Диссертация (1145368), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Çàêîíèçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ ëèíåéíûì[3]:dθ2= ω2f ree t + Lg(t),dt(3.57)ãäå ω2f ree ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà. Äëÿ ñèíòåçàíåñóùåé îáû÷íî ïðèìåíÿþòñÿ âûñîêîñòàáèëüíûå ãåíåðàòîðû, ïîýòîìó äàëåå144ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åå ÷àñòîòà ïîñòîÿííà(3.58)θ1 (t) = ω1 t + θ1 (0).Òîãäà ó÷èòûâàÿ (3.57) è (3.56),ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ñõåìó Êîñòàñà â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ.1x˙1 = A1 x1 + b1 m(t) (cos(θΔ ) − cos(−θΔ + 2(ω1 t + θ1 (0)))) ,21x˙2 = A2 x2 + b2 m(t) (sin(θΔ ) + sin(−θΔ + 2(ω1 t + θ1 (0)))) ,2∗ẋ = Ax + b(c1 x1 )(c∗2 x2 ),(3.59)θ̇Δ = ωΔ − L(c∗ x) − Lh(c∗1 x1 )(c∗2 x2 ),ωΔ = ω1 − ω2f ree .Ñèñòåìà(3.59)ÿâëÿåòñÿíåëèíåéíîéíåàâòîíîìíîéñèñòåìîéäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ è åå èññëåäîâàíèåÿâëÿåòñÿ òðóäíîé çàäà÷åé.Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðè èçìåíåíèè ñèãíàëà äàííûõ m(t) ñõåìà Êîñòàñà íåòåðÿëà ñèíõðîíèçàöèþ, îíà ìîæåò ïðîåêòèðîâàòüñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáûâðåìÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè ñèíõðîíèçàöèè áûëî ìåíüøå ïåðèîäà ñìåíûçíàêà m(t) [57].
Ïîýòîìó äàëåå ïðè ðàññìîòðåíèè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ áóäåìñ÷èòàòü m(t) ≡ 1.Ïîêàæåì, ÷òî îò ñèñòåìû (3.59) ìîæíî ïåðåéòè ê èçó÷åíèþ áîëåå ïðîñòîéàâòîíîìíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ [13,14]. Òàê êàêíåñóùàÿ ÿâëÿåòñÿ âûñîêî÷àñòîòíûì ñèãíàëîì (ω1 âåëèêî), ââåäåì îáîçíà÷åíèåäëÿ ìàëîãî ïàðàìåòðà è ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû âðåìåíè ε =1ω1 , τ= ω1 t.Òîãäà ñèñòåìà (3.59) ïðèìåò âèädz= εF (z, τ ),dτ ⎛⎞x1⎜⎟z=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎟x2 ⎟⎟⎟,⎟x ⎟⎟⎠θΔF (z, τ ) =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝A1 x1 + b1 (cos(θΔ ) − cos(−θΔ + 2(τ + θ1 (0))))A2 x2 + b2 (sin(θΔ ) + sin(−θΔ + 2(τ + θ1 (0))))Ax + b(c∗1 x1 )(c∗2 x2 )ωΔ − L(c∗ x) − Lh(c∗1 x1 )(c∗2 x2 )⎞⎟⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎠(3.60)145Ðàññìîòðèì òåïåðü óñðåäíåííóþ ñèñòåìó⎛dz1= εFav (z), Fav (z) =dτ2π2πF (z, τ )dτ =0⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝A1 x1 + b1 21 cos(θΔ )A2 x2 + b2 21 sin(θΔ )Ax + b(c∗1 x1 )(c∗2 x2 )ωΔ − L(c∗ x) − Lh(c∗1 x1 )(c∗2 x2 )⎞⎟⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎠(3.61)Ñîãëàñíî ìåòîäó óñðåäíåíèÿ [10,11] ðåøåíèÿ ñèñòåì (3.60) è (3.61) áëèçêè.Äëÿ òîãî ÷òîáû îáîñíîâàòü ïåðåõîä îò (3.61) ê êëàññè÷åñêîé óïðîùåííîéñèñòåìå, íåîáõîäèìû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ.
Ïóñòü ôóíêöèè θ1 (t), θ2 (t)ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè è ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ωmin , òàêîå ÷òîäëÿ ÷àñòîòdθ1,2dtóñëîâèådθ1,2(t) ≥ ωmin > 0dt(3.62)âûïîëíÿåòñÿ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [0, T ], ãäå T íåçàâèñèò îò ωmin .  ñèëó ãëàäêîñòè ðàçíîñòü ÷àñòîò ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíàíà ðàññìàòðèâàåìîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè& dθ1&&(t)dt−dθ2 &&max(t)& ≤ ωΔ, ∀t ∈ [0, T ],dt(3.63)maxmax íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà (áóäåì ïðåäïîëàãàòü ÷òî ωΔìàëî ïîãäå ωΔñðàâíåíèþ ñ ωmin ).Äîïîëíèòåëüíî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ÔÍ×1 è ÔÍ×2 óñòîé÷èâû èïîñëå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðîïóñêàþò áåç èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû ñèãíàëû ñmax÷àñòîòîé íèæå ωΔ, è ïîäàâëÿþò ñèãíàëû âûñîêîé ÷àñòîòû.
Òîãäà ñóùåñòâóåòt0 òàêîå, ÷òî tc∗1,2 eA1,2 (t−τ ) b1,2 sin θΔ (τ )dτ =t01= sin θΔ (t) + O( min ), ∀θ̇Δ (t)ω tc∗1,2 eA1,2 (t−τ ) b1,2 sin θΔ (τ )dτt0∀θ̇Δ (t) > √1.ω minmax≤ ωΔ,= O(1ω min),(3.64)146Òîãäà äëÿ t > t0 èìååìϕ(t) = g1 (t)g2 (t) = t ∗ A (t−τ ) b1t ∗ A (t−τ ) b211cos θΔ (τ )dτ + O(sin θΔ (τ )dτ + O(ce 1)ce 2) =t0 1t0 22ωmin2ωmin1111cos(θΔ (t)) sin(θΔ (t)) + O() = sin(2θΔ (t)) + O().4ωmin8ωmin(3.65)Èñïîëüçóÿóðàâíåíèÿ(3.56)è(3.57)ïîëó÷èìóïðîùåííîåóðàâíåíèåêëàññè÷åñêîé ñõåìû Êîñòàñà11ẋ = Ax + b sin(2θΔ ) + O(),8ωmin11θ̇Δ = ωΔ − L(c∗ x) − Lh sin(2θΔ ) + O().8ωmin(3.66)Ñèñòåìà (3.67) ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñõåìû Êîñòàñà [3]1ẋ = Ax + b sin(2θΔ ),81θ̇Δ = ωΔ − L(c x) − Lh sin(2θΔ ),8∗1).ñ òî÷íîñòüþ äî O( ωmin(3.67)Äëÿ ãàðàíòèðîâàíèÿ áëèçîñòè ðåøåíèé (3.67) è1êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé áåç O( ωmin) äîëæíû áûòü âûïîëíåíû äîïîëíèòåëüíûåóñëîâèÿ íà êà÷åñòâåííîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû.Òåîðåìà 12.
Ïîëîñà óäåðæàíèÿ ìîäåëè (3.61) c ïðîïîðöèîíàëüíîèíòåãðèðóþùèì ôèëüòðîì (Ô) ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéF (s) =1 + sτ2,1 + sτ1τ1 > τ2 > 0(3.68)è íèçêî÷àñòîòíûìè ôèëüòðàìè (ÔÍ×1, ÔÍ×2) ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéLP F (s) =11 + ωs3(3.69)147èìååò âèä 2L4−1−ωτL31⎢ 1 −< |ωΔ | < ,⎢⎢ 8L −τ1 + τ2 + ω3 τ1 τ28⎢⎢−1 − ω3 τ1τ − τ2 4⎢⎢ ïðè ω < 1, || < 1,3⎢⎢τ1 τ 2L −τ1 + τ2 + ω3 τ1 τ2⎢⎢Lτ4−τ−1−ωτ⎢1231⎢ |ωΔ | <, ïðè ω3 <, ||⎢⎢8τ1 τ2L −τ1 + τ2 + ω3 τ1 τ2⎢⎢Lτ 1 − τ2⎣|ωΔ | < , ïðè ω3 ≥.8τ1 τ2⎡Äîêàçàòåëüñòâî.(3.70)> 1,Òàê êàê â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ðàñôàçèðîâêàóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþωΔLsin(2θeq ),8=äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñîñòîÿíèéðàâíîâåñèÿ íåîáõîäèìîL.8Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì ëèíåàðèçàöèè ñèñòåìû (3.61) èìååò âèä|ωΔ | <Ls(1 + τ2 s) cos(2θeq ) + s(1 + )(1 + τ1 s),4ω3(3.71)(3.72)ãäå θeq ðàñôàçèðîâêà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèè ñèñòåìû.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿïîëîñû óäåðæàíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåì Ðàóñà-Ãóðâèöà. Òîãäàïîëó÷èì, ÷òî äëÿ äëÿ ñëåäóþùèõ ïàðàìåòðîâω3 ≥τ1 − τ2,τ1 τ2(3.73)ïðè âûïîëíåíèè (3.71) âñåãäà ñóùåñòâóþò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ êîòîðûõïîëèíîì (3.72) óñòîé÷èâ. Îäíàêî â ñëó÷àåω3 <τ1 − τ2τ1 τ2(3.74)äëÿ óñòîé÷èâîñòè ïîëèíîìà íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà4−1 − ω3 τ1.cos(2θeq ) <L −τ1 + τ2 + ω3 τ1 τ2(3.75)Òîãäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû,ïîëó÷èì (3.70). 148Çäåñü ñèñòåìû (3.67) è (3.61) èìåþò îäèíàêîâûå ðàñôàçèðîâêè θeq âñîñòîÿíèÿõ ðàâíîâåñèÿ.
Îäíàêî ïîëîñà óäåðæàíèÿ äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè(3.67) èìååò âèä|ωΔ | <L.8è íå çàâèñèò îò ω3 . ßñíî, ÷òî ïðè ω3 <τ1 −τ2τ 1 τ2 ,(3.76)| L4−1−ω3 τ1−τ1 +τ2 +ω3 τ1 τ2| < 1 ïîëîñàóäåðæàíèÿ óñðåäíåííîé ìîäåëè (3.61) óæå ïîëîñû óäåðæàíèÿ êëàññè÷åñêîéìîäåëè (3.67).Ñëåäóþùèå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè íàðóøåíèè ïðåäïîëîæåíèéî íà÷àëüíûõ äàííûõ ôèëüòðîâ èëè óñëîâèé (3.64) ìîäåëü ñõåìû Êîñòàñàïåðåñòàåò îïèñûâàòü ðåàëüíóþ ðàáîòó ñõåìû.Ïðèìåð 1[Ðèñ. 3.23] ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû (3.59) ïîêàçûâàåò,÷òî íà÷àëüíûå äàííûå ÔÍ×1, ÔÍ×2 ìîãóò ïðåïÿòñòâîâàòü çàõâàòó ÷àñòîòûñõåìîé Êîñòàñà.
Çäåñü A1,2 = −ω3 , b1,2 = 1, c1,2 = ω3 , θ1 (0) = 0, A = 0, b = 1,c=12·10−5 ,h=3.9789·10−62·10−5 ,L = 4.8 · 106 , ω1 = 2 · π · 400000, ω2f ree = 2 · π · 400000 − 2,êðàñíûé x1(0) = 0.02, x2(0) = 0; ÷åðíûé x1(0) = 0, x2(0) = 0.Ïðèìåð 2[Ðèñ. 3.24] ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì (3.61) è (3.67)x(0) = 0;ïîêàçûâàåò, ÷òî íàðóøåíèå óñëîâèé (3.64) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñèñòåìà (3.67)ìîæåò íåâåðíî îïèñûâàòü äèíàìèêó ñõåìû.ÔÍ×1 è ÔÍ×2 èìåþò âèä(Ô) èìååò âèä:ñèñòåìà (3.67);110− 3s+1110−4 s+1 ,Çäåñü ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèèïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ëèíåéíîãî ôèëüòðàè íà÷àëüíûå äàííûå âñåõ ôèëüòðîâ íóëåâûå;÷åðíûé ñèñòåìà (3.61).êðàñíûé14910g(t)0ïïï012time, t34ïx 10Ðèñóíîê 3.23: ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû (3.59) ñ íóëåâûìè (÷åðíûé)è íåíóëåâûì (êðàñíûé) íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ôèëüòðîâ ÔÍ×1 è ÔÍ×2.150ï10x 108g(t)6420ï00.0020.0040.006time, t0.0080.01Ðèñóíîê 3.24: ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì (3.61) è (3.67) ïðèíåâûïîëíåíèè óñëîâèé (3.64).151Çàêëþ÷åíèåÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:1.
ïðåäëîæåíà êîíöåïöèÿ ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì;2. ðàçðàáîòàíûàíàëèòèêî-÷èñëåííûåìåòîäûëîêàëèçàöèÿñêðûòûõàòòðàêòîðîâ â ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåìàõ è ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ;3. ðàçâèòû ìåòîäû îöåíêè è âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòèàòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì;4. ïîñòðîåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè âïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ;5. ðåøåíàïðîáëåìàïðîñêàëüçûâàíèÿÃàðäíåðàäëÿîïðåäåëåíèÿìàòåìàòè÷åñêèõïîëîñûìîäåëåéàâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ.çàõâàòàñèñòåìáåçôàçîâîé152Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1.Áåñåêåðñêèé Â., Ïîïîâ Å.
Òåîðèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1975. Ñ. 767.2.Áàóòèí Í. Í. Î÷èñëå ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ïîÿâëÿþùèõñÿ ïðè èçìåíå-íèè êîýôôèöèåíòîâ èç ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ òèïà ôîêóñà èëè öåíòðà //Ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê. 3.1952. Ò. 30(72).
Ñ. 181196.Abarbanel H., Brown R., Kennel M. Variation of Lyapunov exponents on astrange attractor // Journal of Nonlinear Science. 1991. Vol. 1, no. 2. Pp. 175199.4.Àëåêñàíäðîâ Ï., Ïàñûíêîâ Á. Ââåäåíèå â òåîðèþ ðàçìåðíîñòè:ââåäåíèåâ òåîðèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è îáùóþ òåîðèþ ðàçìåðíîñòè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1973. Ñ. 575.5.Àéçåðìàí Ì.Îá îäíîé ïðîáëåìå, êàñàþùåéñÿ óñòîé÷èâîñòè â áîëüøîì6.Àéçåðìàí Ì.Ëåêöèè ïî òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Óñïåõèìàò. íàóê.
1949. Ò. 4. Ñ. 187188.Ìîñêâà: Ôèçìàòãèç, 1958. Ñ. 520.7. Äèíàìèêà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðàêåò ñ áîðòîâûìè öèôðîâûìè âû÷èñëèòåëüíûìè ìàøèíàìè / Â. Àðåíñ, Ñ. Ôåäîðîâ, Ì. Õèòðèê, Ñ. Ëó÷êî. Ìîñêâà: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. Ñ. 231.8.Áîäíåð Â.Ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ëåòàòåëüíûìè àïïàðàòàìè. Ìîñêâà:Ìàøèíîñòðîåíèå, 1973.9.Àíäðîíîâ À., Âèòò À., Õàéêèí Ñ. Òåîðèÿ êîëåáàíèé.
Ìîñêâà:1937. Ñ. 519. [English transl.: 1966, Pergamon Press].ÎÍÒÈ,15310.Åðóãèí Í. Îá îäíîé çàäà÷å òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãîðåãóëèðîâàíèÿ // ÏÌÌ. 1952. 5. Ñ. 620628.11.Ëåîíîâ Ã. À. Î íåîáõîäèìîñòè ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå ïàðû ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé //12.Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1970.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
