Диммертация (1138217), страница 13
Текст из файла (страница 13)
не может быть ситуации, изображенной на рисунке 14.N11N1N12N13Рисунок 14. Пример некорректного построения дерева.Конечно,оптимистичногоможнопредположить,сценариябудетчтополученрезультат,например,раньшерезультатапессимистичного исхода, например, из-за необходимости проведениядополнительных тестов. В целом, такие случаи представляют собой частныйинтерес и в данной работе рассматриваться не будут.Очевидно,чтоодинаковаяструктурадеревауразличныхинновационных проектов маловероятна, и поэтому не получится вывестипростую единую аналитическую формулу стоимости реального опциона вначальный момент времени, как в Black-Scholes OPM. Для решения этойпроблемы предложен итеративный алгоритм действий в каждом поддереве,такой же, как и в биномиальной модели. Важно понимать, что мысталкиваемся с важной дилеммой моделирования: выбором между простотойв расчетах или более детальном и точном описанием действительности ценой77усложнения и нагромождения моделей.
Пример такой дилеммы ужеприводился нами выше, в разделе 2.3, когда мы отметили, что оригинальнаяработа Блэка и Шоулза была посвящена простому европейскому опциону бездивидендов и в условиях отсутствия транзакционных издержек и налогов.Существуют работы, посвященные ослаблению данных предпосылок,например [90]: с учетом дивидендов, с учетом налогов и др.; однако, онибывают крайне сложны для глубокого понимания и практическогоприменения и, порой, представляют собой лишь теоретический интерес.Дилеммамоделированиярешаетсяширокораспространеннымкомпромиссным принципом: модель детализируется и усложняется до техпор, пока это себя оправдывает.
Таким образом, степень детализациииндивидуальнавкаждомконкретномслучае.Например,физикиэлементарных частиц строят столь сложные модели, что возможно проверятьих предсказания до миллионных знаков после запятой27. На это уходит многовремени и сил, но это оправданно важностью результатов и дороговизнойпроводимых экспериментов.
В то же время многие решения на фондовомрынке необходимо принимать крайне быстро из-за стремительностиперемены конъюнктуры и цен28. В таких условиях цейтнота времени, важнознать не точную оценку, а скорее определить соотношение текущей цены итеоретической цены, к которой будут стремиться рынки. В условияхинвестиций в реальный сектор экономики, в отличие от фондового рынка,есть возможность определить более детальные данные, учесть более тонкиевзаимосвязи, и это будет оправдано. Поэтому замена простой аналитическойформулы стоимости реального опциона в начальный момент времени наитеративный процесс в каждом поддереве воспринимается нами не какнедостаток, а напротив, скорее как улучшение методологии ROV.При принятых приставках СИ.Особенно, если торговля идет на дневном и меньшем (4х часовом, часовом, 15тиминутном, минутном) интервале времени.272878Сутьпредлагаемойвданнойработемоделивзвешенногополиномиального оценивания стоимости опционов или WAP OPM (англ.Weighted Average Polynomial Option Pricing Model), заключается в следующем–подходКокса-Росса-Рубинштейна,расширяетсявозможностьюмножественных сценариев, путей развития проекта.
В этом случае, какпоказано далее, в модели появляется ряд промежуточных оценок илиприближений стоимости реального опциона. Для получения результирующейстоимости реального опциона, рассчитывается среднее значение с учетомвесов веток.Рассмотримпроцессприменениямоделинаупрощенномдляпонимания случае с тремя возможными путями, = 3, представленном нарисунке 15.N1, O1O12O13N2, O2Root, O0O23N3, O3Рисунок 15. Пример поддерева с тремя возможными путями.Первый шаг.
Стоимость опциона в листьях (терминальных точкахдерева) определяется теми же логическими ограничениями, вытекающими изопределения инструмента: ≡ = max{ − ; 0}(25) ≡ = max{ − ; 0}(26)Вершины1,2и3являютсялистьямидерева(поддерева),следовательно, возможно оценить стоимость опциона в этих вершинах;79используя выражения (25) и (26) – получим значения 1 , 2 , 3соответственно.Второй шаг. Из стоимости опциона в листьях дерева получаемприближения стоимости опциона в родительской вершине. Если бы мыимели лишь два пути, будь то (m1 и m2) или (m1 и m3) или (m2 и m3), тозначениестоимостиопционавродительскойвершине,0легкоопределилось бы по изученному алгоритму Binomial OPM, а именноформулами (20) и (21). Но поскольку веток больше бинарного случая, торассматривая ветки попарно, получаем 3 приближения оценки стоимостиопциона в родительской вершине, в зависимости от рассматриваемой парыветок – 12 , 13 и 23 соответственно (см.
рисунок 15).Формулы (20) и (21) в текущих обозначениях29 при множественномколичестве веток принимают вид: = +(1−)(27)(1+ ) = max (0;(1+) − −(1+ ) − = min ({ −)(28); 1)где:, – порядковые номера возможных путей. Причем для строгостизададим порядок как 1 ≤ < ≤ ; – время, которое прошло между событиями.В работе были выбраны буквенные обозначения, отличающиеся от оригинальнойбиномиальной модели: более универсальные. Так, вместо буквы “ ”, которая обозначаласокращение от слова “Call” использована буква “” от слова “Option”, поскольку модельпостроена и для put-опционов.2980В своей работе Кокс, Росс, Рубинштейн вводили условие: > > (17), которое в нашем случае имеет вид ограничения параметра (28). Дело втом, что при построении дерева с произвольной структурой (к чемустремится данная работа), условие (17) может не выполняться.
Например, вслучае дерева, изображенного на рисунке 13, может выполняться следующеенеравенство m11 > m12 > r, т.е. > > . Если бы формула параметраосталась неизменной, то значение было бы отрицательным. По этойпричине в модели вводится функция максимума, наподобие краевыхограничений (25) и (26). Если выполняется неравенство (1 + ) < ,тогда = 0,параметразначитбудетпредставлятьсобоюдисконтированное значение более низкой оценки . Другими словами, придвух очень оптимистичных сценариях развития проекта оценка будетскладыватьсяинтерпретациянаосновеменееиспользованнойоптимистичного.логикиограниченийЭкономическаяследующая:консервативный подход к учету не даёт завысить или слишком переоценитьстоимость опциона.Отметим, что в рассматриваемом упрощенном примере с тремявозможными сценариями получается три приближения стоимости опциона вродительской вершине.
Всего же при возможных веток, число такихприближений составит – сочетание лишь составом из по 2:2 =!2!(−2)!(29)Третий шаг. На основе полученных приближений вычисляем стоимостьопциона в родительской вершине. В примере, из трех оценок (12 , 13 и 23 )необходимо получить итоговую стоимость опциона в родительской вершине0 . Данный этап - ключевой момент в предлагаемом WAP методе. Длявычисления используем средневзвешенное значение из всех приближений,причем в роли весов (1, 2, … ) выступают функции от параметров81изменения стоимости базового актива = ( ). Итоговое выражениеимеет вид:−1 =∑=1 ∑=+1( ∗( + ))(30)(−1) ∑=1 где в качестве функций весов можно рассмотреть следующие варианты: = |1 − |(31) = (̅ − )2(32) = (1 − )2(33)Функциявида(31)предпочтительнавсилуеёпрозрачнойэкономической интерпретируемости: вес показывает, на сколько процентовизменится стоимость базового актива.
Как отмечалось выше, согласносущности реального опциона, чем выше разброс (выше величина возможноговыигрыша или страховка от большей величины потерь), тем ценнееинструмент опциона: стоимость зависит от степени изменчивости.В нашем примере (см. рисунок 15) формула (30) раскроется как:−1 =∑=1 ∑=+1( ∗( + ))(−1) ∑=1 =12 ∗(1 +2 )+13 ∗(1 +3 )+23 ∗(2 +3 )(3−1)∗(1 +2 +3 )(34)Таким образом, мы получили стоимость реального опциона вродительской вершине 0 WAP методом. Модель построена для оценкистоимости опционов европейского типа. В случае американского опционаалгоритм изменится незначительно: как и в случае биномиальной модели при82переходе от младшего поддерева к старшему30 необходимо проверятьусловие выгодности досрочного исполнения реального опциона.Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна представляет собойчастный случай предлагаемой WAP модели, для бинарного дерева (при двухвозможных путях из родительской вершины = 2):−1 =∑=1 ∑=+1( ∗( + ))(−1) ∑=1 =12 ∗(1 +2 )(2−1)(1 +2 )= 12 ≡ = −(1−)(35)(1+ )Этотчастныйрезультаткосвенноуказываетнатеоретическуюкорректность построенной модели.Как показал опыт апробации предварительных результатов на научныхконференциях, отдельного рассмотрения требует задача определенияпараметров .
Как указывалось выше, в случае уникальных инновационныхпроектовпоопределениюнетвозможностинабратьдостаточнуюстатистическую выборку для определения параметров изменения ценыбазового актива с помощью объективного аппарата математическойстатистики и теории вероятностей. На практике многие прибегают кэкспертному методу, который является субъективным и основан накачественных данных. Поэтому влияние человеческого фактора следуетминимизировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
