Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145371), страница 22

Файл №1145371 Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных) 22 страницаДиссертация (1145371) страница 222019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Мы рассматриваем случай произвольной ограниченнойобласти D (как правило, не односвязной), такой что в D1 справедлива теоремасуществования и единственности решения задачи (3.3.11).Пусть Kρ — шар радиуса ρ с центром в нуле, такой что D ⊂ K ρ , и Sρ —его граница. При |x| > ρ для решения задачи (3.3.11) справедливо интегральноепредставление ([38, стр. 231]):1u(x) =σn ρZ|x|2 − ρ2u(y)dy S,|x − y|n(3.3.12)Sρкоторое можно записать в виде: n−2 Zρu(x) =p(x, y)u(y)dy S.|x|(3.3.13)SρФункцияp(x, y) =|x|ρn−2|x|2 − ρ2.σn ρ|x − y|n(3.3.14)является плотностью распределения (по переменной y), сосредоточенного насфере Sρ .Пусть R(x) = dist(x, Γ) – расстояние от точки x до границы Γ.171Определим в D1 марковский случайный процесс блуждания по сферамследующим образом.1.

x0 = x ∈ D1 .2. Если |xi | > ρ1 > ρ, то xi+1 распределено на сфере Sρ с плотностью p(xi , y).3. Если |xi | 6 ρ1 , то xi+1 распределено равномерно на сфере радиуса R(xi ) сцентром в точке xi .Поведение процесса описывает следующая лемма.Лемма 3.3.5 С вероятностью 1 блуждание по сферам сходится к случайнойточке, лежащей на границе Γ области D1 .Доказательство. Зафиксируем произвольную внутреннюю точку xe области D. Функция v(x) = |x − xe|2−n является гармонической в D1 и стремитсяк нулю на бесконечности. Пусть Bi — σ — алгебра, относительно которой измеримы случайные векторы x0 , x1 , . . . , xi .

В силу теоремы о среднем значении длягармонических функций и формулы (3.3.13) имеемxi ∈ K ρ1 , v(xi ),Ex v(xi+1 ) | Bi = n−2 |xi |v(xi ), xi ∈ Rn \ K ρ1 .ρ(3.3.15)Отсюда видно, что Ex v(xi+1 ) | Bi > v(xi ). Следовательно, {v(xi ); Bi }∞i=0ограниченный субмартингал, и {v(xi )}∞i=0 сходится с вероятностью 1 к положи∞тельной случайной величине. Значит, |xi − xe|2 i=0 сходится с вероятностью 1.Взяв две различные точки xe1 и xe2 в области D, видим, что последователь∞ность из разностей |xi − xe1 |2 − |xi − xe2 |2 i=0 сходится с вероятностью 1. Поэтому, сходится с вероятностью 1 последовательность скалярных произведений{(xi , xe1 − xe2 )}∞i=0 и, следовательно, сходятся проекции векторов xi на произвольное направление, т.е.

сходится сама последовательность {xi }∞i=0 . Обозначим еепредел x∞ .172Поскольку при переходе на сферу Sρ траектория блуждания совершаетскачок |xi+1 − xi | > ρ1 − ρ, то она с вероятностью 1 становится траекториейблуждания по сферам начиная с некоторого момента времени. Поэтому, R(xi ) == |xi+1 − xi | → 0 с вероятностью 1.Построим последовательность несмещенных оценок ξi = ηi u(xi ) для u(x).Случайные величины ηi вычисляются по формулам: η0 = 1, ηi+1 = ηi ζi , гдеζi = 1, если xi ∈ K ρ1 , и ζi = (ρ/|xi |)n−2 , в противном случае.Лемма 3.3.6 Последовательность {ξi ; Bi }∞i=0 образует ограниченный мартингал.Доказательство. Действительно, из определения оценок и марковскогосвойства цепи следует, чтоEx (ξi+1 | Bi ) = ηi+1 Ex u(xi+1 ) | Bi = ηi+1 Ex u(xi+1 ) | xi =u(xi ),x i ∈ K ρ1 ,= ηi+1 n−2= ηi u(xi ) = ξiρnu(xi ), xi ∈ R \ K ρ1 ,|xi |Ограниченность мартингала оценок следует из ограниченности решения u(x) вD1 .Из доказанных лемм следует, что с вероятностью единица существуетпредел ξ∞ = limi→∞ ξi = ηϕ(x∞ ), где η = limi→∞ ηi .

В силу теоремы Лебега,Ex ξ∞ = limi→∞ Ex ξi = u(x). Пусть τ — момент первого попадания процесса вδ-окрестность границы, тогда ξτ — также несмещенная оценка u(x) с конечнойдисперсией, поскольку ξτ = Ex (ξ∞ | Bτ .Заменяя в оценке ξτ точку xτ на ближайшую точку границы x∗τ , получаемоценку ξδ . Ее смещение |Ex ξδ − u(x)| 6 ε(δ), где ε(δ) — модуль непрерывностиu(x). Очевидно, чтоDξδ 6 ε2 (δ) + 2ε(δ)kuk = Dξ∞ .1732Получим, наконец, неравенства для второго момента m2 (x) = Ex ξ∞.Во первых, m2 (x) = Ex η 2 ϕ2 (x∞ ) 6 Ex ηϕ2 (x∞ ) = V (x), где V (x) — гармоническая в D1 функция, равная ϕ2 (x) на границе области.

Наконец, из неравенства η 2 6 ζ0 η , следует, чтоm2 (x) = Ex η 2 ϕ2 (x∞ ) 6ρ|x|n−2Ex ηϕ2 (x∞ ) =ρ|x|n−2m2 (x),при x ∈ Rn \ K ρ1 .В заключение покажем, как можно моделировать случайный вектор Yс плотностью p(x, y). Очевидно, что условное распределение вектора Y , когдафиксирована его проекция Z на направление x, является равномерным на сфереpрадиуса ρ2 − Z 2 в Rn−1 , поэтому Y можно моделировать по формулеρZ1Y =x+ρ|x|q1 − Z12 Ω1 .Здесь Ω1 — изотропный вектор в гиперплоскости, ортогональной x. Его моделирование не вызывает затруднений.

Случайная величина Z1 распределена на[−1, 1] с плотностьюp(z1 ) = |x|n−2 (|x|2 − ρ2 )(1 − z12 )(n−3)/2σn−1.σn (ρ2 + |x|2 − 2|x|ρz1 )n/2Алгоритм моделирования случайной величины Z1 изложен в § A.4.3.Пусть n = 3, а граница области D1 состоит из плоских участков. Заменяя для точек x ∈ K ρ1 , переход на сферу, переходом на полусферу, если этовозможно, получаем процесс блуждания по сферам и полусферам для внешнейзадачи Дирихле. Докажем для этого процесса аналог леммы 3.3.1.Лемма 3.3.7 Процесс блуждания по сферам и полусферам для внешней задачи Дирихле сходится с вероятностью 1 к точке, лежащей на границе области D1 . Среднее число шагов до выхода процесса на границу имеет конечныематематическое ожидание и дисперсию.174Доказательство.

Анализируя доказательство леммы 3.3.5, убеждаемся,что сохраняется формула (3.3.15), следовательно, траектория процесса блуждания по сферам и полусферам сходится к некоторой точке x∞ . С вероятностьюединица траектория не посещает сферу Sρ , начиная с некоторого шага. Тогдаиз доказательства леммы 3.3.1 следует, что x∞ ∈ Γ.Пусть W — множество тех точек x ∈ K ρ1 , для которых T (x) являетсяполушаром. Как и в лемме 3.3.1, убеждаемся что существует положительнаяпостоянная ε, ограничивающая снизу вероятность перехода P (x, W ) для точекx ∈ K ρ1 .Для точек x ∈ W блуждание выходит на границу области D1 за один шагс фиксированной положительной вероятностью ε1 = ε1 (β). Пусть N — моментпервого выхода блуждания на границу (N = ∞, если блуждание не выходитна границу за конечное время) и pi (x) = Px ({N > i}) (i = 0, 1, 2, 3, .

. .). Очевидно, что для внутренних точек области D1 вероятность p1 (x) = 1. В силумарковского свойства,Zpi (x) =P (x, dy)pi−1 (y) (i = 1, 2, 3, . . .),D1поэтомуp2 (x) =1 − ε1 , x ∈ W,1,Zp3 (x) =x∈/ W,ZP (x, dy)(1 − ε1 ) +P (x, dy)p2 (y) =D1ZWP (x, dy)) 6D1 \W6 1 − ε1 P (x, W ) 6 1 − ε1 ε,Наконец, p4 (x) 6 p3 (x), x ∈ K ρ1 иZp4 (x) = p(x, y)p3 (y)dy S 6 1 − ε1 ε,Sρx∈/ K ρ1x ∈ K ρ1175Следовательно, p4i (x) 6 (1 − ε1 ε)i иPx ({N < ∞}) = 1 − lim Px ({N > 4i}) = 1.i→∞В силу монотонности последовательности pi (x),Ex N =∞Xi=12Ex N = 2∞Xi=1pi (x) 6 4∞X(1 − ε1 ε)k = 4/(ε1 ε),k=0ipi (x) − Ex N 6 32∞Xk(1 − ε1 ε)k−1 = 32/(ε1 ε)2 .k=1Несмещенные оценки ξi решения u(x) на траекториях нового процессаимеют прежний вид и случайная величина ξ∞ = ξN = ηN ϕ(xN ) также являетсянесмещенной оценкой и может быть эффективно реализована.3.3.3Вычисление электростатических емкостейОдной из возможных областей применения стохастических алгоритмоврешения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа является электростатика.

Аналитические формулы для электростатических емкостей объектовизвестны [29, 58] в редких случаях. Поэтому, для определения электростатических емкостей применяются разнообразные вычислительные алгоритмы, в томчисле и алгоритмы статистического моделирования [66], связанные с блужданием по квадратам и блужданием по кубам.В данном параграфе рассматривается универсальный статистический алгоритм вычисления емкостей проводников в однородной среде, основанный наблуждании по сферам и блуждании по сферам и полусферам, пригодный дляобластей с произвольными границами. Обсуждаются лишь принципы его работы и простейшие примеры применения. Полное описание алгоритма и его возможностей содержится в работах [19, 22], написанных совместно с аспирантом176А.Н.Кузнецовым.

Дальнейшее изложение следует указанным работам. Вычисление емкостей выполнено А.Н.Кузнецовым.Основанный на блуждании по полусферам статистический алгоритм вычисления емкостей проводников в неоднородной среде содержится в работе [23].Постановка задачиЕсли не оговорено отдельно, формулы и значения электростатических ёмкостей будут приводится согласно системе СГСЭ (“сантиметр-граммсекунда” электростатическая). В этом случае ε0 = 1 и несколько упрощаются математические выкладки и вычисления. Также считается, что проводникиразделены однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 1.Согласно [60] основной задачей электростатики является отыскание поля, создаваемого системой зарядов на заданных проводниках.Прямая постановка предполагает нахождение поля вне проводников иплотностей зарядов на проводниках при известных потенциалах проводников.Решение задачи сводится к нахождению функции ϕ, удовлетворяющей уравнению Лапласа всюду вне заданной системы проводников, обращающейся в нульна бесконечности и принимающей заданные значения ϕi на поверхностях проводников Γi :∆ϕ = 0,ϕΓi = ϕi ,(3.3.16)ϕi = const .Таким образом, мы имеем первую внешнюю краевую задачу для уравненияЛапласа.В случае обратной постановки считаются известными полные зарядыпроводников qi .

Искомыми величинами являются потенциалы проводников,распределение зарядов по их поверхностям и поле вне проводников. То есть,требуется найти функцию ϕ, удовлетворяющую уравнению Лапласа вне задан-177ной системы проводников, обращающуюся в нуль на бесконечности, принимающую некоторые постоянные значения ϕi на поверхностях проводников Γi иудовлетворяющую интегральному соотношению на поверхностях проводников∆ϕ = 0,ϕ|Γi = ϕi , ϕi = const,Z(3.3.17)∂ϕdS = −4πqi ,∂nΓiгде n — вектор внешней нормали к поверхности проводника. В [60] показано,что эта задача также имеет единственное решение.После нахождения констант ϕi решение задачи в обратной постановкесводится к решению прямой задачи. Кроме того, нахождение указанных констант приводит к отысканию ещё одной характеристики — электростатическойёмкости.Электростатическая ёмкостьУединённый проводникИз единственности решения задачи (3.3.17) следует, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален сообщённому ему заряду:q= C = const .ϕ(3.3.18)Эту постоянную называют ёмкостью уединённого проводника.

Она не зависитот заряда и определяется размерами и формой проводника. Для уединённогопроводника ёмкость численно равна заряду, при сообщении которого проводникприобретает потенциал равный 1.Таким образом, для решения задачи в обратной постановке достаточно178найти ёмкость, определяемую формулойZ∂ϕ1dS,C=−4π∂n(3.3.19)Γпосле чего из (3.3.18) можно получить потенциал ϕ на границе проводника ирешить задачу в прямой постановке.Общий случайВ задаче с несколькими проводниками потенциал существенно зависит отформы и расположения проводников.

Характеристики

Список файлов диссертации

Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее