Диссертация (1145371), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Используя формулу Грина (2.1.18), получаем в цилиндреD × (0, t) интегральное представление129Ztu(x, t) = −aZdτ0∂v(y, τ )u(y, τ )dy S +∂νySZt+aZdτv(y, τ )0∂u(y, τ )dy S +∂νyS+ ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t),x ∈ D,t > 0, (2.4.4)где |x − y|2 1v(y, τ ) =exp −, t > τ,4a(t − τ )(4π(t − τ ))3/2– фундаментальное решение уравнения теплопроводности,Zϕ1 (x, t) = v(y, τ )u0 (y)dy(2.4.5)(2.4.6)DиZtϕ2 (x, t) =Zdτ0v(y, τ )f (y, τ )dy(2.4.7)D– тепловые потенциалы.Используя свойства тепловых потенциалов и устремив x к какой-либоточке границы S, получим для функции u(x, t) интегральное уравнение на границе S.Ztu(x, t) = −2aZdτ0∂v(y, τ )u(y, τ )dy S +∂νySZt+ 2aZdτ0v(y, τ )∂u(y, τ )dy S +∂νyS+ 2ϕ1 (x, t) + 2ϕ2 (x, t),x ∈ D,t > 0, (2.4.8)Пусть S — поверхность Ляпунова с параметром λ (0 < λ < 1) иB = C (S × [0, T ]).

ПустьZtK1 u = −2aZdτ0S∂v(y, τ )u(y, τ )dy S,∂νy130ZtK2 u = 2aZdτ0v(y, τ )u(y, τ )dy SS– линейные операторы, определяемые прямыми значениями потенциалов двойного слоя и простого слоя, соответственно. Пусть w0 — решение линейной задачи (2.4.1–2.4.3) (при κ = 0). Тогда для функции w = u − w0 уравнение (2.4.8)трансформируется в нелинейное операторное уравнение в пространстве B.w = K1 w − κK2 (w0 + w)4(2.4.9)При достаточно малом T , нелинейный оператор в (2.4.9) становится сжимающим.Теорема 2.4.1 Пусть V (0, r) — шар радиуса r с центром в нуле в пространстве B.

Тогда существует константа T , такая что нелинейный операторA(w) = K1 w − κK2 (w0 + w)4 является сжимающим в шаре V (0, r).Доказательство. Для любых w, w1 , w2 ∈ V (0, r) справедливы неравенстваkA (w)k 6 kK1 k kwk + κ kK2 k (kwk + kw0 k)4 6 kK1 k r + κ kK2 k (r + kw0 k)4 ,kA (w1 ) − A (w2 )k 6 kK1 k kw1 − w2 k + 4κ (r + kw0 k)3 kK2 k kw1 − w2 k .Слабая полярность ядер операторов влечет оценки их норм [43]kK1 k 6 C1 B (1, δ1 ) T δ1 ,kK2 k 6 C2 B (1, δ2 ) T δ2 ,где C1 и C2 — не зависящие от T постоянные, δ1 = λ/2, δ2 = 1/2, B (α, β) —бета-функция. Следовательно,kA (w1 ) − A (w2 )k 6 q kw1 − w2 k ,131гдеq = kK1 k + 4κ (r + kw0 k)3 kK2 k < 1для достаточно малых T и, следовательно, A(w) — сжимающий оператор.Следствие.

Пусть T и r такие, что выполнены неравенстваkK1 k + 4κ (r + kw0 k)3 kK2 k < 1,kK1 k r + κ kK2 k (r + kw0 k)4 < r,тогда справедливы утверждения1. Оператор A(w) преобразует шар V (0, r) в себя.2. Для любой функции w1 ∈ V (0, r) метод простой итерации wn+1 = A(wn )сходится к единственному решению уравнения (2.4.9).3. Для достаточно малых T уравнение (2.4.8) эквивалентно (2.4.1–2.4.3).Построим несмещенную оценку решения u(x, t) задачи (2.4.1–2.4.3).Построение несмещенной оценки в линейном случаеПусть κ = 0, то есть задача является линейной.

Постороим несмещеннуюоценку ξ для решения уравнения (2.4.8). Рассмотрим потенциал простого слояZtϕ3 (x, t) = 2aZdτ0v(y, τ )∂u(y, τ )dy S,∂νySгде ϕxy — угол между нормальным вектором νy в точке y и вектором y − x.Тогда уравнение (2.4.8) преобразуется в следующее уравнение.Ztu(x, t) = −2aZdτ0|x − y|v(y, τ ) cos ϕxy u(y, τ )dy S +t−τS+ ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) + ϕ3 (x, t) (2.4.10)132Ядро Гаусса cos ϕxy /(2π|x − y|2 ) является плотностью распределения поотношению к площади поверхности на S . Пусть x ∈ S и Hx обозначает полупространство, которое содержит D, а граница которого является касательнойплоскостью к D в точке x.

Пусть r = |x−y|, ω = (y −x)/r — изотропный векторв Hx , тогдаZtr3v(x + rω, τ )u(x + rω, τ ) +dτt−τu(x, t) = E0+ ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) + ϕ3 (x, t). (2.4.11)Выполняя замену переменных в интеграле, получимZ∞2u(x, t) = E √π√r2)+se u(x + rω, t −4as−sr24at+ ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t) + ϕ3 (x, t). (2.4.12)√√Функция p(s) = 2 se−s / π является плотностью гамма распределенияс параметром 3/2.Аналогичным образом оцениваются остальные потенциалы, входящие в(2.4.11).r2Z4atϕ1 (x, t) = E√p(s)u0 (x + 2 astω)ds(2.4.13)0r2ZtZ4atϕ2 (x, t) = Ep(s)0f (x + 2pas(t − τ )ω, τ )dτ ds +0Z∞+EZtp(s)r24atf (x + 22rt− 4aspas(t − τ )ω, τ )dτ ds (2.4.14)133Пусть (t0 , x0 ), (t1 , x1 ), . .

. — цепь Маркова, которая останавливается поистечении времени t0 . Будем строить несмещенную оценку ξ пошагово. Чтобыпостроить (t1 , x1 ) из (t0 , x0 ) необходимо выполнить следующие действия:– промоделировать изотропный вектор ω ∈ Hx и случайную величину γ, которая имеет гамма распределение с параметром 3/2;– на луче, выходящем из точки x0 в направлении ω найти точку x1 , лежащуюна поверхности S;– вычислить δt0 = |x0 − x1 |2 /(4aγ) = r02 /(4aγ);– если δt0 > t0 , процесс следует остановить,– в противном случае следует определить t1 = t0 − δt0 .Последующие точки моделируются аналогично.Несмещенная оценка ξ определяется формулой.δt0 f (y1 , τ1 ) + ξ(x1 , t1 ), δt0 < t0ξ = ξ(x0 , t0 ) = ϕ3 (x0 , t0 ) +t0 f (y2 , τ2 ) + u0 (z0 ),δt0 > t0 ,(2.4.15)гдеpy1 = x0 + 2 aγ(t0 − τ1 )ω,py2 = x0 + 2 aγ(t0 − τ2 )ω,τ1 = t0 − αδt0 ,τ2 = αt0 ,(2.4.16)√z0 = x0 + 2 aγt0 ω,Случайная величина α распределена равномерно на отрезке [0, 1].

Если k > 1,то для вычисления оценки ξ(tk , xk ) проводятся в цикле по формуле (2.4.15).Если δtk > tk то процесс обрывается.Если поверхность S — сфера радиуса 1, то2ϕ3 (x, t) = √ EπZ∞e−sr2√ β x + rω, t −ds4ass(2.4.17)r24atПусть γ1 имеет гамма распределение с параметром 1/2, δt1 = r2 /(4aγ1 ), тогда134случайная величинаζ = ζ(x0 , t0 ) =2β(t0 − δx1 , t1 ), δt1 < t00,(2.4.18)δt1 > t0несмещенно оценивает ϕ3 (t0 , x0 ). Окончательное выражение для ξ получим, заменяя ϕ3 (t0 , x0 ) в (2.4.15) на ее оценку (2.4.18).Если поверхность S не является сферой, формулы (2.4.15) и (2.4.18) нужно скорректировать. Пусть точка xc ∈ D. Рассмотрим сферу радиуса 1 с центром в точке xc и введем следующие обозначения:ω0 — центральная проекция x0 на сферу;rs — расстояние от ω0 до точки ω1 на сфере. Эту точку на сфере мы видимиз ω0 в направлении ω.

То есть ω1 = ω0 + rs ω;rc — расстояние от x0 ∈ S до xc ;x1 ∈ S имеет проекцию ω1 ;r = |x0 − x1 |;(rc )3 · rsk=;r ·√(x1 − xc , νx1 )2 aγt0k1 =;r(rc )3 · rs · (x1 − x0 , νx1 )k2 = 2;r3 · (x1 − xc , νx1 )z0 = (1 − k)x0 + k1 x1 .Используя обозначения и формулы (2.4.15–2.4.18), можем записать ξ ввидеξ(x0 , t0 ) = k ·2β(x1 , t0 − δt1 ), δt1 < t00,+δt1 > t0δt0 f (y1 , τ1 ) + ξ(x1 , t1 ), δt0 < t0+ k2 ·(2.4.19)t0 f (y2 , τ2 ) + u0 (z0 ),δt0 > t0135Построение несмещенной оценки в нелинейном случаеДля решения нелинейной задачи с граничным условием (2.4.3) и κ 6= 0используем оценку (2.4.19) с функцией β − κu4 вместо просто β.

Тогда накаждом шаге вычислений потребуется оценить u4 (x1 , t0 − δt1 ) и ξ(x1 , t1 ). Чтобы сохранить условие несмещенности, следует оценивать каждый множительu(t0 − δt1 , x1 ) на статистически независимых траекториях. Процесс моделирования становится ветвящимся, а процедура постоения несмещенной оценкиξ(x0 , t0 ) становится рекурсивной. Она основана на формуле2β(x1 , t0 − δt1 ) − κ · ξ1 (x1 , t0 − δt1 )ξ2 (x1 , t0 − δt1 )×ξ(x0 , t0 ) = k · ×ξ3 (x1 , t0 − δt1 )ξ4 (x1 , t0 − δt1 ),δt1 < t0 +0,δt1 > t0δt0 f (y1 , τ1 ) + ξ(x1 , t1 ), δt0 < t0(2.4.20)+ k2 ·t0 f (y2 , τ2 ) + u0 (z0 ),δt0 > t0 ,где случайные величины ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 являются независимыми реализациямиξ(t0 −δt1 , x1 ).

Процедура оценивания может быть легко реализована средствамилюбого транслятора с языка программирования высокого уровня.136Глава 3Статистические алгоритмы решениякраевых задач для эллиптическихуравнений второго порядкаВ данной главе рассматриваются методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений как с переменными, так и с постоянными коэффициентами. Изучаются только бессеточные методы.Для уравнения с переменными коэффициентами рассматривается алгоритм блуждания по эллипсоидам для первой краевой задачи в замкнутой ограниченной области.Для уравнений с постоянными коэффициентами рассматриваются статистические алгоритмы как для внутренних, так и внешних краевых задач сразличными краевыми условиями.

Предложены различные процедуры статистического оценивания их решений на траекториях случайных блужданий каквнутри области, так и по её границе. В областях специального вида ( в многогранниках и выпуклых областях) построены несмещенные оценки решенийкраевых задач и функционалов от них.Обсуждается применение алгоритма решения внешней задачи Дирихледля вычисления электростатических емкостей.1373.1Необходимые сведения об эллиптических уравненияхВсе необходимые нам сведения об эллиптических уравнениях содержатсяв монографии К.Миранда [32].

Изложим кратко те из них, которые нам потребуются.Определим эллиптический оператор формулойnXnX∂2∂M=aij (x)+bi (x)+ c(x).∂x∂x∂xijii,j=1i=1(3.1.1)Матрица коэффициентов при старших производных предполагается симметричной, а ее собственные числа лежащими в фиксированном отрезке [ν, µ] иν > 0. Это означает, что оператор M является сильно эллиптическим.Нас интересуют решения уравнения M u(x, t) = −f (x, t), определенныев некоторой ограниченной области D ⊂ Rn (или вне её, для внешней краевойзадачи), а также функционалы от них.Граница Γ области D предполагается достаточно гладкой. Будем говорить, что замкнутая область D принадлежит классу A(k,λ) , если в некоторой окрестности каждой точки x ∈ Γ граница задается уравнением zn == h(z1 , z2 , .

. . , zn−1 ) в некоторой системе координат, а функция h имеет непрерывные производные до порядка k включительно, причем ее производные порядка k удовлетворяют условию Гельдера с показателем λ.Коэффициенты оператора также принадлежат к гельдеровым классамфункций.3.1.1Фундаментальное решение и функции Леви дляэллиптического оператораПредположим дополнительно, что коэффициенты aij имеют вторые част-ные производные , непрерывные в D и bi имеют частные производные по переменным x, также непрерывные в D.

Тогда в области D определен оператор N ,138формально сопряженный с оператором M . Пустьei = bi −nX∂aijj=1∂xj.Тогда оператор M можно записать в виде: XnnX∂∂u∂aij (x)u +ei (x)+ c(x)u,Mu =∂x∂x∂xjiii=1i,j=1а формально сопряженный оператор N определить равенством XnnX∂∂∂Nu =ei (x)u + c(x)u.aij (x)u −∂xj∂xi∂xii,j=1i=1(3.1.2)(3.1.3)Пусть T ⊂ D — какая-либо замкнутая область класса A(1) , ν — внешняянормаль к ∂T . Для любых u, v ∈ C (2) (T ) справедлива вторая формула ГринаZ(vM u − uN v) dx =T=" nZ XnX∂T i,j=1aij (x) vi=1∂u∂v−u∂xi∂xi#+ ej uv cos(ν, xj )dx S.

Характеристики

Список файлов диссертации