Совершенствование методов обоснования выборки в аудиторской проверке (1142757), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Олсон предложили метод по улучшению точности оценкидисперсии для метода оценки среднего на денежную единицу [90]. Данный методможет быть рассмотрен как двусторонний доверительный интервал, так иодносторонний. Рассмотрим его как односторонний. Тогда оценка верхнего пределаошибки будет (2.4.38):, (2.4.38)138 где ,представлено (2.4.39):и ;,;1 – верхняя граница уровня значимости биномиального параметра,является решением следующего уравнения ∑1(2.4.39)!!!1, причем0.
– оценка Хорцица-Томсона и её дисперсия , – объем выборки, –количество искажений, которое должно быть 0. Тогда произведем расчеты впрограмме Wolfram Mathematica для оценки верхнего предела ошибки для простогометода оценки Хорвица-Томсона и с поправками Гарстка и Олсона, а также Робаха,произведенные расчеты представлены в таблице 33.Таблица 33 – Вычисление верхнего предела ошибки для трех методов оценки и трехкоэффициентов искажений и сравнительная характеристика по точности их оценкиОценка Хорвица-ТомсонаОценка Хорвица-Томсона с Оценка Хорвица-Томсона споправкой Гарстка и Олсона поправкой РобахаClear["Global`*"] z[a_] := Quantile[NormalDistribution[0, 1], (1 ‐ a)]; Y = 10000000; n = 56; t = {0.1, 0.15, 0.16}; a = 0.05; m = Length[t]; t1 = ConstantArray[0, n]; t2 = Drop[Join[t, t1], ‐m]; T = Y*Mean[t2]; S = Sqrt[Y*(Y ‐ n)/n*Variance[t2]]; UB = {T ‐ z[a]*S, T + z[a]*S} Clear["Global`*"] p[m_] := (p1 /. First@NSolve[ Sum[PDF[BinomialDistribution[n, p1], i], {i, k, m}] == a && 1 >= p1 >= 0, p1]) Y = 10000000; n = 56; t = {0.1, 0.15, 0.16}; a = 1/20; k = 0; m = Length[t]; t1 = ConstantArray[0, n]; t2 = Drop[Join[t, t1], ‐m]; T = Y*Mean[t2]; S = Sqrt[Y^2/n*Variance[t2]]; c = (n*p[m]/m ‐ 1)*Sqrt[n*m/(n ‐ m)]; UB = {T ‐ c*S, T + c*S} Clear["Global`*"] z[a_] := Quantile[NormalDistribution[0, 1], (1 ‐ a)]; Y = 10000000; n = 56; t = {0.1, 0.15, 0.16}; a = 0.05; m = Length[t]; t1 = ConstantArray[0, n]; t2 = Drop[Join[t, t1], ‐m]; t3 = Table[(1 ‐ t2[[x]])^2, {x, 1, Length[t2]}]; T = Y*Mean[t2]; S = Sqrt[Y*(Y ‐ n)/ n*(Total[t3]/n ‐ (2 ‐ 2.7/n)*0.5 (Total[t3]/n ‐ Variance[t2]))]; UB = {T ‐ z[a]*S, T + z[a]*S} Для риска 5% для трех коэффициентов искажений142 784 рубля184 411419 057 рублейДля риска 10% для трех коэффициентов искажений127 418 рублей160 153342 670 рублейДля риска 5% для случая необнаружения искажений0 рублей–341 275 рублейДля риска 10% для случая необнаружения искажений0 рублей–265 897 рублейИсточник: составлено и рассчитано автором в программе Wolfram Mathematica [208].139 Существуют еще ряд способов подсчета предельных ошибок в монетарнойвыборке, так называемые Байесовской методы выборки.
Данные методы редкоиспользуются в аудиторской выборке, и нечасто упомянуты даже в иностранныхисточниках, не говоря уже о российских. Данная процедура названа в честьанглийского математика Томаса Байеса. Одно из преимуществ Байесовских методовто, что они дают возможность использовать предположения (субъективнуювероятность) и вероятностные факторы, основанные по результатам предыдущихаудиторских проверок и предположений аудитора [120].
Иначе говоря, небайесовскиеметоды основаны целиком на данных выборки, а с Байесовскими методами аудиторможет использовать данные выборочного наблюдения (новая информация), а такжеучесть результаты предыдущих аудиторских проверок (ранее известная информация),ожидания аудитора, какие-то модельные гипотезы при оценке результатов выборки.Сама теорема Байеса позволяет рассчитать вероятность события A, если произошлокакое-то еще событие B статистически взаимосвязанное c событием A. Также аудиторможет совместить профессиональное суждение аудитора с данными выборки,например, предсказания аудитора о распределении ошибок в совокупности. Самовключение некой априорной информации в Байесовские методы оценки монетарнойвыборки происходит за счет задачи определённых параметров.Одним из Байесовских методов в монетарной выборке является методД.
Кокса и Э.Д. Снеля [74]. В 1979 году этими авторами был предложенпараметрический Байесовский метод, для оценки результатов монетарной выборки.Данные авторы использовали экспоненциальное распределение для , с параметром1⁄ . Так как экспоненциальное распределение может быть только с положительнымизначениями, метод Кокса-Снеля пригоден только для ошибок переоценки (аналогичнотакже может быть произведена оценка и для отрицательных коэффициентовискажения), но также данный метод может быть использован для случаянеобнаружения ошибок. Предполагается что 1⁄параметрами и имеет гамма-распределение с1 , где – априорное среднее , параметр – определяетдисперсию априорного распределения. Под использованием априорной информации ваудите, при применении данного метода оценки и других Байесовских методов,понимается задача определенных параметров аудитором, связанных с этойинформацией.
Оценка этой информации и выбор определенных параметров140 происходит за счёт профессионального суждения аудитора. Вероятность того, чтоэлемент монетарной выборки, содержит ошибку определен гамма-распределением спараметрами и /. Параметр априорная (ожидаемая) величина , величина откоторой зависит дисперсия априорного распределения. ,,– квантиль F-распределения (распределения Фишера) с соответствующими двумя степенямисвободы, ̅∑ / – средний коэффициент искажения. Оценка верхней предельнойошибки определяется следующей формулой (2.4.40):̅1 ,(2.4.40),Д.
Годфри и Д. Нетер показали, что границы Кокса и Снеля сильно зависимы отвыбора параметров [91]. Причем эта зависимость не исчезает даже при большихобъемах выборки.иПараметры определяются следующими уравнениями: . Ожидаемая ошибка будет , которая может совпадать с заданнымуровнем существенности, так и быть меньше или больше него. Аудитор выбираетаприорные значения в заданном диапазоне для 0.005,0.05,0.10, … ,0.20 ,0.01,0.5,0.10,0.15,0.20 ,0.05,010,0.15, … ,0.30,0.35,0.40 ,0.025,0.05, … ,0.04 , которые можно систематизировать в следующей таблице 34.Таблица 34 – Параметры для Байесовского метода оценки Кокса и СнеляКС1КС2КС3КС4КС5КС6КС7КС8КС9КС10КС11КС12КС13*КС14*КС15Априорныепараметры0.010.100.100.010.100.100.010.100.100.100.150.200.150.150.200.0050.050.100.0050.050.100.0050.050.100.100.200.200.100.100.10Источник: составлено автором с учетом материала [91].0.050.050.050.200.200.200.200.200.200.400.300.200.400.400.400.0250.0250.0250.050.050.050.200.200.200.200.400.150.200.150.20141 Зеленым отмечены параметры, которые дают надежные оценки предельнойошибки.
КС12 дает результат предельной ошибки равный 254 798 рублей, для трехкоэффициентов искажений 0.10, 0.15, 0.16 при том же объёме выборки и объёмегенеральной совокупности в денежных единицах, и при уровне аудиторского риска 5%.Мы добавили наши параметры КС13 и КС14, которые дают 473 659 рублей и497 677 рублей, соответственно, для риска 5%. КС15 дает результат предельнойошибки, равный 564 808 рублей при риске 5%.
Что ниже, чем уровень оценки границыСтрингера, но выше предельной ошибки полиномиальной границы. Зависимость,представленная на рисунке 14, метода оценки Кокса и Снеля от выбранных параметровдействительно сильная, покажем это на трехмерном графике в зависимости от , при постоянных 0.10, 0.20.Источник: составлено и рассчитано автором в программе Wolfram Mathematica [208].Рисунок 14 – Зависимость верхней предельной ошибки по методу Кокса и Снеляот параметров , 142 Возьмём параметры КС10, которые обеспечивают достаточную надежностьоценкипредельнойошибкисогласноисточнику[122].Тогдапроизведемсоответствующие расчеты в программе Wolfram Mathematica и вычислим верхнююпредельную ошибку.Clear["Global`*"] Y = 10000000; n = 56; \[Alpha] = 0.05; t = {0.1, 0.15, 0.16}; m = Length[t]; cs10 = {0.1, 0.1, 0.4, 0.2}; cs11 = {0.15, 0.2, 0.3, 0.4}; cs12 = {0.2, 0.2, 0.2, 0.15}; cs13 = {0.15, 0.1, 0.4, 0.20}; cs14 = {0.15, 0.1, 0.4, 0.15}; cs15 = {0.2, 0.10, 0.4, 0.2}; set = cs10; p = set[[1]]; \[Sigma]p = set[[2]]; u = set[[3]]; \[Sigma]u = set[[4]]; a = (p/\[Sigma]p)^2; b = (u/\[Sigma]u)^2 + 2; cox = Y*((m*Mean[t] + (b ‐ 1) u)/(a/p + n))*((m + a)/(m + b)) Quantile[FRatioDistribution[2 (m + a), 2 (m + b)], 1 ‐ \[Alpha]] Тогда предельная ошибка для риска в 5% и 10% будет соответственно407 372 рубля и 330 728 рублей.
Также в работе Кокса и Снеля предложеныуниверсальные параметры 1, 3, 1/2, ≪ , что приводит формулу(2.4.40) к следующему виду (2.4.41) [74]:̅ 1 31,(2.4.41),что дает оценку для риска в 5% и 10% как 478 200 рублей и 376 800 рублей,соответственно.В 1985 году К. Цуй и М. Мацумура предложили непараметрический Байесовскийметод по определению верхней предельной ошибки как альтернативу методу«Полиномиальные границы» [150], который обладает большей простотой ввычислениях. Предполагается, что в совокупности есть ошибки одного вида(искажениязавышения/заниженияучетныхзначений).Каждыйкоэффициентискажения округляется и классифицируется в соответствии с их значениями в копейкахили центах (от 0 до 100 копеек или центов). К. Цуй и М.
Мацумура предложилииспользоватьраспределение , … , аудитором, гдезначениеДирихле0, вероятности0, ,длявероятностного0, … ,100,которое∑можетвектора→1. – предсказанноебытьоснованонапрофессиональном суждении, тестов средств контроля, результатов предыдущейаудиторской проверки и прочее. Большие значения предполагают, что априорные143 предположения о вероятностях достаточно точные. В то же время, когда у аудиторавозникает большая неопределенность для значений , значение параметра выбирается как малое число, которое может быть даже меньше единицы. Чем меньшепараметр , тем сильнее зависит данный метод оценки от данных выборки.
обычновыбирается значительно меньше объема выборки, что отражает информацию овыборочных данных более надежно, чем прогнозы аудитора. Апостериорноераспределение ,…, такжеявляетсяраспределениемДирихлеспараметрами, где и которые определены как (2.4.42):, (2.4.42)Немецкий философ И. Кант дал точное определение термину апостериори – какзнание, полученное из опыта, в нашем случае опыт - это данные выборочнойсовокупности [45]. Априори – является доопытным знанием, т.е.
те самыепредсказанные значения вероятностей аудитором. Было показано авторами, еслиаприорное распределение Дирихле было использовано с параметрами …0.001, 5, 0.8,0.101, то полученные границы дают надежнуюоценку для многих вариантов распределения ошибки в выборке [150]. ∑–среднийкоэффициентискажениявсовокупности.Приблизительное апостериорное распределение , получено из бета-распределениясо средним значением и дисперсией равной теоретическому апостериорномураспределению , которые выражаются в следующих формулах (2.4.43) и (2.4.44):1100 (2.4.43)∑ 10 1∑(2.4.44)Что приводит к теоретическому априорному распределению с параметрами , бета-распределения как (2.4.45) и (2.4.46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
