Диссертация (1145371), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Для этого представим ядро (3.3.3) в видеk(x, y) =1 cos ϕxyk1 (x, y),σn |x − y|n−1(3.3.7)где cos ϕxy — угол между вектором y − x и внешней нормалью к поверхностиполушара T (x) в точке y. Несложные вычисления позволяют получить дляфункции k1 (x, y) верхнюю границу M = max(M1 , M2 ), где!n !2pβM1 =1 + β2 1 − p,β1 + β2n p1+β1−βM2 = 1 + β 21−.1−β1+βДля выбора следующей точки блуждания xi+1 моделируем изотропный векторω единичной длины и случайную величину α, распределенную равномерно наотрезке [0, 1]. Определяем точку y ∈ ∂T (xi ), видимую из xi в направлении ω.Если αM < k1 (xi , y), то xi+1 = y. В противном случае процедура повторяетсядо тех пор, пока неравенство αM < k1 (xi , y) не будет выполнено.162Правая часть уравнения (3.3.5) F (x) =RG(x, y)f (y)dy.

Для получе-T (x)ния оценки ηi достаточно записать этот интеграл в сферических координатах.Для вычисления оценки моделируем изотропный единичный вектор ω и двеслучайные величины α1 и α2 , распределенные равномерно на отрезке [0, 1].Определяем точку y ∈ ∂T (xi ), видимую из xi в направлении ω, вычисляемα(2) = max(α1 , α2 ) и находимn−2|y − xi |2 α(2) (y − xi )G xi , xi + α(2) (y − xi ) ×ηi = (n − 2)σn2× f xi , xi + α(2) (y − xi ) .Задача с разрывом нормальной производнойПусть область D разбита некоторой гиперплоскостью на две подобластиD+ и D− , в каждой из которых функция u(x) — гармоническая внутри областии непрерывная в замкнутой области.

Известны значения ϕ(x) функции u(x) награнице области D, и выполняется условие сопряженияλ∂u∂u=,∂ν + ∂ν −(3.3.8)связывающее значения нормальных производных функции u(x), вычисленныхдля областей D+ и D− , на границе раздела. Будем считать, что нормаль ν направлена в сторону D+ , а λ = const > 0 и λ 6= 1. Для упрощения выкладокрассмотрим лишь задачу в пространстве R3 . Не умаляя общности, можно считать, что плоскость раздела имеет уравнение v1 (x) = 0, и вектор ν являетсяортом первой координатной оси.Применим для решения задачи процесс блуждания по полусферам.

Действительно, в каждой из областей D+ и D− можно строить процесс, как этосделано ранее. При выходе блуждания на плоскую границу необходимо выполнить переход внутрь области.163Пусть точка x лежит на границе раздела области D на D+ и D− . Возьмем в качестве области T (x) шар максимального радиуса d = d(x) с центром вx, лежащий в D. Пусть T+ = T (x) ∩ D+ и T− = T (x) ∩ D− .

Если решение u(x)имеет на границе раздела правильную нормальную производную, то из формулы Грина и свойств потенциалов простого и двойного слоя легко получитьинтегральные представленияZZZ111 ∂u(y)1∂u(y)u(x) =dS−dy S,u(y)dS+yy2πd22πd∂ν2π|x − y| ∂ν+S+HS+ZZZ11 ∂u(y)11∂u(y)dS+dy S,u(x) =u(y)dS+yy2πd22πd∂ν2π|x − y| ∂ν−S−S−H∂u(y)— производная по внешней нормали на сфере. Учитывая условия∂νразрешимостиZZ∂u(y)∂u(y)dy S −dy S = 0,∂ν∂ν+S+HZZ∂u(y)∂u(y)dy S +dy S = 0∂ν∂ν−гдеS−Hзадачи Неймана в T+ и в T− и условие сопряжения, получаем интегральноепредставление решенияλ1u(x) =1 + λ 2πd2Z11u(y) dy S +1 + λ 2πd2S+Zu(y) dy S.(3.3.9)S−Из (3.3.9) следует, что переход из точки x нужно выполнять в точку,распределенную с вероятностьюленную с вероятностью11+λλ1+λравномерно на полусфере S+ , и, распреде-равномерно на полусфере S− .Отметим, что в данном случае переходная вероятность P (x, A) являетсямарковским ядром и момент обрыва блуждания N = ∞ с вероятностью 1.

Всякое ограниченное решение исходной задачи является инвариантной функцией164ядра и, следовательно, определяет сходящийся мартингал оценок u(xi ). Координатные функции v2 (x) и v3 (x) являются инвариантными для ядра P (x, A),так как они гармонические и удовлетворяют условиям сопряжения на плоскости v1 (x) = 0. При λ < 1 на плоскости v1 (x) = 0 верно неравенствоZ1λP (x, dy)v1 (y) =1 + λ 2πd2Z11v1 (y) dy S +1 + λ 2πd2S+T (x)Zv1 (y) dy S =S−λ−1 1=1 + λ 2πd2Zv1 (y) dy S < 0.S+Следовательно, координатная функция v1 (x) — эксцессивная для ядра P (x, A).При λ > 1 эксцессивной является функция −v1 (x).

Из Теоремы 1.3.3 теперьследует лемма.Лемма 3.3.3 Процесс блуждания по полусферам для задачи Дирихле с условием сопряжения нормальных производных на плоской границе раздела сходится с вероятностью 1 к некоторому случайному вектору x∞ ∈ ∂D.Доказательство. Существование предела уже доказано. При переходеиз точки xi , лежащей на плоскости, на сферу верно равенство |xi+1 −xi | = d(xi ),поэтому x∞ ∈ ∂D, если блуждание посетило плоскость x1 = 0 бесконечное число раз. В противном случае, начиная с некоторого момента времени, процессне покидал одного из двух множеств, например, множества D+ .

Пусть d+ (x) —расстояние до границы области D+ . При переходе на полусферу справедливонеравенство |xi+1 − xi | > min(1, β −1 − 1)d+ (xi ), поэтому d+ (xi ) → 0. Следовательно, либо x∞ ∈ ∂D, либо v1 (x∞ ) = 0.Рассмотрим множество B таких траекторий, для которых v1 (x∞ ) = 0,d(x∞ ) > r > 0 и v1 (xi ) 6= 0, начиная с некоторого номера. Все точки последовательности xi , начиная с некоторого номера, лежат в полушаре радиуса r/2 сцентром в точке x∞ , поэтому их проекции на плоскость v1 (x) = 0 также лежат165в этом полушаре. Следовательно, полушар с центром в x0 (i) и радиуса r лежитв D+ . Поскольку, расстояние до полуплоскости от точки xi стремится к нулю,то отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, каждая следующая точкаблуждания лежит на полусфере.Итак, для траекторий из множества B переход на полусферу осуществляется бесконечное число раз.

Вероятность такого перехода постоянна. Так каквыбор направления на каждом шаге блуждания осуществляется независимо отпредистории процесса, то вероятность перейти на полусферу бесконечное числораз равна нулю. Значит, для всех r > 0 с вероятностью 1 выполняется неравенство d(x∞ ) 6 r. Справедливость леммы вытекает теперь из непрерывностивероятностной меры.Задача со смешанными граничными условиямиПусть граница Γ области D состоит из двух частей Γ1 и Γ2 . Для определения гармонической в области D функции u(x) по ее значениям на Γ1 и значениям ее нормальной производной на Γ2 также можно применить блуждание пополусферам.

Для упрощения выкладок рассмотрим задачу в пространстве R3 .Пусть точка x лежит внутри области или на границе Γ2 . Определим функциюd(x) как расстояние от точки x до Γ1 . Возьмем в качестве области T (x) пересечение шара радиуса d = d(x) с центром в x и области D. Пусть γ = Γ2 ∩ T (x),а S — сферическая часть границы области T (x). Тогда из формулы Грина исвойств потенциалов простого и двойного слоя следует представлениеZZ ∂uκcos ϕxyκ∂ν (y)u(x) =dy S,2 u(y) dy S +4π4π|x − y||x − y|γ∪Sγ∪Sгдеκ = κ(x) =1, x ∈ D,2, x ∈ Γ2 .166Учитывая, чтоZ∂u(y) dy S = 0,∂νγ∪Sполучаем интегральное представлениеZZ cos ϕxy11 ∂uκκ−(y) dy S,u(x) =u(y) dy S +4π4π|x − y| d ∂ν|x − y|2(3.3.10)γγ∪Sаналогичное уравнению (3.3.5).

Здесь ν — внешняя нормаль к границе области,а ϕxy — угол между внешней нормалью к γ ∪ S и вектором y − x.Если T (x)∩V — выпуклое множество, то ядро интегрального оператора в(3.3.10) является стохастическим и определяет блуждание, которое естественноназвать блужданием по сферам и границе. Очередная точка в таком блуждании является ближайшей к x точкой границы области, или границы шараT (x), видимой из x, в направлении изотропного вектора ω, распределенного впространстве, если x ∈ D, или в полупространстве, если x ∈ Γ2 . Поведениетраекторий этого процесса характеризует лемма.Лемма 3.3.4 Пусть Γ1 содержит замкнутое подмножество Γ3 , имеющееположительную площадь, и расстояние от которого до Γ2 положительно.Тогда блуждание по сферам и границе сходится с вероятностью 1 к случайнойточке x∞ ∈ Γ1 .Доказательство. Докажем, что существует гармоническая в области Dфункция u(x), такая что∂u∂ν (x)= 1 при x ∈ Γ2 .

Так как расстояние между мно-жествами Γ3 и Γ2 положительно, то существуют неотрицательная непрерывнаяфункция ϕ1 (x), равная 1 на Γ2 и равная 0 на Γ3 , и неотрицательная непрерывная функция ϕ2 (x), равная 0 на Γ2 и равная 1 на Γ3 . Пусть λ1 и λ2 — поверхностные интегралы от этих функций по границе Γ1 ∪ Γ2 области D. Посколькуλ2 > 0, то поверхностный интеграл от функции ϕ(x) = ϕ1 (x) − (λ1 /λ2 )ϕ2 (x) равен нулю. Значит, существует гармоническая функция u(x), удовлетворяющаяграничному условию∂u∂ν (x)= ϕ(x).167Пусть xi — положение блуждания в момент времени i.

Из уравнения(3.3.10) для построенной функции u(x) следует, что последовательность случайных величин u(xi ) является ограниченным супермартингалом, который сходится с вероятностью 1. Аналогичными свойствами обладает последовательностьu(xi ) + vj (xi ) для любой координатной функции vj (x). Значит, последовательность xi сходится с вероятностью 1 к некоторой точке x∞ .Если в процессе блуждания переход на сферическую часть границы области T (x) осуществлялся бесконечное число раз, то на некоторой подпоследовательности ij (j = 1, 2, 3, .

. .) выполняется равенство d(xij ) = |xij +1 − xij |.Переходя в нем к пределу, получим d(x∞ ) = 0.Рассмотрим множество траекторий B, в которых, начиная с некоторогомомента времени, блуждание происходит по границе Γ2 . Пусть Ω(x) — телесныйугол, под которым видна поверхность Γ1 из точки x, Ω0 = inf Ω(x) > 0, p(x) —x∈Γ2вероятность того, что блуждание не покинет Γ2 при переходе из точки x ∈ Γ2 .Очевидно, что p(x) 6 1 −Ω04π= q < 1. В силу марковского свойства, вероят-ность того, что траектория не покинет Γ2 за первые n шагов, не превзойдет q n .∞PРядq n сходится, поэтому по лемме Бореля-Кантелли вероятность того, чтоn=1траектория не покинет Γ2 равна нулю.

Значит, множество траекторий B имеетвероятность ноль, что завершает доказательство леммы.Задачу со смешанными граничными условиями для уравнения Пуассонаможно исследовать аналогично.168Результаты вычислительных экспериментовЗадача Дирихле.Методами блуждания по сферам и блуждания по полусферам решаласьзадача Дирихле для уравнения Лапласа в кубе V = [−1, 1]3 .Ниже представлены результаты вычислений в десяти случайно выбранных точках куба для граничного условия222 −1/2ϕ(x) = x1 + 1.1 + x2 + 1 + x3 + 1.Данные с индексом 1 соответствуют блужданию по сферам, а с индексом 2 —блужданию по полусферам. Величина L равна средней длине траектории.Блуждание по сферам останавливалось в δ — окрестности границы (δ =0.001). Параметр β = 0.5, объем выборки N = 10 000. Погрешности вычислений ∆1 и ∆2 определялись как утроенный корень из отношения выборочнойдисперсии к объему выборки.Решение задачи u(x) = ϕ(x).x1−0.9x2x3uu1∆1L1u2∆2 L20.7 −0.6 0.532 0.533 0.002 16.7 0.531 0.002 5.0−0.6 −0.2 −0.1 0.697 0.700 0.008 19.8 0.700 0.008 5.4−0.20.1−0.80.1 −0.5 0.727 0.731 0.006 18.5 0.727 0.006 5.0−0.60.60.1 0.521 0.523 0.007 19.8 0.520 0.007 6.90.1 0.467 0.467 0.004 18.6 0.468 0.004 6.60.3 −0.8 −0.8 0.684 0.683 0.004 17.0 0.685 0.004 6.30.2 −0.8 −0.1 0.600 0.600 0.005 19.0 0.601 0.005 4.70.7 −0.7 −0.9 0.539 0.539 0.002 16.6 0.539 0.002 5.2−0.5 −0.10.1 0.598 0.597 0.007 20.0 0.599 0.007 7.10.1 −0.60.8 0.434 0.434 0.003 18.2 0.436 0.003 6.4169Задача с разрывом нормальной производной.Методом блуждания по полусферам решалась задача Дирихле для уравнения Лапласа в кубе D = [−1, 1]3 с условием сопряжения (3.3.8) на плоскостиx1 = 0, при λ = 0.5.

В таблице представлены результаты вычислений в десятислучайно выбранных точках куба для граничного условияϕ(x) =222 −1/2x1 + 1.1 + x2 + 1 + x3 + 1++0.5x1 , x1 < 0,x1 ,x1 > 0.Решение задачи u(x) = ϕ(x). Найденное приближенное решение — u1 . Параметрβ = 0.5, объем выборки N = 10 000. Погрешности вычислений ∆ определялиськак утроенный корень из отношения выборочной дисперсии к объему выборки.Величина L равна средней длине траектории.x1x2x3uu1∆L−0.3 −0.4 −0.4 0.707 0.731 0.012 14.3−0.3 −0.2 −0.1 0.734 0.734 0.0000.00.4 −0.9 0.887 0.889 0.0076.20.9 −0.6 −0.1 1.349 1.350 0.0065.1−0.6 −0.7 −0.9 1.390 1.391 0.0155.50.40.30.40.1 0.742 0.760 0.014 13.10.10.8 −0.3 0.540 0.548 0.0096.7−0.8 −0.9 −0.5 1.290 1.288 0.014 16.60.50.30.3 0.910 0.914 0.013 11.20.20.90.6 0.557 0.561 0.007 10.21703.3.2Внешняя задача Дирихле для уравнения ЛапласаПусть D — ограниченная область в Rn , n > 3, Γ — ее граница, D1 == Rn \ D. Будем решать внешнюю задачу Дирихле:∆u(x) = 0,x ∈ D1 ,u(x) = ϕ(x),x ∈ Γ,(3.3.11)u(x) → 0 при x → ∞где ϕ(x) — непрерывная функция на Γ.Для областей D1 , которые можно представить в виде конечного объединения подобластей с известными функциями Грина, она решалась статистическими методами в [39] .

Характеристики

Список файлов диссертации