Стохастические модели оптимизации управления запасами торговых организаций (1142823), страница 12
Текст из файла (страница 12)
α = α 0 + Δα , то, согласно формуле (2.61):∞++ α + Δα − t * ( Q (dF (t *)Q&& += ∫ )) (−c ⋅ Q − ⋅ z ) ⋅ Φ)) 0⋅ z && ⋅ ρ 2 (Δα )dΔαdt *α0σ1*' α0 '−∞*(2.61)Приравняв производную к нулю, получим уравнение (2.62):∞+ α 0 + Δα − t * (1&& ⋅ ρ 2 (Δα )dΔα =c ⋅α0σ1'+1z∫ Φ))*−∞(2.62)Решение данного интегрального уравнения возможно с использованиемсоответствующих численных методов интегрирования и любого из методовнахождения корня функции одной переменной.
В приложении Д представленапрограмма для решения данной задачи на языке Pascal, в которой применяютсяметод численного интегрирования Симпсона и метод Коши. В качествеинструментального средства возможно, например, использование системыMathCad.2.6Модель определения оптимального объема поставки с учетомнеопределенности спросаРассмотрим некоторую фиксированную последовательность периодов, где k– номер периода. Полагаем, что к началу каждого периода осуществляется одна(единственная) поставка каждого товара в некотором количестве zik* .
Спрос натовар i в каждом периоде характеризуется некоторой случайной величиной сизвестным законом плотности распределения ϕ ik (x ). Заметим, что ранее в главе 2рассматривалась обратная ситуация, когда мы предполагали объем поставки71""равным Q и, исходя из неопределенности спроса, ставили вопрос о нахожденииоптимального момента поставки (t*).Пусть известна прибыль от реализации единицы товара i - pik . В случае,если спрос превышает предложение, возникает ситуация упущенной выгоды.Однако в этом случае упущенная выгода является не единственным факторомубытков, поскольку возникает риск сокращения объемов закупки или потериклиента.
Кроме того, часто имеют место прямые договорные штрафы занеудовлетворениеспросавышесказанного,целесообразнопропорциональныенаобъемуопределенныевидырассматриватьнеудовлетворенноготоваров.Исходянекоторыеспроса,изиздержки,снекоторымкоэффициентом sik . В случае, если запас превосходит предложение, возникаетнеиспользованный избыток товара i, который влечет за собой дополнительныезатраты на хранение и финансовые потери от средств, «замороженных» в товаре.В этом случае целесообразно оценить издержки от избыточного количестватоварапропорциональноколичествуизбыточноготовараснекоторымкоэффициентом ri k .Вданнойпостановкевозникаетзадачаопределенияоптимальногоколичества товара, необходимого на начало периода.
Поскольку полагаем, чтоостаток товара предыдущего периода известен, решение данной задачи позволяетопределить объем заказа на начало периода. Поскольку данная задачапредполагает автономное решение по отдельным видам товаров и отдельнымпериодам, далее опустим индекс i – тип товара и k – номер периода.В качестве критерия оптимальности рассмотрим математическое ожиданиеразмера прибыли, полученной в фиксированном периоде от реализациинекоторого товара.
Тогда математическая постановка оптимизационной задачизаписывается следующим образом.z*F (z *) = ∫ ( px + r ⋅ (z * − x ))ϕ (x )dx +0X ma x∫ ( pz * +s ⋅ (x − z *))ϕ (x )dx → maxz*0≤ z *≤ X ma x(2.63)72""где X max - максимально возможный спрос на рассматриваемый товар вданный период.Проведем следующие преобразования функции F (z *):z*X ma xz*F (z *) = rz * ⋅ ∫ ϕ (x )dx + ( p − r )⋅ ∫ xϕ (x )dx +( p − s )z * ⋅00∫z*X ma xϕ (x )dx + s ∫ xϕ (x )dx(2.64)z*В предположении, что ϕ (x) является непрерывной функцией, функция F (z *)является дифференцируемой на отрезке[0,X max ]. Опираясь на известныетеоремы математического анализа, для поиска экстремальной точки z*рассмотримзначения на концах отрезка [0,X max ]и в стационарных точках.F (0 ) = s X , где X - математическое ожидание спроса в данный период, аименно X =X ma x∫ xϕ (x )dx .0(F (X max ) = rX max + ( p − r )X = p X + r X max − X)(2.65)Найдем стационарные точки:X maxz*F #(z *) = r ∫ ϕ (x )dx + rz *ϕ (z *) + ( p − r )z *ϕ (z *) + ( p − s ) ∫ ϕ (x )dx − ( p − s )z *ϕ (z *) − sz *ϕ (z *) =0z*z*z*z*= r ∫ ϕ (x )dx + rz *ϕ (z *) + pz *ϕ (z *) − rz *ϕ (z *) + p − s − p ∫ ϕ (x )dx + s ∫ ϕ (x )dx − pz *ϕ (z *) +00(2.66)0+ sz *ϕ (z *)Приравняв производную нулю, получим:z*s− p(2.67)∫ ϕ (x)dx = s + r − p0Очевидно, что если p > s , то интегральное уравнение (2.67) не имеетрешения на отрезке [0,X max ] в силу неотрицательности левой части.Если же p < s , то интегральное уравнение (2.67) имеет единственноерешение, поскольку слева функция монотонно возрастает по z*, в силунеотрицательности функции φ(x), от 0 до 1 на отрезке [0,уравнения находится величина, для которой выполнено:X max ], а в правой части73""0<s− p<1s+r− p(2.68)В этом случае выбирается максимум из величин: s X ,()p X + r X max − X изначения в стационарной точке:z*p(s − p )z * + s X + ( p − r − s )∫ xϕ (x )dxs+r− p0(2.69)Рассмотрим интегральное уравнение (2.67) для случая, когда плотностьраспределения спроса за период есть нормальное распределение N (µ,σ ).
В этом−1случае ϕ (x ) =e2π σz*−1e∫2π σ 0( x − µ )2σ2и левая часть уравнения (2.67) представляется в виде:( x − µ )2σ2(2.70)dxПроизведем замену переменной:x−µσ= y,1σdx = dy ,dx = σdy.,тогдаz* − µ1⋅ σ2π ⋅ σσ∫e0− y2dy =12π& & z * −µ #& µ ##$$ Φ$! − Φ$ − ! !!% σ ""% % σ "(2.71)и тогда из уравнения (2.67) следует:2π (s − p )& z * −µ #& µ#Φ$+ Φ$ − ! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""(2.72)!=s+r− p% σ "% σ"Откуда получаем решение:& 2π (s − p )& µ ##z* = µ + σ ⋅ Φ −1 $$+ Φ$ − ! !! .% σ ""% s+r− p(2.73)Соотношение (2.73) позволяет определить необходимое количество товаракаждого вида на начало каждого периода, и, как было отмечено выше, вследствиеэтого, определить необходимый размер заказа.В следующей главе рассмотрим ситуацию, когда необходимо одновременноопределить и размер поставки, и момент поставки.74""ГЛАВА 3СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИОДНОВРЕМЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕМА ПОСТАВКИ ИМОМЕНТА ПОСТАВКИ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИДЕНЕГ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙПри разработке оптимальной стратегии управления запасами торговой илипроизводственнойорганизацииипостроенииоптимизационноймоделилогистического процесса на первом этапе возникает вопрос об отборе факторов,учитываемых в модели.
Как правило, в зависимости от специфики конкретнойорганизации нет необходимости учитывать все эти факторы одновременно,иногда какие-либо из них отсутствуют или имеют несущественное влияние налогистический процесс. К факторам, наиболее часто учитываемым в модели,относятся: временная стоимость денег; ограничения на размер оборотных средств,складских площадей, на размер (количество) транспортных средств, на срокихранения товаров; неопределенность сроков поставок и спроса; параметрыкредитования (при наличии возможности кредитования) и закупки товаров (цены,минимальные партии, сроки оплаты и так далее); параметры заказа транспортныхсредств (стоимость, минимальное время заказа и так далее).В связи с этим была поставлена и реализована задача разработать комплексэкономико-математических моделей системы управления запасами, позволяющихнаходить параметры оптимальных стратегий управления запасами на основеметодов оптимизации, имитации и их сочетания при различных комбинацияхучитываемых факторов.Кроме того автором анализируются различные целиоптимизации – максимизация суммарного значения потока платежей иминимизация суммарных издержек.75""3.1 Стохастическая модель одновременного определения оптимальных моментовпоставок и объемов поставок без учета временной стоимости денегЭкономико-математическая модель системы управления запасами и еемодификации, приведенные в данном разделе, разработаны на основе подхода,описывающего логистический процесс с помощью исходящих (расходы) ивходящих (доходы) денежных потоков для каждого вида товаров.
На основе этихпотоков строится критериальная функция, в процессе максимизации которой,определяются требуемые характеристики. Критериальная функция отражаетобщую приведенную стоимость финансового потока (расходы и доходы) наопределенном временном интервале.Представленанализмодификациймногономенклатурнойсистемыуправления запасами со случайным спросом и общими поставками, для которыхможно найти оптимальные стратегии управления запасами, в том числе,позволяющие учитывать временную стоимость денег и максимизироватьсуммарный денежный поток.Особенности моделей управления запасами, описываемых в данном разделеможно кратко представить следующим образом:-задана длительность Т периода времени реализации создаваемого(однократно или многократно) запаса товара;-запас создается однократно в момент t=0 или многократно в периодыt j (j=1,…,k);-учитывается произвольное количество m видов товаров (i=1,…,m), покаждому из которых планируется свой запас.
Поставка товаров каждый разобщая, т.е. в партии заказапредставлены все виды анализируемых товаров,размер заказа по каждому виду товара отдельный;-на весь период [0;T] имеется определенное количество k выделенныхфур (j=1,…,k) с заданными характеристиками (объем, предельная масса76""перевозимого груза, предельный объем перевозимого груза, стоимостьпрогона);-спрос представлен непрерывной случайной величиной с заданнымзаконом распределения на периоде времени [0;T];-критериальная функция включает поток платежей, учитывающихпоступления от продаж товаров, расходы на закупку товаров и транспортныерасходы;-отсутствует возможность отклонения реального срока поставки товараот намеченного, т.е.
отсутствует неопределенность относительно временипоставки товара;-требуется определить наилучшиезначения моментов t j созданиязапасов (приходов фур) и объемов ri j создаваемых запасов.Первоначально рассмотрим непрерывную модель без учета временнойстоимости денег с ограничениями только на массу и объем товара, перевозимого водной фуре. Введем следующие обозначения:T – длительность временного периода рассмотрения,m – количество видов товаров (i=1,…,m),k – количество выделенных фур (точное количество),ρ i (t ) – интенсивность спроса на товар i,V – предельный объем груза перевозимого одной фурой,M – предельная масса груза перевозимого одной фурой,vi - объем единицы i-го товара,mi - масса единицы i-го товара,сi - выручка от продажи единицыi-го товара,xi(t) - запасы товара i в момент времени t,H – стоимость прогона фуры,hi - цена закупки единицы товара i,t j - момент прихода фурыj (j=1,…,k) – оптимизируемая величина,77""ri j - количество i-го товара в момент поставки – оптимизируемая величина.Дополнительно обозначим количество проданного i-го товара на интервалевремени [ t j , t j +1 ], выраженное с помощью формул (3.1), (3.2):&pij = min$ xi (t j ),$%t j +1#tj!"∫ ρi (t )dt !,i = 1,...m(3.1)j = 1,...kгдеtj&$xi (t j ) = max xi (t j −1 ) − ∫ ρ i (t )dt ,$t j −1%#0 ! + ri j ,!"i = 1,..., mj = 1,..., k ,(3.2)тогда суммарный поток входящих платежей от реализации всех видовтоваров вычисляется по формуле (3.3):mki =1j =0P = ∑ ci ∑ pij ,(3.3)суммарные затраты на покупку всех видов товаров, согласно формуле (3.4),составят:mki =1j =1R1 = ∑ hi ∑ ri j ,(3.4)суммарные транспортные расходы, согласно формуле (3.5), составят:(3.5)R2 = H ⋅ kМаксимизируется суммарная величина потока платежей, учитывающегопоступления денежных средств от продажи товаров и затраты на приобретение идоставку товаров, согласно выражению (3.6):P − R1 − R2 → max(3.6)t ,rпри ограничениях (3.7) на предельный объем перевозимого груза однойфурой:m∑v rj≤V,i ij = 1,..., k ;(3.7)i =1и ограничениях (3.8) на предельную массу груза перевозимого одной фурой:m∑m ri ii =1j≤ M,j = 1,..., k ;(3.8)78""Таким образом, в окончательном виде оптимизационную модель (3.9) –(3.18) можно описать следующим образом:(3.9)P − R1 − R2 → maxt ,rtj&xi (t j ) = max$ xi (t j −1 ) − ∫ ρ i (t )dt ,$t j −1%&pi = min$ xi (t j ),$%jmki =1j =0mki =1j =1t j +1#tj!"∫ ρi (t )dt !,#0 ! + ri j ,!"i = 1,...mi = 1,..., mj = 1,..., kj = 1,...k(3.10)(3.11)(3.12)P = ∑ ci ∑ pijR1 = ∑ hi ∑ ri j(3.13)R2 = H ⋅ k(3.14)m∑v rj≤V,i ij = 1,..., k ;(3.15)i =1m∑m ri ij≤ M,j = 1,..., k ;(3.16)tk +1 = T ;(3.17)i =10 ≤ t1 ,..., tk ≤ T ,0 ≤ ri j .(3.18)Оптимальную для данной модели стратегию управления запасами ( t j *, ri j *)находим как точку минимума функции P − R1 − R2 в области 0 ≤ t j ≤ T ,0 ≤ ri j .при заданных ограничениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
