Стохастические модели оптимизации управления запасами торговых организаций (1142823), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Тогда время реального прихода заказа x есть также нормальнораспределенная случайная величина N(t*, σ ). Графически функция плотностислучайной величины х представлена на рисунке 2.6."t*"""Источник: разработано автором.Рисунок 2.6 – Функция плотности распределение случайной величины xКак и в случае с неопределенностью спроса, следует отметить, что данноедопущение, с одной стороны, необходимо для возможности проведенияаналитических исследований рассматриваемой модели, а, с другой стороны, всилу природы нормального распределения это предположение адекватноотражает большинство практических ситуаций.64""Функциязатрат,отражающаяэффективностьпринятойстратегииуправления запасами, в данном исследовании учитывает издержки на хранение идефицита, рассматриваемого как упущенная выгода, пропорциональные времениотсутствия требуемого количества товара на складе.Издержки хранения товара в объеме Q после поставки на интервале временидо момента реального обнуления товара α в случае, когда поставка товарапришлась на более ранний срок x ( x < α ), по формуле (2.35) составят:I = c ⋅ Q ⋅ (α − x) ,(2.35)где с =const– суточная стоимость хранения единицы продукции.В противном случае, при неполном удовлетворении спроса в случае x > αвозникают издержки дефицита товара на промежутке от момента реальногообнуления товара αи до момента поставкиxв объеме Q, которыерассчитываются по формуле (2.36):D=Qα⋅ z ⋅ (x − α ) ,(2.36)где z=const – прибыль от продажи единицы продукции.Qαпредставляет собой суточный объем продаваемого товара.Общие издержки представлены формулой (2.37):$ Q ⋅ c ⋅ (α − x),!I + D = #Q⋅ z ⋅ (x − α ),!"αα>x(2.37)x >αВ качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастическихмоделях случайной величиной, рассматривается ее математическое ожидание.В описываемой модели с непрерывной случайной величинойΔt ,характеризующей отклонение от срока поставки, имеющей закон распределенияρ (Δt ), математическое ожидание суммарных издержек, согласно (2.38), приметвид:α −t*F (t*) =∫ c ⋅ Q ⋅ (α − t * −Δt ) ρ (Δt )dΔt +−∞∞∫αQα−t*⋅ z ⋅ (t * + Δt − α ) ρ (Δt )dΔt(2.38)65""Поставленная задача управления запасами (2.39) состоит в отысканиитакого момента назначения поставки t*, при котором математическое ожиданиесуммарных затрат будет минимальным.F (t *) → min(2.39)t*Рассмотрим первое слагаемое (2.40) выражения (2.38):α −t *F1 (t *) =∫α −t *c ⋅ Q ⋅ (α − t * −Δt )ρ (Δt )dΔt =−∞−∞α −t *−α −t *∫ c ⋅ Q ⋅ α ⋅ ρ (Δt )dΔt −α −t *∫ c ⋅ Q ⋅ t * ⋅ρ (Δt )dΔt −−∞α −t *α −t *∫ c ⋅ Q ⋅ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt = c ⋅ Q ⋅ α ⋅ ∫ ρ (Δt )dΔt − c ⋅ Q ⋅ t * ⋅ ∫ ρ (Δt )dΔt − c ⋅ Q ⋅ ∫ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt(2.40)$!!!#!!!" $!!!#!!!" $!!!#!!!"−∞−∞−∞IaIb−∞IcПо формуле (2.41):+α − t *(+α − t *(F1 (t *) = c ⋅ Q ⋅ α ⋅ Φ)& − c ⋅ Q ⋅ t * ⋅Φ)& − c ⋅Q ⋅* σ '* σ '1где Φ(x ) =2πx∫e−−∞z22dz =1+ ϕ (x ) ,2α −t *∫ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt ,(2.41)−∞ϕ (x) есть известная функция Лапласа.Рассмотрим интеграл Ic:Применяя интегрирование по частям и учитывая, чтоΔt = U ,dΔt = dU ,dV = ρ (Δt )dΔt ,V = ∫ ρ (Δt )dΔt ,∫ UdV = UV − ∫ VdUПолучим выражение (2.42):α −t *α −t * ,2 α −t *) /* ρ (Δt )dΔt 'dΔt - =()0()Δt⋅ρΔtdΔt=c⋅Q⋅Δt⋅ρΔtdΔt−∫∫∫ *∫' 01−∞−∞−∞ +( .α −t * ,2) /,α − t *) ,α − t *)α −t *0= c ⋅ Q ⋅ −∞ Δt ⋅ ∫ ρ (Δt )dΔt − ∫ * ∫ ρ (Δt )dΔt 'dΔt - = c ⋅ Q ⋅ *' ⋅ Φ*'−*'σ ( + σ (0+−∞ +(1.Ic = c ⋅ Q ⋅(2.42)α −t *− c ⋅Q ⋅∫ Φ(Δt )dΔt−∞Тогда первое слагаемое примет вид (2.43):,α − t *),α − t *),α − t *) ,α − t *)F1 (t *) = c ⋅ Q ⋅ α ⋅ Φ*' − c ⋅ Q ⋅ t * ⋅Φ*' − c⋅Q ⋅*' ⋅ Φ*' + c ⋅Q ⋅+ σ (+ σ (+ σ ( + σ ((2.43)α −t *∫ Φ(Δt )dΔt−∞66""Рассмотрим второе слагаемое (2.44) выражения (2.38):∞F2 (t *) =∫αQ−t *α∞⋅ z ⋅ (t * + Δt − α )ρ (Δt )dΔt =∫α−t *Qα∞⋅ z ⋅ t * ⋅ρ (Δt )dΔt +Q⋅ z ⋅ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt −α$!!!!#!!!!"∫α−t *IIb∞−Q∫α−t *α(2.44)⋅ z ⋅ α ⋅ ρ (Δt )dΔtСделаем некоторое преобразование (2.45):F2 (t *) =∞Q&&Q& α − t * ## Q& α − t * ##⋅ z ⋅ t * ⋅$$1 − Φ$! !! + ⋅ z ⋅ ∫ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt − ⋅ z ⋅ $$1 − Φ$! !!αα% σ "" α% σ ""%%α −t*(2.45)Рассмотрим интеграл IIb:Применяя интегрирование по частям и учитывая, чтоΔt = U ,dV = ρ (Δt )dΔt ,dΔt = dU ,V = ∫ ρ (Δt )dΔt ,∫ UdV = UV − ∫ VdUПолучим выражение (2.46):IIb ==Qα∞T∞⋅ z ⋅ ( ∫ Δt ⋅ ρ (Δt )dΔt = Δt ⋅α −t*∫ ρ (Δt )dΔt −α −t*/,.+- ρ (Δt )dΔt *dΔt ) =∫-∫*α−t*∞Q(2.46)&#/α − t *,⋅ z ⋅ $1 − Φ* − ∫ Φ(Δt )dΔt !α.

σ + α −t*%"Тогда второе слагаемое примет вид (2.47):/& & α − t * # & α − t * # # ∞,&& α − t * ## QF2 (t *) = ⋅ z ⋅ t * ⋅$$1 − Φ$! !! + ⋅ z ⋅ -$$1 − $! ⋅ Φ$! !! − ∫ Φ(Δt )dΔt * −α% σ "" α%.% % σ " % σ " " α −t*+Q−Q&& α − t * ##⋅ z ⋅ α ⋅ $$1 − Φ$! !!α% σ ""%(2.47)Тогда общий интеграл будет иметь вид (2.48):)α − t *&)α − t *&F (t *) = F1 (t *) + F2 (t *) = c ⋅ Q ⋅ α ⋅ Φ'$ − c ⋅ Q ⋅ t * ⋅Φ'$−( σ %( σ %)α − t *& )α − t *&− c ⋅Q ⋅'$ ⋅ Φ'$ + c ⋅Q ⋅( σ % ( σ %α −t *∫ Φ(Δt )dΔt +−∞/& & α − t * # & α − t * # # ∞,&& α − t * ## Q+ ⋅ z ⋅ t * ⋅$$1 − Φ$! !! + ⋅ z ⋅ -$$1 − $! ⋅ Φ$! !! − ∫ Φ(Δt )dΔt * −α% σ "" α%.% % σ " % σ " " α −t*+QQ&& α − t * ##− ⋅ z ⋅ α ⋅ $$1 − Φ$! !!α% σ ""%(2.48)67""Преобразовав выражение, получим выражение (2.49):α −t*F (t *) = c ⋅ Q ⋅QQQ∞Q(2.49)∫ Φ(Δt )dΔt + α ⋅ z ⋅ t * + α ⋅ z − α ⋅ z ⋅ α ∫ Φ(Δt )dΔt − α ⋅ z ⋅ α−t*−∞Для отыскания минимума ожидаемых издержек возьмем производную(2.50):&&Q& α − t * ## Q& α − t * ##F *(t *) = c ⋅ Q ⋅ $$ − Φ$! !! + ⋅ z + ⋅ z ⋅ $$ − Φ$! !!α% σ "" α% σ ""%%(2.50)и приравнивая ее к нулю, найдем момент t* из уравнения (2.51):& z #t* = α − σ ⋅ Φ −1 $!% c ⋅α + z "(2.51)Итак, описанная модель позволяет определить день доставки новой партиитовараопределенногохарактеристикахколичестваслучайнойпривеличиныизвестномвремениспроседоставкииизвестныхприусловиисучетомминимизации среднеожидаемых общих издержек.Примеррасчетаоптимальногомоментапоставкинеопределенности длительности поставки представлен в приложении Д.2.5Модель определения оптимального момента поставки с учетомнеопределенности спроса и времени поставки (непрерывная)Данная модель является общим случаем предыдущих двух моделей ипозволяет определять момент назначения поставки в условиях неопределенности,связанной со случайным характером спроса и одновременно случайнымхарактером времени поставки.Введем следующие обозначения:t = t * + Δt- момент реальной доставки товара,68""t* - момент назначения доставки товара,α = α 0 + Δα - момент реального окончания товара на складе,α 0 - ожидаемое время окончания товара на складе,Δt- случайная величина, описывающая отклонение момента реальнойдоставки товара от назначенного момента доставки,α - случайная величина, описывающая отклонение момента реальногоокончания товара на складе от ожидаемого времени окончания товара.Необходимо найти момент назначения доставки товара t*.Функциязатрат,отражающаяэффективностьпринятойстратегииуправления запасами, в данном исследовании учитывает издержки на хранение ииздержки дефицита, характеризующие упущенную выгоду, пропорциональныевремени отсутствия требуемого количества товара на складе.Издержки хранения товара в объеме Q после поставки на интервале временидо момента реального обнуления товара α в случае, когда поставка товарапришлась на более ранний срок t ( t * + Δt < α ), по формуле (2.52) составят:I = c ⋅ Q ⋅ (α − t * −Δt ) ,(2.52)где с =const– суточная стоимость хранения единицы продукции.В противном случае, при неполном удовлетворении спроса в случаеt * + Δt > αвозникают издержки дефицита товара на промежутке от моментареального обнуления товара α и до момента поставки t в объеме Q, которыевычисляются по формуле (2.53):D=Qα0⋅ z ⋅ (t * + Δt − α )(2.53)где z=const – прибыль от продажи единицы продукции,α 0 = Eα ,Qα 0 представляет собой средний суточный объем продаваемого товара.Общие издержки вычисляются по формуле (2.54):69""$ Q ⋅ c ⋅ (α − t * −Δt ),!I+D=#Q⋅ z ⋅ (t * + Δt − α ),!"α 0α > t * + Δt(2.54)t * + Δt > αВ качестве величины суммарных затрат, являющейся в стохастическихмоделях случайной величиной, рассматриваем ее математическое ожидание.Рассмотрим модель с непрерывными случайными величинамиΔt , α,распределенными по нормальному закону с плотностями ρ1 (Δt ) и ρ 2 (α ) ,соответственно, математическое ожидание суммарных издержек, согласноформуле (2.55), примет вид:∞ α −t*∞+(QF (t *) = ∫ ) ∫ c ⋅ Q ⋅ (α − t * −Δt ) ⋅ ρ1 (Δt )dΔt + ∫⋅ z ⋅ (t * +Δt − α ) ⋅ ρ1 (Δt )dΔt & ⋅ ρ 2 (Δα )dΔα (2.55)−∞* −∞α −t* α 0'Поставленная автором задача управления запасами (2.56) состоит вотыскании такого момента назначения поставки t*, при котором математическоеожидание суммарных затрат будет минимальным.F (t *) → mint*(2.56)Дляотысканияминимумапроизводную функции F (t *)поожидаемыхиздержекнеобходимовзятьt *.Обозначим с помощью формул (2.57) и (2.58):α −t *F1 (t*, α ) =∫ c ⋅ Q ⋅ (α − t * −Δt ) ⋅ ρ (Δt )dΔt1(2.57)−∞∞F2 (t*, α ) =∫αQα−t * 0⋅ z ⋅ (t * + Δt − α ) ⋅ ρ1 (Δt )dΔt(2.58)Применяя дифференцирование под знаком интеграла, согласно [19],получим, по формулам (2.59), (2.60):dF (t *)* ∂F (t*, α ) ∂F2 (t*, α ) '= ∫( 1+% ⋅ ρ 2 (Δα )dΔαdt *∂t *∂t * &−∞)∞∞++α − t *( Q+ α − t * ((dF (t *)Q&& +&& & ⋅ ρ 2 (Δα )dΔα , (2.60)= ∫ )) − c ⋅ Q ⋅ Φ))⋅ z − ⋅ z ⋅ Φ))&dt *σαασ1001*'*''−∞*(2.59)70""1где Φ(x ) =2πx∫e−∞−z22dz =1+ ϕ (x ) ,2ϕ (x) есть известная функция Лапласа.Т.к.

Характеристики

Список файлов диссертации