Стохастические модели оптимизации управления запасами торговых организаций (1142823), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Как и в предыдущей модели, критериемоптимизации служит минимум среднеожидаемых совокупных издержек. В составобщих издержек входят, во-первых, затраты, связанные с хранением продукции,а, во-вторых, убытки, связанные с неполным удовлетворением спроса вследствиенесвоевременного подвоза товара.Введем и опишем параметры решаемой задачи для определения поведениязатрат.Итак, время, на которое необходимо назначить поставку t* - планируемоевремя поставки товара, исходя из неопределенности времени поставок.Сделаем допущение, что объем партии товара является фиксированнойвеличиной и равен Q.Момент обнуления товара на складе обозначим tA, а момент реальнойпоставки – tA*.55""Величина t Δ характеризует время: а) задержки в случае положительногозначениявеличины;б)преждевременногоподвозатоваравслучаеотрицательного значения величины. Следовательно, с учетом неопределенностипоставок реальный момент поставки соответствует t A * = t * +t Δ .Вусловияхрассматриваемойзадачибудеминтерпретироватьнеопределенность спроса через время, за которое распродается товар в объеме Q.Рассмотрим зависимость I (t A − t *A ) как функцию издержек, связанных схранением избыточного товара в объеме Q после поставки t *A на интервалевремени до момента реального обнуления товара t А > t *A в случае, когда поставкатовара пришлась на более ранний срок.Графически поведение функции издержек хранения в линейном случаеизображено на рисунке 2.3Источник: разработано автором.Рисунок 2.3 – Функция издержек хранения (линейный случай)Рассмотрим зависимость D(t *A − t A ) как функцию издержек при неполномудовлетворении спроса, связанных с дефицитом товара на промежутке отмомента реального обнуления товара t A < t *A и до момента поставки t *A в объеме Q.На рисунке 2.4графически представлено поведение издержек принеполном удовлетворении спроса.56""Источник: разработано автором.Рисунок 2.4 – Функция издержек дефицита (линейный случай)Таким образом, издержки хранения, согласно формуле (2.11), составят:#Q ⋅ c ⋅ (t A − t *A ), t A > t *AI (t A − t *A ) = "0,t A ≤ t *A!(2.11)где с=const – суточная стоимость хранения единицы товара.А издержки дефицита товара представлены формулой (2.12):$Q! ⋅ z ⋅ (t *A − t A ), t *A > t AD(t − t A ) = # λ!"0,t *A ≤ t A*A(2.12)где z=const – прибыль от продажи единицы продукции, λ характеризуетинтенсивность спроса, то есть время, за которое распродается товар в объеме Q.Множитель Q представляет собой суточный объем продаваемого товара.λРассмотрим дискретный случай с неопределенностью времени поставок инесколькими видами товара.Предположим, компания занимается реализацией m видов товаров, тогда:Qj – количество товара j в предполагаемой поставке,c j – стоимость хранения единицы товара j в единицу времени,z j – прибыль от продажи единицы товара j,λ j – величина спроса на товар j в единицу времени (j=1,…,m).Так как рассматриваемая задача является задачей с неопределенностьювремени поставки и известным спросом, это позволяет сделать допущение, чтоjмомент обнуления товара j на складе известен и равен tQ .57""Таким образом, имеем:tQj – момент обнуления товара j,*tQ i = (t * + t Δ i ) – реальный момент поставки товара,t*– искомый момент назначения следующей поставки товара,t Δ i – срок опоздания или преждевременной поставки товара.Рассмотрим время отклонения срока поставки товара, как дискретнуюслучайнуювеличину.Предположим,соответственно,что,исходяизстатистических наблюдений, нам известны n значений случайной величины t Δ , атакже частоты τ i , с которыми принимаются эти значения.

Тогда вероятностизначений случайной величины, характеризующей отклонение поставки отназначенного времени t Δ , рассчитываются по формуле (2.13):pi =τi,τ∑ii = 1,..., n.(2.13)iИздержки для каждого случая опоздания или преждевременной поставкитовара, согласно формулам (2.14), (2.15) составят:I i (t Qj$mjj**!∑ Q j ⋅ c j ⋅ (t Q − t Qi ), t Q > t Qi*− t Qi ) = # j =1j*!0,t Q ≤ t Qi"$ m Qjj**⋅ z j ⋅ (t Qi− t Q ), t Qi> t Qj!∑j*Di (t Qi − t Q ) = # j =1 λ j*!0,t Qi≤ t Qj"(2.14)(2.15)а математические ожидания издержек хранения товара M(I) и дефицитатовара M(D) выражаются формулами (2.16) и (2.17):nM ( I ) = ∑ I i ⋅ pi(2.16)i =1nM ( D) = ∑ Di ⋅ pi(2.17)i =1Тогда математическую модель поставленной задачи можно описатьсоотношениями (2.18):58""M ( I ) + M ( D) → mint* ∈ Ζ +(2.18)Таким образом, момент назначения поставки t* определяется, как и впредыдущей модели, в процессе решения задачи минимизации математическогоожидания совокупных издержек.2.3Модель определения оптимального момента поставки с учетомнеопределенности спроса (непрерывная)В рассматриваемой модели делается предположение о том, что отсутствуетвероятность задержки или преждевременного привоза заказанной партии товара,то есть, если делается заказ на момент времени t*, то товар приходит именно вэтот момент.Существует неопределенность относительно момента времени окончаниятовара на складе α , выраженная формулой (2.19):α = α 0 + Δα ,(2.19)где α 0 - ожидаемое время окончания товара,Δα- случайное отклонение.Будем считать, что случайная величинаΔαраспределена по нормальномузакону N(0, σ ) с математическим ожиданием µ=0 и некоторым стандартнымотклонением σ >0.

Тогда время реального окончания товара α есть такженормально распределенная случайная величина N( α 0 , σ ). Изображение функцииплотности распределения случайной величиныΔαпредставлено на рисунке 2.5.Данное допущение необходимо для возможности проведения аналитическихисследований рассматриваемой модели. С другой стороны в силу природы59""нормального распределения это предположение адекватно отражает большинствопрактических ситуаций."! 0"""Источник: разработано автором.Рисунок 2.5 – Функция плотности распределения случайной величины Δ α .В функцию затрат, отражающую эффективность принятой стратегииуправления запасами, в данном исследовании включены издержки на хранение ииздержки дефицита, содержащие упущенную выгоду и пропорциональныевремени отсутствия требуемого количества товара на складе.Издержки хранения товара в объеме Q после поставки на интервале временидо момента реального обнуления товара α в случае, когда поставка товарапришлась на более ранний срокt * ( t* < α), составят, согласно формуле (2.20):I = c ⋅ Q ⋅ (α − t*) ,(2.20)где с =const– суточная стоимость хранения единицы продукции.В противном случае, при неполном удовлетворении спроса в случаеt* > α,возникают издержки дефицита товара на промежутке от момента реальногообнуления товара α и до момента поставкиt*в объеме Q, расчет которыхосуществляется по формуле (2.21):D=Qα0⋅ z ⋅ (t * −α ) ,где z=const – прибыль от продажи единицы продукции,(2.21)60""α 0 = Eα ,Qα0представляет собой средний суточный объем продаваемого товара.Общие издержки рассчитываются по формуле (2.22):$ Q ⋅ c ⋅ (α − t*),!I +D=#Q⋅ z ⋅ (t * −α ),!"α 0α >t*(2.22)t* > αВ качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастическихмоделях случайной величиной, рассматриваем ее математическое ожидание.В описываемой модели с непрерывной случайной величинойΔα ,характеризующей неопределенность спроса, имеющей закон распределенияΔα 2− 21ρ (Δα ) =e 2σ , математическое ожидание суммарных издержек принимаетσ 2πвид, представленный формулой (2.23):t*−α 0F (t*) =∫−∞Qα0∞⋅ z ⋅ (t * −α 0 − Δα ) ρ (Δα )dΔα +∫αc ⋅ Q ⋅ (αt*−0+ Δα − t *)ρ (Δα )dΔα(2.23)0Поставленная задача управления запасами, описанная выражением (2.24),состоит в отыскании такого момента назначения поставки t*, при которомматематическое ожидание суммарных затрат будет минимальным.F (t *) → min(2.24)t*Рассмотрим первое слагаемое (2.25) выражения (2.23):t*−α 0F1 (t *) =∫−∞t*−α 0−Qα0t*−α 0⋅ z ⋅ (t * −α 0 − Δα )ρ (Δα )dΔα =−∞t*−α 0Qα0⋅ z ⋅ t * ⋅ρ (Δα )dΔα −Q+ t * −α 0 (⋅ z ⋅ Δα ⋅ ρ (Δα )d Δα =⋅ z ⋅ t * ⋅Φ)&−αασ*'00−∞$!!!!#!!!!"∫ Q ⋅ z ⋅ ρ (Δα )dΔα − ∫−∞∫QIct*−α 0+ t * −α 0 ( Q− Q ⋅ z ⋅ Φ)⋅ z ⋅ ∫ Δα ⋅ ρ (Δα )dΔα&−* σ ' α0−∞$!!!#!!!"Ic(2.25)61""1где функция Φ(x ) =2πx∫e−z22−∞z2x−1112dz = +edz=+ ϕ (x ), ϕ (x) - известная∫222π 0функция Лапласа.Рассмотрим интеграл Iс (2.26):Δα 2− 21σ∫ Δα ⋅ ρ (Δα )dΔ = σ 2π ∫ Δα ⋅ e 2σ dΔα = 2π∫ z ⋅e−z22dz ,(2.26)где z = Δα .σПоложим z 2 = U ,2 zdz = dU , тогда по формуле (2.27):Uσ 1 −2σIc =⋅ ∫ e dU = −e w dw∫2π 22π(2.27)Δα 2z2UПоложим − = w,2dU = −2w,σ wσ −2σ − 2σ−e =−e =−e2π2π2π2Тогда, согласно формуле (2.28):t*−α 0Ic =−∞Δα 2σ − 2σσ −−e=−e2π2π2(t*−α 0 )22σ 2(2.28)Тогда первое слагаемое примет вид, представленный выражением (2.29):1+ t * −α 0 (+ t * −α 0 ( QF1 (t *) =⋅ z ⋅ t * ⋅Φ)⋅z⋅⋅e& − Q ⋅ z ⋅ Φ)&+α02π* σ '* σ ' α0Q− ( t*−α 0 ) 22σ 2(2.29)Аналогично второе слагаемое выражения (2.23) запишется как (2.30):&1& t * −α 0 # #F2 (t *) = c ⋅ Q ⋅ α 0 ⋅ $$1 − Φ$⋅e! !! + c ⋅ Q ⋅2π% σ ""%− ( t*−α 0 ) 22σ 2&& t * −α 0 # #− c ⋅ Q ⋅ t * ⋅$$1 − Φ$! !! (2.30)% σ ""%Тогда общий интеграл примет вид, представленный соотношением (2.31):1' t * −α 0 $' t * −α 0 $ Q⋅z⋅⋅eF (t *) = F1 (t *) + F2 (t *) = ⋅ z ⋅ t * ⋅Φ%" − Q ⋅ z ⋅ Φ%"+α02π& σ #& σ # α0Q&1& t * −α 0 # #+ c ⋅ Q ⋅ α 0 ⋅ $$1 − Φ$⋅e! !! + c ⋅ Q ⋅2π% σ ""%− ( t*−α 0 ) 22σ 2− ( t*−α 0 ) 22σ 2+"&& t * −α 0 # #− c ⋅ Q ⋅ t * ⋅$$1 − Φ$"! !!% σ " " """" (2.31)%Для отыскания минимума ожидаемых издержек возьмем производную(2.32):62""F *(t *) =& t * −α 0 #& t * −α 0 #⋅ z ⋅ Φ$! − c ⋅ Q + c ⋅ Q ⋅ Φ$!α0% σ "% σ "Q(2.32)и приравнивая ее к нулю, найдем момент t* из уравнения (2.33)& α ⋅c #!! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" (2.33)t* = α 0 + σ ⋅ Φ −1 $$ 0z+α⋅c0%"Итак, описанная модель позволяет определить день доставки новой партиитовараопределенногоколичестваприслучайномспросеприусловииминимизации среднеожидаемых общих издержек.

В случае нормальногораспределения спроса данная оптимизационная задача имеет аналитическоерешение, сводящиеся к вычислению обратной функции к стандартной функцииЛапласа. Данные расчеты представлены в приложении Г.2.4Модель определения оптимального момента поставки с учетомнеопределенности времени поставки (непрерывная)Рассмотримстохастическуюмодельснеопределенностьювременивыполнения заказа, как одного из основных факторов возникновения издержекуправления запасами торговой компании. Грамотное планирование и выполнениепроцессовцепейпоставокпозволяетзначительноуменьшить,нонеликвидировать, неопределенность времени на выполнение нового заказа. Спомощью эффективного управления можно также существенно уменьшитьнеопределенность относительно качества и соблюдения условий храненияпродукции, комплектации заказов и т.д.Спрос в рассматриваемой модели детерминирован.

Детерминированностьспроса можно объяснить действием закона больших чисел, когда совместноедействие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не63""зависящему от случая. Так, например, для магазина продовольственных товаровили торговой компании как в нашем исследовании, спрос в ряде случаев можетбыть спрогнозирован с достаточной для практики точностью.Предположим, что из статистических данных известен момент окончаниятовара α в объеме Q. Момент реального прихода товара обозначим x.Так как в нашей модели допускается возможность задержки илипреждевременного подвоза заказа, то, согласно формуле (2.34):x = t * + Δt ,(2.34)где t* – момент назначения подвоза заказа,Δt– случайная величина,описывающее отклонение реального времени поставки от планируемого.Будем считать, что случайная величина ∆t распределена по нормальномузакону N(0, σ ) с математическим ожиданием µ=0 и некоторым стандартнымотклонением σ >0.

Характеристики

Список файлов диссертации