Диссертация (1145371), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть k – вектор с компанентами k l и |k| –его длина, тогда√(A(x)z, grady (z > A(y ∗ )z) 6 ν1 |k||z|3 6 ν1 |k||z|2 / ν.Наконец, пусть постоянная k2 является верхней границей для|grady (Sp(A(y ∗ )A−1 (x)))|,тогда√|(grady (Sp(A(y ∗ )A−1 (x)), A(x)z)| 6 k2 ν1 |z| 6 k2 ν1 ν1 |z|2 .Еслиk3 = max |C(x)|,x∈DтоZRZRZRC(y) (σ 2−n − ρ2−n )p(ρ)dρ 6 k3 σ 2−n p(ρ)dρ 6 k3 σ 2−n ν1 |z|2 p(ρ)dρσσσТаким образом, для выполнения неравенства Ny L > 0, достаточно неравенства√√√(n − 2)νp(σ) > [(n − 2)(|β| ν1 + ν1 |k|/ ν + k2 ν1 ν1 ) + k3 ν1 R]ZRp(ρ)dρ.σСледовательно, постоянную κ можно определить равенством√√√κ = [(|β| ν1 + ν1 |k|/ ν + k2 ν1 ν1 )/ν + k3 ν1 R/(n − 2)/ν].Если C(y) > 0, то можно взять k3 = 0.216A.4.3Моделирование величины Z1 для внешней задачи ДирихлеУдобнее моделировать не Z1 , а случайную величину T = (1 + Z1 )/2,которая имеет на [0, 1] плотностьp1 (t) =|x|n−2 (|x|2 − ρ2 ) σn−1 n−2 t(n−3)/2 (1 − t)(n−3)/22(|x| + ρ)nσn(1 − at)n/2(A.4.4)где a = 4ρ|x|/(|x| + ρ)2 .
Разлагая (1 − at)−n/2 в ряд по степеням t, получаем дляp1 (t) выражениеp1 (t) =∞Xak pk+(n−1)/2,(n−1)/2 (t),k=0где pm,l (t) — плотность бета-распределения с параметрами m, l. Коэффициентывычисляются по формулам(n + 2k)(n + 2k − 1), k = 0, 1, 2, . . . ,4(k + 1)(n + k − 1|x|n−2 (|x|2 − ρ2 ).a0 =(|x| + ρ)nPКоэффициенты ak неотрицательны, и ∞k=0 ak = 1.ak+1 = ak aФормула (A.4.4) показывает, что случайную величину T следует моделировать методом суперпозиции.1. Выбираем случайный номер K, распределение которого задается коэффициентами ak , т.е.P (K = k) = ak .2.
Моделируем плотностьn−1 (t).pK+ n−12 , 2Полученная таким образом случайная величина будет иметь требуемое распределение.Если n = 3, то можно явно вычислить функцию распределения для Z1 :|x|2 − ρ2 22−1/2−1F (z1 ) =(|x| + ρ − 2|x|ρz1 )− (|x| + ρ).(A.4.5)2ρ217Отсюда по формуле обращения получается моделирующая формула 2 2 2|x| −ρ22|x| + ρ − |x|−ρ+2αρ.Z1 =2|x|ρ(A.4.6)Здесь α распределено равномерно на [0, 1]. Отметим, что коэффициенты akубывают со скоростью геометрической прогрессии, так какa64ρρ1< 1.ρ2 + ρ21218ЗаключениеРабота вносит значительный вклад в теорию методов Монте-Карло.Предложенные в ней алгоритмы обладают естественным параллелизмом, чтоспособствует их эффективной реализации на суперкомпьютерах, компьютерных кластерах и других многопроцессорных вычислительных системах.Результаты работы можно использовать при решении задач электростатики, стационарных и нестационарных задач теплообмена, других физическихи технических задач, математической моделью которых является краевая задача для уравнений в частных производных.Для исследования свойств случайных блужданий и несмещенных оценок решений краевых задач на траекториях этих блужданий применяется теория мартингалов.
Такой подход позволил сформулировать простые достаточные условия для сходимости блуждания к границе области и для ограниченности дисперсии статистических оценок.Все предложенные в работе статистические алгоритмы являются новыми.Основные результаты работы состоят в следующем.1. Доказаны теремы о сходимости случайного блуждания внутри области к еёгранице. Условия сходимости сформулированы в терминах существованияэксцессивных и инвариантных функций, с легко проверяемыми свойствами,для переходной вероятности блуждания.2. Описан и исследован класс процедур последовательного оценивания, ко-219торый включает в себя хорошо известную в теории методов Монте-Карлосхему Неймана-Улама для решения интегральных уравнений.3.
Для интегральных уравнений второго рода с субстохастическим ядромпостроена универсальная статистическая процедура оценивания решенияуравнения и функционалов от него. Построенная теория применена к исследованию алгоритмов метода Монте-Карло для решения краевых задач.4. Впервые построены бессеточные алгоритмы статистического моделирования для решения первой краевой задачи для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, включаякоэффициенты при старших производных.5.
Разработаны новые алгоритмы статистического моделирования решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Алгоритмы основаны на интегральном уравнении дляфундаментального решения параболического уравнения. Исследованы какпрямая, так и сопряженная схема Неймана-Улама.6. Методом блуждания по границе решена начально-краевая задача дляуравнения теплопроводности с нелинейным граничным условием СтефанаБольцмана, имеющая важные практические применения.7. Для широкого класса краевых задач, связанных с оператором Лапласа,построены процедуры моделирования несмещенных статистических оценокрешений этих задач, что позволяет оценивать погрешность найденного приближенного решения в ходе вычислений.
В частности, разработаны различные варианты алгоритма блуждания по полусферам для уравнения Пуассона в многограннике с краевыми условиями первого и третьего рода.8. Предложены алгоритмы блуждания по сферам и полусферам для внешнейзадачи Дирихле для уравнения Лапласа.
На их основе создан универсальный алгоритм расчета взаимных электростатических емкостей систем проводников, позволяющий решать основную задачу электростатики в средах220с кусочно постоянной диэлектрической проницаемостью.9. Введено понятие главной части интегрального оператора, с помощью которого построены эффективные статистические процедуры решения уравнений теории потенциала. Сформулированы и обоснованы методы выделенияглавной части оператора с помощью процедуры стохастической аппроксимации.10. Разработаны эффективные процедуры моделирования случайных величин,используемых при решении краевых задач методами Монте-Карло.221Литература1.
Бочек И. А. О вычислении коэффициентов Ритца и Галеркина методомМонте-Карло / И. А. Бочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. –1967. – Т. 7, № 1. – С. 172–177.2. Булинский А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский , А. Н. Ширяев – Москва: Физматлит, 2005.3.
Бурмистров А. В. Вычисление производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло / А. В. Бурмистров,Г. А. Михайлов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2003. – Т. 43,№ 10. – С. 1517–1529.4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров– Москва: Наука, 1971.5.
Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гюнтер – Москва: Гостехиздат, 1953.6. Голяндина Н. Э. Некоторые функциональные неравенства и исследование скорости сходимости марковских цепей к границе / Н. Э. Голяндина// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1991.– Т. 31, № 7.– С. 1029–1041.7.
Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин – Москва: Физматгиз,1963.8. Дынкин Е. Б. Теоремы и задачи о процессах Маркова / Е. Б. Дынкин,А. А. Юшкевич – Москва: Наука, 1967.2229. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков –Москва: Наука, 1975.10. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике/ С. М. Ермаков – Санкт-Петербург: СПбГУ, 2008.11. Ермаков С. М.
Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов – Москва: Наука, 1982.12. Ермаков С. М. Случайные процессы для решения классических уравненийматематической физики / С. М. Ермаков, В. В. Некруткин, А. С. Сипин –Москва: Наука, 1984.13. Ермаков С. М. Новая схема метода Монте-Карло для решения задач математической физики / С. М. Ермаков, А. С.
Сипин // Доклады АН СССР. –1985. – Т. 285, № 3.14. Ермаков С. М. Процесс блуждания по полусферам и его применение к решению краевых задач / С. М. Ермаков, А. С. Сипин // Вестн. С.-Петерб.ун-та. – 2009. – Сер. 1, Вып. 3. – С. 9–18.15. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов / С. М. Ермаков, А. С.
Сипин – Санкт-Петербург: СПбГУ, 2014.16. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. – Москва: Наука, 1968.17. Кронберг А. А. Об алгоритмах статистического моделирования решениякраевых задач эллиптического типа / А. А. Кронберг // Журн. вычисл.матем. и матем. физ. – 1984.– Т. 24, № 10. – С. 1531–1537.18.
Кронберг А. А. Об асимптотике математического ожидания числа шаговε-сферического процесса / А. А. Кронберг // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1980.– Т. 20, № 2. – С. 528–531.19. Кузнецов А. Н. Универсальный алгоритм расчета электростатических емкостей системы проводников методом Монте-Карло / А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Матем. моделирование. – 2009. – Т. 21, № 3. – С.
41–52.22320. Кузнецов А. Н. Статистические оценки для степеней оператора Грина/ А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки. – 2009. – № 2. – С. 114–123.21. Кузнецов А. Н. Оценки методом Монте-Карло итераций оператора Грина и собственных чисел первой краевой задачи для оператора Лапласа/ А. Н. Кузнецов, И. А. Рытенкова, А. С.
Сипин // Вестн. Сам. гос. техн.ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 4. – С.82–92.22. Кузнецов А. Н. Решение некоторых задач математической физики методами Монте-Карло. Диссертация на соискание учёной степени кандидатафизико-математических наук. Вологда — 2012.23. Кузнецов А. Н.Расчёт взаимных электростатических ёмкостей системыпроводников, разделённых диэлектриками, методом блуждания по полусферам / А. Н. Кузнецов // Матем. моделирование.
– 2015. – Т. 27, № 3. –С. 86–95.24. Курбанмурадов О. А. Оценка математического ожидания числа шагов εсферического процесса / О. А. Курбанмурадов //Методы Монте-Карло ввычисл. математике и мат. физике. Ч.2 – Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1979. – С.137–144.25. Курбанмурадов О. А. Асимптотика среднего числа блужданий до попадания в ε-окрестность границы для одного класса однородных цепей Маркова. / О.
А. Курбанмурадов //Системное моделирование в информатике. –Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. – С. 13–22.26. Курбанмурадов О. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе/ О. А. Курбанмурадов, К. К. Сабельфельд, Н. А. Симонов – Новосибирск:ВЦ СО АН СССР, 1989.27. Купцов Л. П. Свойства среднего и принцип максимума для параболическихуравнений второго порядка / Л. П.Купцов // Доклады АН СССР. – 1978. –Т. 242, № 3.
– С. 56–59.22428. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболическоготипа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева – Москва: Наука, 1967.29. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц – 2-е, перераб. изд. – Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1982. – Т. VIII. Электродинамика сплошных сред.30.
Марчук Г. И. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук,Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев и др.– Новосибирск: Наука, 1976.31. Меер П. А. Вероятность и потенциалы / П. А. Меер – Москва: Мир, 1973.32. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа/ К. Миранда – Москва: ИЛ, 1957.33. Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения уравнения Гельмгольца / Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
