Диссертация (1145371), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

. .) — последовательность σ-алгебр, порожденных процессом домомента времени k. Тогда, E x(k + 1) | F(k) = x(k), следовательно, x(k),(k = 0, 1, 2, . . .) — ограниченный мартингал. Его сходимость вытекает из общихтеорем о сходимости таких последовательностей [31]. Заметим, что1Ekx(k + 1) − x(k)k > E χnγ > R2 (x(k),t(k)) o R x(k), t(k) kΩ(k + 1)k =094t(k)Z∞nC0= n ER x(k), t(k)s 2 −1 e−s ds >Γ( 2 )R2 (x(k),t(k))4t(k)C0> n Eχ{t(∞)>0} R x(k), t(k)Γ( 2 )Z∞ns 2 −1 e−s ds (2.3.52)R2 (x(k),t(k))4t(k)Переходя в неравенстве к пределу, по теореме Лебега получаем неравенствоC0EχRx(∞),t(∞){t(∞)>0}Γ( n2 )Z∞R2 (x(∞),t(∞))4t(∞)ns 2 −1 e−s ds 6 0,115из которого следует, что R x(∞), t(∞) = 0 почти наверное на множестве траекторий {t(∞) > 0}, сходящихся к боковой поверхности.Отметим, что условие d0 (x, t) 6= 0 не вносит ограничений, так как дляфункции u1 (x, t) = eλt u(x, t) справедливо уравнение (2.3.1), в котором коэффициент a0 заменен на a0 + λ, а правая часть и граничная функция умножены наeλt .Теперь нам потребуется результат, в некотором смысле обобщающий схему последовательного оценивния из первой главы.Последовательное оценивание суммы ряда Неймана для суммынескольких ядер.Пусть Q — компактное множество в метрическом пространстве, в котором для каждого элемента x и борелевского множества B определен зарядK(x, B) =mXKj (x, B).j=1В пространстве M (Q) рассмотрим интегральное уравнениеm ZXu(x) =u(y)Kj (x, dy) + f (x).(2.3.53)j=1 QСвяжем с уравнением (2.3.53) мартингал ξ(k) несмещенных оценок его решенияu(x).

Для этого, для каждого ядра Kj (x, B) определим субстохастическое ядро Pj (x, B), относительно которого исходное ядро абсолютно непрерывно. Соответствующую производную Радона-Никодима обозначим qj (x, y). Положимξ(0) = u(x), а σ-алгебру F(0) будем считать минимальной. Пусть ξ(n) и F(n)построены. Для построения ξ(n + 1), каждое значение u(z), входящее в предыдущую оценку, заменяется несмещенной оценкойηn (z) +mXj=1ζn,j (z)qj (z, yj )u(yj ),116в которой E ηn (z) | F(n) = f (z) и E ζn,j (z) | F(n), y1 , y2 , . . .

, ym = 1, а точкаyj имеет условное распределение Pj (z, dy)/Pj (z, Q). Наконец, σ-алгебра F(n+1)определяется как σ-алгебра, порожденная процессом до момента времени n + 1.mPПусть |Kj | — вариация заряда Kj , |K| =|Kj | и K — интегральныйj=1оператор с ядром |K|(x, B), тогда справедливаТеорема 2.3.4 Предположим, что для некоторой функции g ∈ M (Q) привсех x ∈ Q и всех n выполнено неравенство E |ηn (z)| | F(n) 6 g(z), ряд∞PНеймана (K)i g сходится и его сумма равна v. Пусть случайные величиныi=0ζn,j (z) неотрицательны, тогда мартингал ξ(n) равномерно интегрируемый и|u(x)| 6 v(x).Доказательство.

Пусть K интегральный оператор в уравнении (2.3.53),тогда∞∞∞∞∞X XXXXiiii |u| = K f 6(K) |f | =(K) |Eη0 | 6(K) E|η0 | 6(K)i g = v.i=0i=0i=0i=0i=0Докажем индукцией по n, что E|ξ(n)| 6 v(x). При n = 0 неравенство доказано.Выполним индукционный переход. Учитывая зависимость оценки от точки x,будем записывать ξ(n) как ξ(n, x). Тогда из определения оценки имеем равенствоξ(n + 1, x) = η0 (x) +mXζ0,j (x)qj (x, yj )ξ1 (n, yj ),(2.3.54)j=1где ξ1 (n, yj ) — оценка, полученная из u(yj ) за следующие n шагов. По индукционному предположению E |ξ1 (n, yj )| | F(1) 6 v(yj ), поэтому, в силу неотрицательности величин ζ0,j (z) верны неравенстваE|ξ(n + 1, x)| 6 E|η0 (x)| +mXE ζ0,j (x)|qj (x, yj )|E |ξ1 (n, yj )| | F(1) 6j=16 g(x) +mXj=1mXE ζ0,j (x)|qj (x, yj )|v(yj ) 6 g(x) +Zj=1 Qv(y)|Kj |(x, dy) = v(x).117В силу теоремы сходимости мартингалов справедливоСледствие.

Последовательность оценок ξ(n) сходится с вероятностью 1 к случайной величине ξ(∞), являющейся несмещенной оценкой u(x).Понятно, что если процедура последовательного оценивания обрываетсяза конечное число шагов, то оценка ξ(∞) будет реализуема.Применим теорему 2.3.4 к блужданию по цилиндрам. В данном случае,4 6 m 6 9. На каждом шаге мы оставляем в оценке одно значение неизвестной функции. Процедура оценивания обрывается либо при попадании x(k) вε-окрестность границы, где решение считается известным (оно оценивается поизвестным граничным условиям), либо в случае t(k) < ε (решение оцениваетсяпо начальным условиям). Мажорантное уравнение получается из интегральногопредставления для u(x, t), если в нем все подинтегральные функции заменитьна их модули, а все интегралы взять со знаком “+”. Сходимость ряда Нейманадля мажорантного уравнения доказывается аналогично теореме 2.3.3.

Процедура оценивания обрывается с вероятностью 1 в силу леммы 2.3.7. Величиныζn,j (z) принимают значения 0 и l с вероятностями 1 − 1l и 1l , соответственно, гдеl — количество слагаемых в оценке u(z), содержащих функцию u. В качествефункции g(z) можно взять константу.Таким образом, справедлива теорема.Теорема 2.3.5 Оценка ξ(n), построенная в алгоритме блуждания по цилиндрам, является несмещенной для u(x, t) и имеет конечную дисперсию.Доказательство. Несмещенность оценки доказывают представленныевыше рассуждения.Заметим теперь, что случайные величины η0 , ζn,j , qj в блуждании поцилиндрам ограничены некоторой постоянной M .

Возводя равенство (2.3.54) вквадрат, получим1182mPζ0,j (x)qj (x, yj )ξ1 (n, yj )  η0 (x) +j=1ξ 2 (n + 1, x) = (m + 1)2  6m+1mP22ζ0,j(x)qj2 (x, yj )ξ12 (n, yj )  η0 (x) +j=16 (m + 1)2 6m+16 (m + 1)M 2 1 +mX!|ζ0,j (x)qj (x, yj )|ξ12 (n, yj ) .j=1Тогда,2Eξ (n + 1, x) 6 w(x) =∞Xi(m + 1)M 2 K g(x),i=0где g(x) = (m + 1)M 2 .Теперь осталось заметить, что ряд Неймана для оператора (m+1)M 2 K сходитсядля любой ограниченной функции в силу леммы 2.3.6.

По теореме Фату отсюдаполучаем оценку2Eξ (∞, x) 6 w(x) =∞Xi(m + 1)M 2 K g(x).i=0Очевидно, что при замене в оценке ξ(∞, x) значения функции u в точке остановки процесса на значение u в ближайшей точке границы получится малосмещенная оценка решения с конечной дисперсией.Для реализации оценки необходимо, чтобы среднее число шагов до момента обрыва процесса было конечным. Для этого достаточно показать, чтовероятность обрыва процесса за один шаг отделена от нуля снизу. Действительно, из условия d0 (x, t) 6= 0 получаем для искомой вероятности p оценкуснизу1p> P9R2γ0 <4tθ\{t(1 − θ) < ε}1> P9c21 ε2 (1 − θ)γ0 <4εθ> 0.1192.3.4Блуждание по шароидам для уравнения с переменнымкоэффициентом при неизвестной функцииЗаметим, что вопрос о равномерной по ε ограниченности дисперсии оцен-ки, построенной на траектории блуждания по цилиндрам, остается открытым.В связи с этим представляют интерес различные теоремы о среднем значениидля уравнений с переменными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее простойслучай, когда для всех i = 1, 2, . . . , n коэффициенты ai ≡ 0, а матрица коэффициентов при старших производных постоянна. Будем использовать методдомножения решения уравнения на экспоненту от времени, который позволяет получить уравнение со знакопостоянным коэффициентом при неизвестнойфункции.Пусть λ1 > 0 и λ2 > 0 удовлетворяют в D ×[0, t] условиям: λ1 > −a0 (x, t)и λ2 > λ1 + a0 (x, t). Функция u1 (x, t) = e−λ1 t u(x, t) удовлетворяет уравнениюLu1 (x, t) + λ1 u1 (x, t) = e−λ1 t f (x, t), в котором коэффициент при неизвестнойфункции a01 (x, t) = λ1 +a0 (x, t) > 0. Аналогично, функция u2 (x, t) = eλ2 t u1 (x, t)удовлетворяет уравнению Lu2 (x, t)+(λ1 −λ2 )u2 (x, t) = e(λ2 −λ1 )t f (x, t), в которомкоэффициент при неизвестной функции a02 (x, t) = −λ2 + a01 (x, t) 6 0.

Перенося выражение a02 (x, t)u2 (x, t) в правую часть уравнения и применяя формулысреднего значения (2.3.16–2.3.17), получаем интегральное представление дляфункции u1 (x, t) в шароидеZv(y, τ )e−λ2 (t−τ ) e−λ1 τ f (y, τ )dydτ +u1 (x, t) =QRZv(y, τ )(λ2 − (λ1 + a0 (y, τ )))e−λ2 (t−τ ) u1 (y, τ )dydτ ++QRZt+dτ E2t− R2n n n22ρn (τ )e−λ2 (t−τ ) u1 (x + ρ(τ )Ω, τ ), (2.3.55)nΓ(n/2)(t − τ )R120или интегральное представление в усеченном шароиде (при t < R2 /(2n))Zv(y, τ )e−λ2 (t−τ ) e−λ1 τ f (y, τ )dydτ +u1 (x, t) =QR,0Zv(y, τ )(λ2 − (λ1 + a0 (y, τ )))e−λ2 (t−τ ) u1 (y, τ )dydτ ++QR,0Z+v(y, 0)e−λ2 t ϕ(y)dy +D̃R,0Zt+dτ E n n22ρn (τ )e−λ2 (t−τ ) u1 (x + ρ(τ )Ω, τ ). (2.3.56)nΓ(n/2)(t − τ )R0Очевидно, что ядро в каждом из этих представлений субстохастическое.

Следовательно, для построения процесса блуждания и оценок на его траекторияхснова можно использовать результаты главы 1, которые их однозначно определяют. Для этого достаточно несмещенно оценить интегралы в формулах (2.3.55–2.3.56). Используя несмещенные оценки на траекториях блуждания по сфероидам, находимZtdτ E n n22ρn (τ )−λ2 (t−τ )eux+ρ(τ)Ω,τ=1Γ(n/2)(t − τ )Rn0= Eχ{γ>(n/2) ln(R2 /(2nt))} exp −λ2 (R2 /(2n)) exp(−2γ/n) ×√× u1 x + R γ exp(−γ/n)Ω, t − R2 /(2n) exp(−2γ/n) ,где γ = γ(1 + n/2).

Эта же оценка пригодна и для аналогичного интеграла в(2.3.55), так как при t > R2 /(2n) событие {γ > (n/2) ln(R2 /(2nt))} являетсядостоверным. Далее,Z√v(y, 0)e−λ2 t ϕ(y)dy = Eχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2nt))} e−λ2 t ϕ(x + 2ρ tγΩ),(2.3.57)D̃R,0где величины γ и ρ имеют такие же распределения, как в формуле (2.3.6),121Zv(y, τ )e−λ2 (t−τ ) e−λ1 τ f (y, τ )dydτ =QR,0p= tEχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2ntθ))} e−λ2 tθ e−λ1 (t−tθ) f (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ),которая является аналогом оценки (2.3.8).

Точно так же оцениваем интегралZv(y, τ )e−λ2 (t−τ ) e−λ1 τ f (y, τ )dydτ =QR=R222Eχ{γ6(n/2) ln(1/θ))} e−λ2 R θ/(2n) e−λ1 (t−R θ/(2n)) ×2np× f (x + 2ρR θγ/(2n)Ω, t − R2 θ/(2n)).Простой заменой функции из уже полученных интегралов, находимZ −λ (t−τ )v(y, τ ) λ2 − λ1 + a0 (y, τ ) e 2u1 (y, τ )dydτ =QR,0= tEχ{γ6(n/2) ln(R2 /(2ntθ))}Zp −λ tθλ2 − λ1 + a0 (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ) e 2 ×p× u1 (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ), −λ (t−τ )v(y, τ ) λ2 − λ1 + a0 (y, τ ) e 2u1 (y, τ )dydτ =QRp −λ R2 θ/(2n)R2=Eχ{γ6(n/2) ln(1/θ))} λ2 − λ1 + a0 (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ) e 2×2np2× u1 x + 2ρR θγ/(2n)Ω, t − R θ/(2n) .Заметим, что событие {γ 6 (n/2) ln(1/θ))} равно событию {θ 6 exp(−2γ/n)},поэтому процедура моделирования блуждания по сфероидам и шароидам(xk , tk ) (k = 1, 2, .

. .) на k-м шаге состоит из следующих действий.1. Моделируем случайную величину γk , имеющую гамма-распределение с параметрами (1 + n/2, 1/2) и случайную величину ηk = − ln(θk ), имеющуюпоказательное распределение.1222. Моделируем случайный вектор Ωk , распределенный с плотностьюp(ω) =1pσn det(A)kA−1 ωkна единичном эллипсоиде.23. Проверяем неравенство ηk > λ2 Rk−1/ 2n exp(2γ/n) .4. Если оно не выполнено, то переходим к (8)2/(2ntk−1 )5.

Характеристики

Список файлов диссертации