работам. Вычисление емкостей выполнено А.Н.Кузнецовым.Основанный на блуждании по полусферам статистический алгоритм вычисления емкостей проводников в неоднородной среде содержится в работе [23].Постановка задачиЕсли не оговорено отдельно, формулы и значения электростатических ёмкостей будут приводится согласно системе СГСЭ (“сантиметр-граммсекунда” электростатическая). В этом случае ε0 = 1 и несколько упрощаются математические выкладки и вычисления. Также считается, что проводникиразделены однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 1.Согласно [60] основной задачей электростатики является отыскание поля, создаваемого системой зарядов на заданных проводниках.Прямая постановка предполагает нахождение поля вне проводников иплотностей зарядов на проводниках при известных потенциалах проводников.Решение задачи сводится к нахождению функции ϕ, удовлетворяющей уравнению Лапласа всюду вне заданной системы проводников, обращающейся в нульна бесконечности и принимающей заданные значения ϕi на поверхностях проводников Γi :∆ϕ = 0,ϕΓi = ϕi ,(3.3.16)ϕi = const .Таким образом, мы имеем первую внешнюю краевую задачу для уравненияЛапласа.В случае обратной постановки считаются известными полные зарядыпроводников qi .
Искомыми величинами являются потенциалы проводников,распределение зарядов по их поверхностям и поле вне проводников. То есть,требуется найти функцию ϕ, удовлетворяющую уравнению Лапласа вне задан-177ной системы проводников, обращающуюся в нуль на бесконечности, принимающую некоторые постоянные значения ϕi на поверхностях проводников Γi иудовлетворяющую интегральному соотношению на поверхностях проводников∆ϕ = 0,ϕ|Γi = ϕi , ϕi = const,Z(3.3.17)∂ϕdS = −4πqi ,∂nΓiгде n — вектор внешней нормали к поверхности проводника. В [60] показано,что эта задача также имеет единственное решение.После нахождения констант ϕi решение задачи в обратной постановкесводится к решению прямой задачи. Кроме того, нахождение указанных констант приводит к отысканию ещё одной характеристики — электростатическойёмкости.Электростатическая ёмкостьУединённый проводникИз единственности решения задачи (3.3.17) следует, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален сообщённому ему заряду:q= C = const .ϕ(3.3.18)Эту постоянную называют ёмкостью уединённого проводника.
Она не зависитот заряда и определяется размерами и формой проводника. Для уединённогопроводника ёмкость численно равна заряду, при сообщении которого проводникприобретает потенциал равный 1.Таким образом, для решения задачи в обратной постановке достаточно178найти ёмкость, определяемую формулойZ∂ϕ1dS,C=−4π∂n(3.3.19)Γпосле чего из (3.3.18) можно получить потенциал ϕ на границе проводника ирешить задачу в прямой постановке.Общий случайВ задаче с несколькими проводниками потенциал существенно зависит отформы и расположения проводников.