Диссертация (1145371), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(3.1.4)Используя формулу Грина (3.1.4), легко получить интегральное представление для решения u(x, t) уравнения M u = −f . Для этого применим методзамороженных коэффициентов. Фиксируем точку x. Пусть A(x) — матрица, составленная из старших коэффициентов aij (x) оператора M , A(i,j) (x) — элементыобратной матрицы A−1 (x).
Определим функцию σ(y, x) равенствомσ(y, x) =nX! 21A(i,j) (x)(yi − xi )(yj − xj ).(3.1.5)i,j=1ФункциюH(x, y) =σ 2−n (x, y)p(n − 2)σn det A(y)(3.1.6)139будем называть параметрикс. По переменной x она удовлетворяет уравнениюM0 H = 0. Здесь M0 — формально самосопряженный оператор, который получается из оператора M отбрасыванием младших членов и заменой старшихкоэффициентов фиксированными значениями aij (y).Pn2 1/2Пусть r = |x − y| =(x−y). При r → ∞ функция H(x, y)ii=1 iобладает следующей асимптотикой:H(x, y) = O(r2−n),∂H(x, y)= O(r1−n ),∂xi∂ 2 H(x, y)= O(r−n )∂xi ∂xj(3.1.7)Функцию L(x, y), непрерывную в области D при x 6= y вместе со своимипервыми и вторыми производными по переменным xi , (i = 1, 2, .
. . , n) назовемфункцией Леви, если при некотором λ > 0 справедлива асимптотикаL(x, y) − H(x, y) = O(rλ+2−n ),∂(L(x, y) − H(x, y))= O(rλ+1−n ),∂xi2∂ (L(x, y) − H(x, y))= O(rλ−n )∂xi ∂xj(3.1.8)равномерно по y в каждой замкнутой подобласти T ⊂ D.Для оператора M с гладкими коэффициентами при λ 6 1 и r → 0справедлива асимптотика:Mx L(x, y) = O(rλ−n ),Nx L(x, y) = O(rλ−n ).(3.1.9)Пусть T ⊂ D — какая-либо замкнутая область класса A(1) . Используяформулу Грина (3.1.4) и асимптотику (3.1.9), легко получить интегральноепредставление решения уравнения M u(x) = −f (x):Z(L(y, x)f (y) + u(y)Ny L(y, x)) dy +u(x) =T+" nZ XnX∂T i,j=1i=1#∂L(y, x)∂u(y)aij (y) L(y, x)−u+ ej (y)u(y)L(y, x) ×∂yi∂yi× cos(ν, yj )dy S.
(3.1.10)140Функцией Грина первой краевой задачи называется функция ЛевиG(x, y), которая как функция точки y является решением уравненияNy G(x, y) = 0,y ∈ D \ ∂D \ {x},и удовлетворяет однородному граничному условиюG(x, y) = 0 y ∈ ∂D,x ∈ D \ ∂D.Выбирая область T = T (x) ⊂ D с известной функцией Грина, из (3.1.10) приL(y, x) = G(x, y) получаем интегральное уравнениеZ XnZG(x, y)f (y)dy −u(x) =aij (y)∂T i=1T∂G(x, y)cos(ν, yj )u(y)dy S.∂yi(3.1.11)В силу принципа максимума справедливы неравенстваnXG(x, y) > 0,aij (y)i=1∂G(x, y)cos(ν, yj ) 6 0,∂yiпоэтому ядро интегрального оператора в уравнении (3.1.11) неотрицательно.Функцию Грина, как правило, найти сложно, поэтому используют функции Леви, удовлетворяющие различным условиям, которые упрощают представление(3.1.10).
Например, приL(y, x) = 0,nXi,j=1aij (y)∂L(y, x)cos(ν, yj ) 6 0,∂yiNy L(y, x) > 0,y ∈ ∂T (x);(3.1.12)L(y, x) > 0 y ∈ T (x) \ ∂T (x),получим интегральное уравнениеZ(L(y, x)f (y) + u(y)Ny L(y, x)) dy −u(x) =T−Z Xn∂T i,j=1aij (y)∂L(y, x)cos(ν, yj )u(y)dy S, (3.1.13)∂yi141приL(y, x) = 0,∂L(y, x)= 0,∂yiNy L(y, x) > 0,i = 1, 2, . . .
, n,y ∈ ∂T (x);(3.1.14)L(y, x) > 0 y ∈ T (x) \ ∂T (x),получим интегральное уравнениеZu(x) = (L(y, x)f (y) + u(y)Ny L(y, x)) dy.(3.1.15)TСправедлива очевидная лемма.Лемма 3.1.1 Если при x ∈ D выполнено неравенство c(x) 6 0, то неотрицательное ядро любого из интегральных уравнений (3.1.11–3.1.15) являетсясубстохастическим.Следовательно, к уравнениям (3.1.11–3.1.15) применимы результаты главы 1.
Действительно, каждое из этих уравнений можно записать в видеZu(x) = u(y)P (x, dy) + F (x), x ∈ D,(3.1.16)Dгде P (x, dy) — субстохастическое ядро, аZZL(y, x)f (y)dy −F (x) =TnX∂T ∩∂D i,j=1aij (y)∂L(y, x)cos(ν, yj )u(y)dy S,∂yi(3.1.17)x ∈ D,является интегралом от граничных условий и правой части уравнения. Все точки границы делятся на два типа: поглощающие и непоглощающие. Для поглощающей точки границы P (x, B) = 0 для любого борелевского множества B,F (x) = u(x).
Для непоглощающей точки границы P (x, ·) является распределением, сосредоточенным в точке x, а F (x) = 0.1423.2Первая краевая задача для эллиптическогооператораРассмотрим первую краевую задачуM u(x) = −f (x),x ∈ D;u(x) = ϕ(x),x ∈ Γ.(3.2.1)Будем предполагать, что область D и оператор M таковы, что задача (3.2.1)имеет единственное непрерывное в D и регулярное в D решение для любыхдостаточно гладких функций f (x) и ϕ(x). Достаточные условия для этого дает,например, следующая теорема [32].Теорема 3.2.1 Пусть M — эллиптический оператор, коэффициенты которого в замкнутой области D класса A(1,λ) удовлетворяют условиям aij ∈∈ C (1,λ) (D), bi ∈ C (0,λ) (D), c ∈ C (0,λ) (D).
Пусть f ∈ C (0,λ) (D)∩C(D), ϕ ∈ C(Γ)и c(x) 6 0, тогда задача (3.2.1) имеет единственное регулярное решениеu ∈ C 2 (D) ∩ C(D).Для того чтобы применить схему Неймана-Улама к решению первой краевойзадачи, наложим на семейство замкнутых множеств T (x) и функцию Леви ограничения:1) T (x) ⊆ D,2) T (x) ∈ A(1) ,R3) h(x) = L(y, x)dy −приTRnP∂T ∩∂D i,j=1aij (y)∂L(y, x)cos(ν, yj )dy S > c(δ) > 0,∂yidist(x, Γ) > δ.Если дополнительно предположить, что коэффициенты ei ∈ C (1) (D), тоиз результатов главы 1 вытекает следующая теорема.143Теорема 3.2.2 Пусть выполнены следующие условия: коэффициенты дифференциального оператора достаточно гладкие и c(x) 6 0; задача (3.2.1) имеетединственное регулярное решение в области D при всех достаточно гладкихf (x) и ϕ(x); для решения краевой задачи справедливо уравнение (3.1.16) с субстохастическим ядром P (x, dy) и оно является одним из уравнений (3.1.11–3.1.15); область T (x) и функция Леви в ней выбраны в соответствии с условиями 1)–3).Тогда почти все траектории цепи Маркова с переходной вероятностьюP (x, dy), стартующей из точки x ∈ D, либо обрываются за конечное числошагов, либо сходятся к случайной точке на границе Γ.Пусть δ > 0, τ1 — момент обрыва цепи, τ2 — момент первого попаданияцепи в δ-окрестность границы Γ и τδ = min(τ1 , τ2 ).
Математическое ожидание Eτδ < ∞.Последовательность оценок ξi =i−1Ph(xj )f (yj )χj + χi u(xi ), определен-j=0ная в (1.4.2) образует квадратично интегрируемый мартингал. Случайнаявеличина ξτδ является несмещенной оценкой u(x) и имеет конечную дисперсию. Аналогичные утверждения справедливы для последовательности оценокс весами (1.4.4)Доказательство. Из принципа максимума для эллиптических уравнений следует, что при c(x) 6 0, f (x) > 0 и ϕ(x) > 0 решение u(x) краевойзадачи является неотрицательной ограниченной функцией. Тогда правая частьуравнения (3.1.16) положительна внутри области D, так как из условий (3.1.12),(3.1.14) следует неравенствоZL(y, x)f (y)dy > 0.F (x) >TТаким образом, u(x) — эксцессивная функция относительно ядра P (x, B).Пусть vm (x) — m-я координатная функция, a > 0 — постоянная, такая что144vm (x) + a > 0 при x ∈ D.
Для некоторой постоянной b < 0 при всех x ∈ Dвыполнено неравенство am (x) + c(x)vm (x) + b < 0. Тогда функция wm (x), удовлетворяющая уравнению M wm (x) = am (x) + c(x)vm (x) + b в области D исовпадающая с vm (x) + a на границе Γ, эксцессивна. Разность wm (x) − vm (x)удовлетворяет уравнению M wm (x) − vm (x) = b и принимает положительноезначение на границе области. Значит она также эксцессивна. Тогда по теореме1.3.3 почти все траектории цепи Маркова с переходной вероятностью P (x, dy),стартующей из точки x ∈ D, либо обрываются за конечное число шагов, либосходятся к случайной точке на границе Γ.
Значит, τδ < ∞ с вероятностью 1.Условие 3) обеспечивает неравенство Eτδ < ∞, в силу леммы 1.4.3. Остальныеутверждения теоремы являются следствиями леммы 1.4.2.Для оценки с весами доказательство проводится аналогично.Приведем примеры блужданий и оценок, удовлетворяющих выбранноймодели.Пример 3.2.1. Блуждание по сферамРешается задача Дирихле для уравнения Пуассона ∆u(x) = −f (x), x ∈∈ D ⊂ Rn , n > 2. В качестве области T (x) ⊂ D , берется шар радиуса R(x)с центром в точке x. Функция R(x) удовлетворяет неравенствам c1 dist(x, Γ) 66 R(x) 6 dist(x, Γ) и непрерывна. Функция Леви определяется равенствомL(y, x) = |x − y|2−n − R2−n / σn (n − 2) .Несложные вычисления показывают, что справедливы неравенстваZh(x) = L(y, x)dy > R2 (x)/(2n) > (c1 δ)2 /(2n).TДля выбранной функции Леви выполнены условия (3.1.12), а для решения задачи Дирихле справедливо уравнение (3.1.13), которое теперь имеет видR2 (x)u(x) = Eu x + R(x)ω +Ef x + R(x)ρω ,2n145где ω — изотропный вектор в Rn , а случайная величина ρ имеет на отрезке[0, 1] плотность распределения p(r) = 2n r − rn−1 /(n − 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
