Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е издание, 1993) (1141982), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если случайные процессы [у„1=0, 1, ...] и [ттч 1=0, 1, ...) не являются белыми, то алгоритм фильтра Калмана усложняется [52, 71, ! 16]. В блок индикации поступают координаты П и параметры его движения, поправки к фазе и частоте генератора П и корреляционная матрица погрешностей оценки параметров. 15.2. СПОСОВЫ УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТИ ФИЛЬТРОВ ИАЛМАНА Рекуррентные методы фильтрации первоначально были разработаны для линейных систем: динамическая модель и статистические характеристики возмущений которых предполагались полностью известными.
В такой постановке по мере увеличения числа обрабатываемых измерений рекуррентные фильтры обеспечивают все более высокую точность оценивании искомых параметров. Однако в реальных условиях при обработке дополнительных измерений фактические ошибки могут возрастать. Возможность такого неустойчивого (расходящегося) поведения фильтров при решении конкретных задач отмечалась в ряде работ [27, 34, 39, 240 50, 57, 88]. Можно заключить, что основнымн причинами расходимости являются: неточность математических моделей канала измерения и динамики П; неточность априорных статистических данных; погрешности вычислений на ЭВМ. Разработка рекуррентных алгоритмов должна сопровождаться анализоч условий, при которых обеспечивается сходимость фильтров, и при необходимости изысканием путей расширении области сходнмости, Методы устранения расходимости фильтров можно разделить на адаптивные и неадаптнвные.
Адаптивные методы обработки предусматривают оценку кроме вектора состояния П некоторых дополнительных параметров, компенсирующих влияние неточностей математических моделей и статистических данных [87, 102, 107]. Неадаптивные методы используют голько априорную информацию и сводится к различным модификациям структуры фильтров, позволя1ощнм поддержать его коэффициент усиления на фиксированном уровне и тем самым обеспечить устойчивую работу. Остановимся на некоторых способах предотвращения расходимости, представляющих наибольший интерес. Одной из наиболее часто встречающихся причин расходимости рекуррентных фильтров является неточность задания модели канала измерения, обусловленная погрешностями линеаризации.
При погрешностях лннеарнзации, соизмеримых с погрешностями ' измерений, использование Линеаризованных зависимостей модели канала приводит к резкому ухудшению качества работБЯ фильтра. Нелинейность функции измерения приводит к смещению оценки и снижению точности вычисления корреляционной матрицы погрешности оценки. Это проявляется тем острее, чем точнее измерительное устройство. Для ослабления влияния нелинейности функции измерения на сходимость процесса навигационных определений предложено искусственно увеличить априорную дисперсию измерений [27].
которая определяется путем моделирования. Примеры решения конкретных задач показали целесообразность такого подхода [27. 50]. Другой подход состоит в вычислении по аналитическим формулам надлежащего увели ~ения дисперсии в функции от нелинейности измерений и корреляционной матрицы погрешности оценки.
Фильтры, реализующие компенсацию смещения и увеличения дисперсии измерений, получили название гауссовских фильтров 2-го порядка [88]. Уравнения такого фильтра для решения навигационной задачи по результатам дальномерных измерений даны в $15.3. Наиболее простым методом, позволяющим компенсировать модельные ошибки динамики П, оказывается алгоритм компенсации шума состояния [102] . При использовании этого метода предполагается, что неучнтываемые или неизвестные члены в уравнениях динамики П являются случайным процессом типа белого 24! Л~ Чк= 10 (! 5.! 6) К, =К ° цэ) = Фц, +тгн,о, (! 5.! 4) 242 243 шума.
Метод косвенного учета погрешности молели, без повышения размерности фильтра [39], предусматривает введение членов, учитывающих влияние неоценнваемых параметров. Примером подобного фильтра может быть фильтр, представленный в $15.1, для которого в уравнении (15.!О) принимается Кэь=О, Обработка измерений при этом произвоцнтся с учетом погреш,юстей априорного знания вектора состояния НИСЗ. Е ще олин вариант «практически нерасходящегося» фильтра Калмаиа предложен в [57].
Для компенсации расхождения между реальной системой и ее моделью в алгоритм вводится взвешивание корреляционной матрицы погрешности оценки по прогрессивно уменьшающемуся числу. «Практически нерасходнщийся» фильтр отличается от обычного фильтра Калмана только множителем 5, входящим в правую часть уравнения (15.8), которое принимает вид К~я ш = ЗФ К« Ф;+ У,. (15.12) Значение множителя 5 выбирается либо эмпирически [57], либо автоматически [! 37] .
Одной из проблем, связанной с использованием метода фильтрации Калмана, является потеря значащих разрядов при вычислении корреляционной матрицы погрешности оценки вектора состояния П. После ряда последовательных вычислений элементы матрицы К4в4.о становятся малыми и, как правило, матрица перестает быть положительно определенной. Методом, обеспечивающим переход после каждого шага рекуррентного процесса к неотрицательно определенной матрице, выступает обобщенный метод, связанный с операцией извлечения квадратного корня из матрицы [34].
Фильтрация по Калману в сочетании с этим методом позволяет в два раза сократить требуемое число разрядов цифровой вычислительной машины. Формула лля нахождения коэффициента усиления фильтра (15.7) принимает при этом вил ы2 К„, = К„",„, В,„(1+ В;„В,„,) ТЧ;„',", (!5.!3) где В~+~ — — ЕЧ,„.г'"С,4 ~К«1)й+~!. Объем вычислений при этом возрастает, однако при матрице состояния высокого порядка и небольшом количестве одновременных измерений позволяет понизить требуемое машинное время и память ЭВМ по сравнению с расчетами по формулам обычного метода с удвоенной точностью. Другая молификацня фильтра Калмана [39] основана на предположении.
что погрешности округления являются независимыми, не оказывают влияния на измерения и полностью учитываются выражением где тк, б=йД.~ ° 10 ", с4 — параметр, зависящий от разрядной сетки ЭВМ. При этом модификация фильтра сводится к цобавлению в правой части уравнения (15.8) ковариационной матрицы компенсирующей погрешности округления. 1$.3.
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ГАУССОВСКОГО ФИЛЬТРА 2-ГО ПОРЯДКА Применительно к дальномерным СРНС неточность задания математической модели канала измерения может проявляться в том, что при определенных априорных погрешностях координат П пренебрежение нелинейностью в функции измерения дальности приводит к расходимости рекуррентного фильтра.
Рассмотрим рекуррентный метод решения навигационной задачи применительно к неподвижному П при нулевых погрешностях положений НИСЗ. При этих условиях уравнения фильтра Калмана (15.4) — (!5.8) примут вид Ч =ТЕ (15.! 5) — ! К,„= К44ц+о С,+,~ С„, К„,, о С,'+ о-н+„], (!5.!7) гь4., = ГЕ~. ~ + Кч. ~ ! гк 4- ~ ! — гк + о ! й « ~ О ь ~)] ( ! 5 ! 8) Кк 4-~ — [ ! Ку~ ~ С 4-~~ К4Ф.~'и ° (15.19) Одно из основных допущений, сцеланное при выводе этих выражений, состояло в использовании линеаризованного уравнения канала измерения. Применение метода линеаризации правомерно только тогда, когда диапазон изменения аргументов навигационной функции цостаточно мал.
На практике это условие не всегда может выполняться; и тогда пренебрежение нелинейными членами разложения приводит к несоответствию между вычисленными значениями корреляционной матрицы Ккг ьо и истинными погрешностями навигационных определений, что нарушает оптимальность обработки последующих результатов измерений и вызывает расходимость рекурреитных алгоритмов. Один из наиболее естественных способов сохранения оптимальности обработки состоит в учете при разложении нелинейной функции г,(4!ь 4.),) в ряд Тейлора не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения более высокого порядка: гс(й, а) = г,(4, а) + С,(й, ~) +1/2(,, ц)'у,(„ц) ( 15.
20) где у, =[ д г,( Ч„Тй) /дс!дс(~ Если в (!5.20) сохранить члены разложения до квадратичного вклюнительно, то условное математическое ожидание г и анри,е' орное значение дисперсии оа примут вид г, = г,( с), 0) + 1/25р [ 7, Крю,1, (15.21) от = С~ Крю С + о;, + 1/25р[ У, Крю, 7 Крюк, (15 22) где 5р( ° ) — след матрицы. Последние члены в (15.21) и (15.22) представляют собой поправки на нелинейность функции.
Чтобы уравнения (15.15) — (!5.19) можно было использовать для решения навигационной задачи, необходимо выполнение неравенства ) 1/2 5Р[ р Крю р Крю1 . Е. ели погрешности априорного знания координат места П характеризуются матрицей о„О 0 0 0 о~, 0 О 0 0 о~, 0 0 0 0 о„'р Крю = то для дальномерных СРНС 1/2 5Р[ р, Крю,. 7, К,ю| ~( о„', + о',, + о,'-,) /2г,'. Допустимая погрешность априорного знания координат места, при которой погрешности линеаризацин не приводят к расходи- мости фильтра, зависит от дальности П вЂ” НИСЗ (от высоты орбиты и положения П относительно НИСЗ) и погрешностей навигационных измерений. Эта величина в первом приближении характеризует размеры области сходимости фильтра и пои о„==о„= =о,=о„определяется из неравенства о;.,( !с! ~! 2го;/3, При о 30 м для РНС на стационарных орбитах о„ю 30 км, а для систем, использующих НИСЗ с периодом обращения 6...8 ч, о ( (20 км.
С~ Чтобы расширить область сходимости, можйо учитывать квадратичную нелинейность путем введения соответствующего смешения и увеличения априорной дисперсии погрешностей на- 244 вигационных измерений согласно уравнениям (15.21), (15.22), Рекуррентные фильтры, учитывающие квадратичную нелинейность, называют гауссовскими фильтрами 2-го порядка [88]. Для обработки дальномерных измерений такой фильтр имеет вид с).р~ = с) Крюс~р-и = Кр х 1 2 К„, = К п,.п С,„[С,„, К„,, С, + о;,„„+ — 1 + 1/2 5р(/,р.с Крю(+ч /,р-~ Крюсср-п)1 с(, с = с(+1+ К р ~[ ге„ь|! — гюпр.п(йч ь ь! р-~) — 1/2 5Р(/ р-~ Крюс ю-п)1 * К„,„,=[! — к,, сс„| К„,.п. Эти уравнения отличаются от обычно используемых уравнений (15.!5) — (15.19) двумя слагаемыми, учитывающими погрешности линеаризации. По мере повышения точности навигационных определений добавочные слагаемые уменьшаются и гауссовский фильтр 2-го порядка преобразуется в фильтр Калмана.
44.4. СРАВНЕНИЕ РЕНУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ПО РАЗМЕРАМ ОЕЛАСТИ СХОДИМОСТИ Область сходимости рекуррентных алгоритмов'можно оценить по результатам моделирования навигационных определений. Способность фильтров обеспечить сходимость характеризуется отношением он/о„, где Р и о,=т и' Х(х,— х)'+ Х(д,— у)'+ Х(з,— з), + р= ~ р=! + Х (бг„, — Ьг,) с =.! — суммарная среднеквадратическая погрешность, которая фактически обеспечивается в результате решения навигационной за— ою дачи по выборкам измерений; о„= т Х5Р [К р,|— 1 мера теоретической точности, которая определяется корреляционной матрицей КР. При достаточно большом числе выборок т фактическое среднеквадратическое отклонение осм должно стремиться к теоретическому значению о„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
