Стохастические модели оптимизации управления запасами торговых организаций (1142823), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этом случае вместо фиксированныхколичественных параметров рассматриваются соответствующие функции отвремени. Как правило, такие функции являются результатом работы прогнозныхрыночных моделей. В частности, если стоимость товара меняется, то обозначимцену закупки единицы товара i в момент t j как hi (t j ) .Аналогично, выручка от реализации единицы товара i на интервале временимежду поставками [tj, tj+1] выразится функцией сi (t j ).Если стоимость транспорта меняется, то обозначим стоимость прогонафуры в момент t j как H (t j ).В этом случае наша оптимизационная модель системы управления запасамипримет вид (3.63)-(3.75):(3.63)P k − R1k − R2k → maxt ,r , Lt j +1&#$xi (t j +1 ) = xi (t j ) − min xi (t j ), ∫ ρ i (t )dt ! + ri j +1 , j = 0,..., k i = 1,..., m$!tj%"(3.64)t ij *xi (t j ) = ∫ ρi (t )dt ,i = 1,..., m,j = 0,..., k(3.65)tjτ ij = min(t j +1 , t ij *),msjs τiP = ∑∑ ∫сi (t j )ρi (t )ei =1 j = 0 tjmS1sR = ∑∑snj =1 l =1µthi (t j )ri j∑v ri ii =1js = 1,..., k(3.66)(3.67)s = 1,..., k(3.68)H l (t j ),µte js = 1,..., k(3.69)µt jS 0 + P s − R1s − R2s ≥ 0,mdt ,j = 0,..., k,ei =1 j =1R2S = ∑∑i = 1,..., m,≤ Vlk ,s = 1,..., kj = 1,..., k(3.70)(3.71)87""m∑m rji ii =1≤ M lk ,(3.72)j = 1,..., kRimin ≤ ri j ≤ Ri (t j ),(3.73)i = 1,..., mTmin ≤ t1 ,..., tk ≤ T(3.74)Tk +1 = T , 0 ≤ ri j .(3.75)Часто определяющим фактором формирования цен на товар является размерзакупаемой партии.
Поэтому учет гибкой политики образования цены являетсяважным условием при моделировании оптимальной стратегии управлениязапасами.Обозначим цену закупки единицы товара i в момент tj в зависимости отразмера закупки как hi (t j , ri j ).Тогда интегральные издержки на закупку товаров с учетом временнойстоимоcти денег выразятся формулой (3.76):msR1s = ∑∑(i =1 j =13.3)hi t j , ri j ⋅ ri je(3.76)µt jИсследование модели одновременного определения оптимального моментапоставки и объема поставки в однопродуктовом случаеРешениемоделизатруднительным,(3.37)-(3.48)аналитическимиметодамиявляетсяпоэтому рассмотрим частный случай модели, а именнооднопродуктовую модель (3.77)-(3.87).В этом случае модель имеет вид:P k − R1k − R2k → max(3.77)t ,rt j +1&#$x(t j +1 ) = x(t j ) − min x(t j ), ∫ ρ (t )dt ! + r j +1$!tj%"(3.78)88""t j*x(t j ) = ∫ ρ (t )dt(3.79)τ j = min (t j +1 , t j *)(3.80)tjk τjkρ (t )dte µtP = c⋅∑ ∫j =0 t j(3.81)rjkR1k = h ⋅ ∑j =1ke(3.82)µt j1R2k = H ⋅ ∑(3.83)µt jj =1 e(3.84)m ⋅ rj ≤ M(3.85)Tmin ≤ t1 ≤ t 2 ≤ ...
≤ t k ≤ Tmax(3.86)0 ≤ rj .(3.87)Очевидно, что в однопродуктовом случае привоз очередной партии товараv ⋅ rj ≤ Vпроисходиттолькопослереализациипредыдущей.Поэтомуструктураоптимального решения будет иметь вид, представленный на рисунке 3.3.Вследствие этого, задача допускает более простое представление (3.88)-(3.94).Ведем следующие обозначения:ri – количество товара в i-ой фуре,ti – момент прихода i-ой фуры,τ i (ti , ri ) – время реализации товара в количестве ri начиная с момента ti .P k − R1k − R2k → max(3.88)t ,rτ (t i , ri )∫ ρ (t )dt = r ,ii = 1,..., k(3.89)ρ (t )dt ,e µt(3.90)tikkτ j (t j , r j )j =0tjP = c⋅∑kR1k = h ⋅ ∑∫rjj =1 eµt jkR2k = H ⋅ ∑j =1,1eµt j(3.91),v ⋅ ri ≤ V , i = 1,..., k ,m ⋅ ri ≤ M , i = 1,..., k.(3.92)(3.93)(3.94)89"""""""""""Источник: разработано автором.Рисунок 3.3 – Структура оптимальной поставки для однопродуктового случаяЛогично предположить, что в отсутствии каких-либо специфическихограничений, заказ фуры всегда происходит за минимально возможное время Tminдо поставки, поскольку в этом момент предприятие располагает болеедостоверным прогнозом по спросу на товары, нежели в случае более раннихзаказов.
В этом случае, хотя оптимизационная задача рассматривает в качестверешения несколько поставок в различные периоды, целью решения даннойоптимизационной задачи является нахождение оптимальных значений параметровтолько для первой поставки, а именно t1 *и r1 *.Далее предлагается использовать следующее правило: если t1* > Tmin , то заказне делается.
Если t1* = Tmin , то заказывается количество r1 *.Поэтому представляется целесообразным рассмотреть задачу оптимальногопривоза одной фуры.При этом оптимальное решение может оказаться нетривиальным в томсмысле, что:-привоз фуры осуществляется не к моменту окончания товара;-осуществляется привоз неполной фуры.Схемы привоза для тривиального и нетривиального случаев показаны нарисунках 3.4 и 3.5 соответственно.90""остаток"М"""время"Источник: разработано автором.Рисунок 3.4. – Привоз полной фуры к моменту окончания товара(тривиальное решение)остаток"м""""время"Источник: разработано автором.Рисунок 3.5 – Привоз неполной фуры с запаздыванием (нетривиальное решение)Проведем анализ модели определения количества товара и момента привозадля случая одной фуры и одного продукта.На рисунках 3.6 и 3.7. схематично представлены моменты времени привозаи окончания товара.Математическаяпостановказадачивэтомслучаеимеетвид,представленный формулами (3.95), (3.96):t +τ (t , x )F (t , x ) = с∫tρ (t )eµtdt −hx + H→ maxe µtt ,x(3.95)t +τ (t , x )∫ ρ (t )dt = xtt ≤T,x≤Mx≥0t≥0(3.96)91""Введем обозначение вспомогательной функции:∂ϕ (t , x )t +τ (t , x )()ρt(3.97):ϕ (t , x ) = ∫dt и вычислим ∂tµttet + Δt +τ (t + Δt , x )∂ϕ (t , x )= lim∂tΔt →0=−=−ρ (t )eµt+eet + Δtµtt +τ (t , x )dt −∫tρ (t )eµtt + Δtdt−t=Δt∫ρ (t )eµtt + Δt +τ (t + Δt , x )dt +∫τ(t+ t,x)Δtρ (t )e µtdt=(Δt + τ (t + Δt , x ) − τ (t , x )) ⋅ ρ (t + τ (t , x )) =ρ (t ) ,µt∫ρ (t )+ *1 ++(3.97)e µ (t +τ (t , x ))Δt∂τ (t , x ) ) ρ (t + τ (t , x ))'⋅∂t ( e µ (t +τ (t , x ))""""Источник: разработано автором.Рисунок 3.6 – Структура моментов времени привоза и окончания товараПредварительно получим важное дополнительное соотношение.
Посколькуфункция τ (t, x)возникает как решение интегрального уравнения (3.96), тосправедливы следующие соотношения (3.98)-(3.100):#)t +τ (t ,x )&' ∫ ρ ( y )dy $ t ≡ 0( t%(∀x )+t1t +τ (t ,x ).( ∂τ%/ ∫ ρ ( y )dy − ∫ ρ ( y )dy , t = ρ (t + τ (t , x ))⋅ &1 + (t , x )# − ρ (t ) ≡ 0' ∂t$00 0-ρ (t )) ∂τ&'1 + (t , x )$ ≡( ∂t% ρ (t + τ (t , x ))(3.100)Из соотношения (3.96) следуют соотношения (3.101)-(3.104):(3.98)(3.99)92""#)t +τ (t ,x )&∂τ' ∫ ρ (z )dz $ x = ρ (t + τ (t , x ))⋅ (t , x )∂x( t%(3.101)∂τ(t , x ) = 1∂x(3.102)ρ (t + τ (t , x ))⋅∂τ1(t , x ) =∂xρ (t + τ (t , x ))t +τ (t , x+ Δx )lim(3.103)t +τ (t , x+ Δx )t +τ (t , x )∫ ρ (z )dz − ∫ ρ (z )dzttΔxΔx→0= limΔx→0∫ ρ (z )dz(3.104)t +τ (t , x )Δx"""Источник: разработано автором.Рисунок 3.7 – Структура моментов времени привоза и окончания товараНайдем условия существования стационарного нетривиального решениядлязадачи(3.95),т.е.0 ≤ x* ≤ M , 0 ≤ t* ≤ Tmin .
.Всилунепрерывнойдифференцируемости функционала задачи (3.95) на рассматриваемом множестве[0; M ]× [0;Tmin ] необходимыми условиями будут:∂F(t , x ) = 0 ,∂t(3.105)∂F(t , x ) = 0∂x(3.106)Рассмотрим уравнение (3.106)∂F(t , x ) = 0∂xСправедливо соотношение (3.107):93""t +τ (t , x + Δx )∂ϕ (t , x )= lim∂xΔx →0∫tρ (z )dz −e µzΔxt +τ (t , x )∫tρ (z )dze µzt +τ (t , x + Δx )=ρ (z )dze µzt ,x )=Δx∫τ(t+"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""(3.107)τ (t , x + Δx ) − τ (t , x ) ρ (t + τ (t , x )) ∂τ (t , x ) ρ (t + τ (t , x ))⋅ µ (t +τ (t , x )) →⋅ µ (t +τ (t , x ))Δxe∂xe=Тогда уравнение (3.106) принимает вид (3.108):∂τ(t , x )⋅ ρ (tµ+(t +ττ ((tt, x, )x) )) − hµt = 0∂xeeс(3.108)Откуда возникает соотношение (3.109)∂τ (t , x ) ρ (t + τ (t , x )) h⋅=∂xce µτ (t , x )(3.109)и с учетом соотношения (3.103) имеем соотношение (3.110)1eµτ (t , x )=hc(3.110)Используя соотношения (3.100), (3.109) и (3.110) получаем соотношение(3.111):µ'h $% − 1" ρ (t ) = − (hx + H )c&c #(3.111)или как уравнение (3.112) относительно функции ρ(t)ρ (t ) =µ (hx + H )c−h(3.112)Полученные соотношения (3.110) и (3.112) образуют систему нелинейныхуравнений для нахождения оптимальных значений t* и x* – параметров временипоставки и размера поставки.Порядокрешенияданнойсистемыуравненийможноопределитьследующим образом: из уравнения (3.112) находим значение x*, применяя один изчисленных методов нахождения корня уравнения.
Это значение x* подставляем в(3.110). Далее, опять применяя численные методы нахождения корня уравнения,находим t*.94""3.4Имитационно-оптимизационная модель системы управления запасамиРассматриваемые на практике системы управления запасами учитываютнеопределенности времени поставки товара и величины спроса на товар, которыепредставляютсявмоделяхслучайнымивеличинами,дискретнымиилинепрерывными в зависимости от типа моделей. Решение задач оптимизации сучетом неопределенности времени поставки заказа и изменением значения спросаво времени является особенно сложным. В частности дополнительную сложностьсоздает то обстоятельство, что параметры самих случайных величин не являютсяпостоянными и имеют свою временную динамику или сезонность.
В такихситуациях вряд ли можно применять детерминированные математические модели,а аналитическое решение стохастических моделей управления запасами будет, повидимому, либо невозможным, либо чрезмерно трудоемким, следовательно,целесообразно привлечение других методов, например, метода имитационногомоделирования.Учитывая специфику рынка, исследователь может сделать предположения оповедении рассматриваемой системы, допуская, что спрос изменяется всоответствии с известными законами распределения, например, нормальнымраспределением.Илитребуемыехарактеристикивозможнополучитьэмпирически, зная фактические значения спроса или сроков доставки товаров.Ключевой идеей модели оптимизации управления запасами являетсясбалансированность издержек торговой компании и выбор таких равновесныхразмеров заказываемого товара или объема заемных средств в каждом периоде,которые минимизируют уровень ожидаемых общих издержек компании за всепериоды.Следует отметить, что заслуживает внимания лиц, принимающих решения,проблемавыборапоставщиков,транспортныхкомпанийикредитныхорганизаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
