Диссертация (1143967), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В данной задаче моделирования рассматриваетсятолько переход между устойчивыми состояниями через третью форму потериустойчивости. Для этого система должна быть ограничена от вращающих степенейсвободы границы s=0,5, так для точек, находящихся на данной границе, былоприменено условие, ограничивающее перемещения их по оси x.В качестве материалов выбрана модель анизотропного кремния:– ориентация кремниевые пластины (100);– Плотность – 2328 кг/м3;– Ориентация кристаллографических направлений – X<100>, Y<010>,Z<001>;– Матрица эластичности кремния G:166 64 64 0 0 064 166 64 0 0 0 = 64 64 166 0 0 0 Гпа.0 0 0 80 0 00 0 0 0 80 0( 0 0 0 0 0 80)(3.12)Поведение арочных структур с потерей устойчивости относится к областивысоконелинейных систем, требующих выработки отдельных методов решениячисленной задачи.
Типичная теоретически полученная зависимость реакции балкина отклонение, вызванное действием внешней нагрузки, показана на рисунке 3.1.Так при увеличении внешней нагрузки упругий элемент деформируется ивозрастает поперечная нагрузка. При увеличении внешней нагрузки до величиныftop достигается максимальное её значение в области до потери устойчивости, апродольные силы становятся близкими к критическим значениям. При этом73матрица жесткости системы становится вырожденной.
Физически балка перейдётво второе стабильное состояние, при этом она примет обратную форму (-hуравнения 3.11). В реальности данный переход является динамическим, гденакопившаяся потенциальная энергия будет высвобождена и преобразована вкинетическую энергию. При этом сходимость системы может быть не достигнута.Для решения данной задачи может быть применён временной анализ, вкотором инерционные силы уравновешивают систему. Недостатком данногометода является недостаточная полнота полученных данных в неустойчивойобласти и высокие требования к вычислительной мощности.
Так же в отдельныхслучаях сходимость системы так же может быть не достигнута.Для обеспечения сходимости системы необходимо использовать в качествеуправляющего параметра (аргумента) монотонно возрастающею характеристикумодели. Для случая аркообразной балки, переход которой ограничен третьейформой потери устойчивости, как видно из зависимости на рисунке 3.1, подобнойхарактеристикой является смещение центральной границы балки (s=0,5).
В этомслучае на данную границу накладывается условие смещения и регистрируется силапротиводействия. В данном случае считается, что внешняя сила приложена к однойточке.Однако характер движения балки так же будет иметь сильно нелинейныйхарактер, особенно выраженный в точках экстремума зависимости силы отсмещения балки. Нелинейное поведение можно свести к массиву дискретныхбесконечно малых линейных отрезков. Таким образом, моделирование нелинейнойзадачи осуществлялось путем использования малых дискретных шагов, гдерешение при каждом шаге использовалось как начальное состояние дляследующего шага.
Данный подход позволил свести решение общей нелинейнойзадачи к решению массива дискретных линейных задач.На рисунке 3.2 показан результат расчёта МКЭ в виде набора форм профилейс соответствующими картами распределений напряжений по Фон-Мизесу.74Рисунок 3.2 – Набор форм профилей деформации аркообразной балки профилей ссоответствующими картами распределений напряжений по Фон-МизесуВ ходе численного моделирования были получены величины потенциальнойэнергии аркообразной балки от перемещения при переходе через третью формупотери механической устойчивости для параметризованного параметра t [60].
Нурисунке 3.3а, б показана зависимость потенциальной энергии от смещения центрабалки и её толщины.(a)(б)а – двумерное отображение потенциальной энергии в плоскоститолщина/смещение; б – зависимость потенциальной энергии от смещенияРисунок 3.3 – Результаты численного моделирования потенциальнойэнергии аркообразной балки с высотой арочного прогиба 8 мкм75Анализ полученных данных нелинейного поведения арочных структур ивозникающих неустойчивостей показывает, что данной системе присуща высокаяасимметрия переходных точек упругих сил балок, что говорит о малой глубиневторого потенциального минимума и малой устойчивости второго стабильногосостояния.
Кроме того, при снижении отношения QCR, данная асимметрияувеличивается. Так, при увеличении толщины балки при сохранении высотыарочногопрогиба,глубинаминимумапотенциальнойэнергииподвесауменьшается, и её характер линеаризуется (рис. 3.3а, б).Бистабильность и устойчивость аркообразной упругой системы во второмстабильном состоянии может быть оценена в виде относительной величиныглубины потенциальной ямы [60].
Так относительная механическая стабильностьR второго устойчивого состояния может быть выражена как отношение значенияпотенциальной энергии в первой точке перегиба (первого максимума) к еезначению во второй точке перегиба (второму минимуму).Полученные данные показывают, что снижение отношения высоты арочногопрогиба упругой балки к толщине её профиля ниже значения 3,4 : 1 приводит ксглаживанию потенциальной ямы в области второго стабильного состояния припереходе системы через третью форму потери устойчивости.Можно заметить, что при высоте арочного прогиба 9 мкм и толщине 3,5 мкми выше стабильное состояние структуры больше не может быть достигнуто (рис.3.3).
Для данных механических систем с низкой величиной коэффициента QCR также могут быть присущи точки бифуркации, то есть для них характеренскачкообразный переход, вызванный потерей механической устойчивости. Однакоэнергия изгибной деформации выше, чем энергия сжимающей. С другой стороны,уменьшение толщины арки приводит к снижению абсолютной величины глубинывторого минимума. Это имеет особое значение для устройств, работоспособностькоторых должна сохраняться при действии высоких внешних механическихнагрузок.Для подтверждения полученных данных было проведено технологическоемоделирование с изготовлением прототипов аркообразных упругих структур76(рис.
3.4) [60]. Тестовый прототип представляет собой электромеханическуюсистему привода, включающую аркообразный подвес в виде упругого элемента идвунаправленнойсистемыгребенчатыхПрисоединённыйэлектростатическийэлектростатическихприводформируетприводов.нагрузкунааркообразный элемент. Профиль электродов привода имеет переменный вид спрямоугольной модуляцией её толщины, расширяющийся к конечной точке, ивключает две области с широким и узким зазором (рис.3.5).(а)(б)а – привод со сдвоенной аркообразной упругой структурой; б – привод содинарной аркообразной упругой структуройРисунок 3.4 – РЭМ-изображения прототипов кремниевых аркообразныхупругих структур толщиной 70 мкм с длинной балки 860 мкм и высотой арочногопрогиба 9 мкм77Рисунок 3.5 – Изображение РЭМ двунаправленной гребенчатой системыпрототипа бистабильного приводаДанная форма профиля позволяет сравнять скорости травления вложенных иразведённых систем гребенчатых электродов (рис.
3.5). Кроме того, перемещениеприводавдольэлектродовприводиткизменениюзазора,чтоделаетэлектростатическую силу зависимой от смещения. При этом расширение зазорасистем проводов происходит в области, близкой к устойчивому состояния длякаждого направления. Таким образом достигается снижение электростатическойсилы вблизи устойчивых состояний, что позволяет минимизировать спонтанныединамические переходы, вызванные инерционностью системы при снятиинагрузки.
На рисунке 3.6 показана зависимость электростатической силы данногопривода от его смещения вдоль плоскости электродов при напряжении управления100В, изменяющемся зазоре в диапазоне 2-5 мкм и количеством пар электродов 120шт. Как видно на рисунке в области перемещений до потери устойчивостиэлектростатическая сила имеет постоянную величину, а в области неустойчивостии в близи второго устойчивого состояния, величина силы падает.78Рисунок 3.6 – Зависимость электростатической силы гребенчатого приводас переменным зазоромГребенчатый привод закреплён на аркообразном упругом элементе в точкеs=0,5, то есть смещающая нагрузка приложена к центральной точке аркообразныхбалок.Дляисключениянесимметричныхформпереходов,снижающихустойчивость данных систем и приводящих к замыканию гребенчатых электродов,упругий подвес состоит из двух параллельно объединённых аркообразных балок.Такое объединение позволяет устранить вращение средней плоскости балок.Тестовые прототипы были изготовлены с балками толщиной 2, 3 и 4 мкм.Для подтверждения предположения о доминировании асимметричных формпереходов был также изготовлен прототип, включающий упругий подвес с однимаркообразным элементом и кремниевым стержнем (рис.
3.4б), снижающим уголвращения арки для избегания замыкания электродов. Результаты экспериментапоказали, что подача напряжения на обкладки гребенчатого привода приводила квращательному смещению, при этом само смещение контролировалось на краюкремниевого стержня (удалённом от центра вращения) при помощи оптическогомикроскопа. Величина силы, при которой начиналось смещение, оказалась меньшерасчётного значения для случая перехода через симметричную форму, исоответствовала потере устойчивости несимметричной формы.79Для подтверждения критериев линеаризации поведения аркообразной балки,опытным путём были определены величины электрических напряжений, прикоторых происходил скачкообразный переход.
Определение напряжения переходаосуществлялось оптическими методами при плавно нарастающем напряженииуправления с использованием зондовой установки. Силы реакции нелинейногоподвеса были определены путём пересчёта управляющего напряжения, исходя изпараметров гребенчатого привода, полученных путём измерения геометрическихразмеров по РЭМ-изображениям. Для использованной гребенчатой структурыэлектростатические силы могут быть оценены как:{ () = () =0 210 22, < , > ,(3.13)где S – площадь перекрытия гребенчатых электродов, z1 и z2 соответствующиезазоры между электродами.Полученные экспериментальные результаты для упругой системы с высокимзначением отношения высоты арочного прогиба h к толщине балки t (QCR = 4.75)хорошо согласуются с результатами моделирования и аналитической оценки(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
