Диссертация (1143486), страница 29
Текст из файла (страница 29)
4.1. Поправка Баркаса Δ , рассчитанная по формуле (4.6) в квантовом случае для одного электрона, как функция от безразмерного параметра = 2 при = (0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 1; 10).Сплошная жирная линия показывает сливающиеся при всех > 10 зависимости Δ , соответствующие классическому случаю.∫︀22 ()2 b, гдеудара [60], = |b|. Если () = | − 2()|, то 1 = 2∫︁ ∞√︀() =.(4.7)2 1 − (/)2 − 2 / 2Проведя элементарные выкладки, получим∫︁ (︁ √︀)︁2√︀2221 = 22 b, 1− − 1−(4.8)в свою очередь = /, а = √︁2 (︀ )︀2 2 .− 2 21+−(4.9)Выражение (4.8) можно проинтегрировать, получим1(︂ )︂2= 41,(4.10)где1 =12(1 − 2)2(︃2 − 1 + ( − 1)2 ln(︂−1)︂2 )︃,(4.11)168а = 2 .
Далее, 1 является функцией от , т.е., 1 = 1 (). Поэтомуклассическая поправка Баркаса равнаΔ = (1 () − 1 (−))/2.(4.12)Вернемся к результатам вышеописанного квантового расчета с использованиемформул (4.3), (4.4) и (4.5). Нам удалось подобрать аналитическую аппроксимацию квантового расчёта Δ с неплохой (погрешность не превышает 5процентов) точностью:Δ =1+Δ1+(︁−1+62 )︁4.50.4(1+1.5).(4.13)−0.52 2Причем, из-за связи = 2 , поправка Δ есть функция от параметра ,значения которого мы будем определять ниже. Отметим, что при произвольныхзначениях поправка Баркаса (4.13) стремится к нулю при → ∞. Дальнейший план изложения следующий.
Мы добавим к потерям энергии на короткодействующем потенциале потери энергии на дальнодействующем потенциале,чтобы обеспечить возможность (как описано в начале данного п. 2) корректногоопределения параметра .4.2Потери энергии в области применимости дипольногоприближения для дальнодействующего потенциала. Вернемся к расчетам потерь энергии в рамках классической механики.Рассмотрим тяжелую частицу заряда , сталкивающуюся со связанным атомным электроном, который будем считать осциллятором с частотой [15, 16].Тогда уравнение движения для атомного электрона будет иметь вид:2 r+ 2 r = f (, ),2(4.14)где r - вектор задающий положение электрона относительно ядра атома.
f (, )- сила, действующая на электрон со стороны частицы зарядом . Если расстояние между ядром атом и налетающей частицей R = b+v, где - относительная169скорость столкновения, b - параметр удара, то получим:f (, ) =−(R − r)( + )i − ( − )j= −.3|R − r|(( + )2 + ( − )2 )3/2(4.15)Далее используем дипольное приближение, т.е. будем считать, что R >> r,получим, что 2 - классические потери энергии в дипольной области дальнодействующего потенциала в некоторый момент времени [15] равны∫︁2 = (1 () + 2 ())2 b,(4.16)где]︂2]︂2[︂∫︁ 2 2cos()sin() + , (4.17)2 2 + 2 )3/22 2 + 2 )3/22((−∞−∞ 2 21 () =2[︂∫︁ 222 () =2[︂∫︁[︂∫︁ ]︂2]︂2 cos() sin() 22 + . (4.18)2 2 + 2 )3/22 2 + 2 )3/22((−∞−∞Очевидно, что по времени надо проинтегрировать так, чтобы в эту областьинтегрирования не попала область нарушения применимости дипольного приближения.
Для этого необходимо "вырезать"при интегрировании по временивнутреннюю область, ограниченную границей такой, что ()2 + 2 = 2 , по√︀скольку при всех значениях |R| < ()2 + 2 дипольное приближение даётневерный результат. Подробности расчёта приведены в Приложение. В итогеполучим при << 1 выражение для потерь энергии в области дальнодействующего потенциала(︂ )︂2(4.19)2,2 = 4где2 = 0 ()1 () + 3/2 − ln(4),(4.20)170где = ,а 0 () и 1 () - функции Макдональда. Полученные результаты(4.10) и (4.19) позволяют получить потери энергии на потенциале⎧⎨ − (1 − |R−r| ), |R| < = |R−r|⎩− Rr + 2 2 , |R| > ,(4.21)|R|3соответствующем при |R| < короткодействующему потенциалу рассмотренному в п.1, и дальнодействующему при |R| > в дипольном приближении.
Дляэтого, очевидно, нужно сложить потери энергии (4.10), (4.19), в итоге получим = 1 + 2 , тогда(︂ )︂2 = 4(1 + 2 ),(4.22)где 1 и 2 определяются соответственно формулами (4.11) и (4.20). Длядальнейшего нам понадобится асимптотика выражения (4.22), при → ∞ и/ << 1, которая, как не трудно убедится, имеет вид(︂ )︂2 (︂ 3/2− )︂ ( → ∞, / << 1) = 4ln.2(4.23)Таким образом нам удалось найти в рамках классической механики потериэнергии на потенциале (4.21), однако параметр , разделяющий короткодействующую и дальнодействующую части потенциала (4.21) при этом остаетсянеопределенным. Для его корректного определения вернемся к формуле БетеБлоха.4.3Основной методКак показано в работе [105] область применимости формулы Бете-Блохатребует одновременного выполнения двух условий ≫ 1 и /(2) ≪ 1 и длятого, чтобы избавиться от ограничения / ≪ 1, необходимо учесть, так называемую, непертурбативную оболочечную поправку Δ.
В результате [105]эффективное торможение движущегося со скоростью иона на сложном атоме(︀ )︀2можно представить в виде = 4 , где(︂ 2 )︂2 = ln+ Δℎ + Δ + Δℎ + Δ,(4.24)171Именно модифицированная таким образом формула Бете-Блоха справедливадля ≫ 1 при любых значениях и позволяет перейти к классическому пределу для дальнейшего определения параметра в (4.23).
Рассмотрим выражение (4.24) при асимптотически больших значениях заряда иона → ∞, ипри / << 1, где ∼ 1- характерные частоты атомной системы. При такихпараметрах Δ → 0 и Δℎ → 0 по определению этой поправки [13].Поправку Δ для простоты сначала рассмотрим для атома водорода [100]Δ = + 0 (2) + ln () ,(4.25)где - безразмерная величина, не содержащая постоянной Планка и имеющая√в системе СГС вид = 22 /( 2 ), в этой формуле имеет размерность−2 , а и - заряд и масса электрона, если же в формуле для выразитьвсе величины в атомных единицах, то = 0.531/ 2 [100]. Нетрудно найтиасимптотику выражения (4.24), при → ∞, / << 1 (что при фиксированных значениях >> 1 соответствует переходу к квазиклассическому случаю = / >> 1 ):(︂)︂0.531( → ∞, / << 1) = ln.(4.26)Поэтому соответствующее квазиклассическое выражение для имеет вид(︂ )︂2( → ∞, / << 1) = 4ln (0.531/) .(4.27)В итоге получилось выражение, независящее от постоянной Планка, т.е.
(4.27)должно совпадать с классическим решением (4.23). Следует отметить, что(4.27) не совпало с формулой Бора из-за того, что классическая формула Бораприменима [105] при >> 1 и 2 << 1, а в нашем случае при >> 1, чтосоответствует 2 >> 1 и область применимости асимптотики (4.27) >> 1 и2>> 1 отличается от области применимости формулы Бора.1724.4Параметр и поправка БаркасаСравнивая асимптотики (4.23) и (4.27) находим их полностью совпадающими если считать = (как [107]), а3/2−== 2.369.1.062(4.28)Таким образом, поправку Баркаса, найденную нами в рамках квантовой механики для атома водорода, можно рассчитывать по формуле (4.13) с параметром = 2, 369. Причём, в отличие от других подходов, которые дают лишь качественное поведение поправки Баркаса и при этом расчёт нужно проводить вчисленном виде, наше выражение для Δ - это простая аналитическаяфункция. Кроме того, можно развить обобщение методики расчета поправкиБаркаса на случаи столкновения движущего со скоростью иона заряда со сложными атомами.
Действительно, поправка Баркаса для атома водорода оказалась связанной с непертурбативной оболочечной поправкой Δ [105].Поэтому, для расчета поправки Баркаса для сложного атома, можно использовать значения Δ, полученные в работе [105] для сложных атомов. Так что, насложные атомы рассмотренный подход можно обобщить следуя методике рабо√ты [105]. Надо в (4.25) заменить на = 2 , / 2 , где - коэффициентыдля каждой оболочки атома рассчитанные в [105], а , - эффективный зарядатома для электрона на (, ) оболочке, - главное квантовое число, - орбитальный момент. В итоге параметр для разных оболочек будет иметь разныезначения, так что для (, ) оболочки значения параметра будем обозначать, , причем, не трудно найти, что,3/2−√=.2 , 2(4.29)Таким образом, поправка Баркаса имеет оболочечный характер и для потерьэнергии на сложном атоме ее следует рассчитывать (следуя методике расчетаΔ [105], формула (9)) путем суммирования по оболочкам атома-мишени, так:Δ1 ∑︁=, Δ,,,(4.30)173где , - число атомных электронов в состояниях с квантовыми числами , , вформуле (4.30) суммирование производится только по заполненным состояниям∑︀и , , равна - общему числу электронов в данном атоме (отметим, речьидет о числах заполнения , для атома находящегося в основном состояниинаходятся по формуле (4.13) при = ,до столкновения), значения Δ,для каждой оболочки с квантовыми числами и .
В качестве примера поведения поправки Баркаса при >> 1 (классический случай) для простейших исложных атомов на рисунке 4.2 приведены значения Δ для атомов: -водорода, - гелия, - неона, - аргона, - криптона, , - эффективный заряд атома для электрона на (, ) оболочке выбирался по правиламБурнса (Burns) [104]. По горизонтальной оси на рисунке 4.1 отложены значенияотношения / = / 2 (в атомных единицах). Если же считать, что << 1, томожно разложить функцию (4.13) по этому малому параметру (нужно учесть,что = /, где >> 1), получим(︂ 2 )︂2 1.Δ ( << 1) = 2 ln || 1 + (0.4)−0.45(4.31)Выражение (4.31) соответствует асимптотике поправки Баркаса при малых/ 2 [13].
Сравним нашу поправку Баркаса с наиболее часто используемой,которая получена в работах [16, 108]. Следует сказать, что поправка Баркасав этих работах [16, 108] классическая, полученная при малости возмущений.Причем, в работе [108] проведена полуэмпирическая модификация результатов работы [16] для описания реального эксперимента и введены различныеподгоночные параметры для наилучшего согласия с экспериментом. Соответствующая подгоночная формула имеет вид [108]:Δ(︁ √︀ )︁= () √ / ,(4.32)где - заряд налетающего иона, - заряд ядра атома-мишени, () - функция которая получается при численном[︁ 2 ]︁интегрировании, а () - тормозноечисло рассчитанное Бете () = ln 2 . На рисунке 4.3 для атома криптона приведено сравнения наших результатов с расчетами по полуэмпирическойформуле (4.32). Следует отметить, что рассмотренный потенциал (4.21) не является наилучшим из возможных, но самым простым для расчётов, что в итогепривело к аналитическим результатам.174Рис.
4.2. Поправка Баркаса Δ как функция от отношения 2 (в атомных единицах) дляатомов: -водорода, - гелия, - неона, - аргона, - криптона, рассчитанная поформуле (4.30)4.5Рис. 4.3. Представлена зависимость поправкиБаркаса для атома криптона рассчитаннаянашим методом по формуле (4.30) для многоэлектронного атома - сплошные линии и по подгоночной формуле (4.32) из [108] - штриховые линии, как функция от (в атомных единицах), придвух значениях заряда иона = 1(нижние 2 кривые) и = 2(верхние 2 кривые)Сравнение с экспериментальными даннымиДля сравнения с экспериментальными данными мы провели расчеты по-терь энергии быстрыми ионами урана, свинца и ксенона на атомах аргона икриптона.
Эффективное торможение движущегося со скоростью иона заряда на атоме, содержащем электронов, рассчитывалось по формуле (4.24),Δ рассчитывалась по формуле (4.30), непертурбативная оболочечная поправка Δ по формуле (9) статьи [105], оболочечная поправка Δℎ рассчи′тывалась по формуле (9 ) из работы Зигмунда [107], выполненной без использования подгоночных параметров на основе модели гармонического осцилляторас частотой = , где - потенциал ионизации мишени. Средние потенциалыионизации мишеней были взяты из обзора [109] (таблица VI, рекомендованныезначения ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
