Диссертация (1137439), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , .(5.1.1)Это последовательность отметок на стенках, пересекаемых некоторымкратчайшим путем из тождественного алькова соответствующего листа в0 (см. пример на странице 6 в [RY]).Пусть ¯ = (1 , . . . , ) ∈ ⟨0, 1⟩ – бинарное слово и пусть = {| = 0}, = {1 < · · · < }. Назовем множеством складок. Для элемента ∈ положим0 = , +1 = +1 , = 0, . . . , − 1.Мы назовем этот набор данных альковным путем , то есть можетбыть записан, как120 −→1 −→· · · −→ =: ( ).Любой альковный путь может быть спроектирован в путь в конечной группеВейля с помощью функции dir:ReReRedir(0 ) −→1 dir(1 ) −→2 · · · −→ dir( ),(5.1.2)где для аффинного корня обозначим через Re его проекцию на классическую корневую решетку.Замечание 5.1.4.
Все корни Re1 , . . . , Re – отрицательны, см. [OS], Замечание 3.17. В дальнейшем мы используем оба обозначения 1 −→ 2 и−1 −→ 2 для обозначения соответствующего ребра в графе Брюа.Замечание 5.1.5. В дальнейшем мы говорим, что такой альковный путь имеет тип 1 , . .
. , . Отметим, что в общем случае корни 1 , . . . , могут небыть получены из разложения .Пусть − ⊂ – множество ∈ , таких что корень Re( ) отрицательный. Мы говорим, что путь ∈ ℬ(, ) ( – квантовый альковныйпуть), если проекция (5.1.2) является путем в квантовом графе Брюа . Че̃︂ ) обозначим множество путей, проектирующихся на квантовыйрез ℬ(,70граф Брюа с обращенными стрелками. Отметим, что ∈ − , если и толькоесли соответствующее ребро в квантовом графе Брюа квантовое.Пусть – базисный мнимый корень. Для любого элемента аффиннойкорневой решетки + , где – элемент корневой решеткии конечномерной алгебры Ли, мы обозначим deg( + ) = . Для альковного пути ∑︀определим qwt( ) = ∈ − .5.1.3. Производящие функцииОпределим наш основной комбинаторный объект.Определение 5.1.6.
Для любого , ∈ определим:∑︁(( )) deg(qwt( )) . (, ) = ∈ℬ(,)Замечание 5.1.7. Нетрудно видеть, что для любого ∈ Π имеем = .В оставшейся части данного раздела мы опишем свойства функций .Для ковеса ∈ ∨ напомним обозначение соответствующего элемента аффинной группы Вейля ∈ . Следующая Лемма очевидна.Лемма 5.1.8. Для любого ∈ ∨ : = .Доказательство. Существует биекция между ℬ(, ) и ℬ( , ), отправляющая в . Следовательно, для любого ∈ ℬ(, ) сдвиг ∈ ℬ( , ) означает только умножение соответствующего элементаиз Определения 5.1.6 на .Теорема 5.1.9.
[OS] Пусть ∈ – антидоминантный вес. Тогда(i) (; , 0) = id.∑︀(ii) (; −1 , ∞) = ∈ℬ()(( )) (qwt( )) ,̃︂ ...(iii) (; −1 , ∞) = 0 01.Лемма 5.1.10. + −⎧⎨ + , ̸= =⎩ +( +1) , = () = − ⟨ ∨ , ⟩.71,Доказательство. Первое раванство очевидно, доказательство второго данов [OS], формула (2.9).Пусть = −(1 1 + · · · + ) – антидоминантный вес. Пусть− = 1 . . . – приведенное разложение и пусть = (− ). Тогда− = 1 .
. . . Пусть 1 ( ), . . . , ( ) – аффинные корни, построенныепо процедуре (5.1.1) для элемента ∈ .Лемма 5.1.11. Последовательность корней (− ) равна∨∨1 + ⟨1 , ⟩, . . . , + ⟨ , ⟩, 1 , . . . , .Пример 5.1.12. Рассмотрим фундаментальный вес для алгебры Ли типа . Пусть ∈ Π – элемент, такой что −1 = +1 (все индексы по модулю + 1). Тогда мы имеем:− = +1− (2 2−1 . .
. +1 )(2−1 . . . ) . . . (−1 . . . 1 0 ).Нам нужно некоторое обобщение этого примера в типе на другие типы.Напомним, что для аффинного корня мы пишем = Re() + deg() .Предложение 5.1.13. ). Для любого приведенного разложения − корни (− ) удовлетворяют следующим свойствам:∙ {Re } = { ∈ Δ− |⟨ ∨ , ⟩ < 0},∙ |{|Re = }| = −⟨ ∨ , ⟩,∙ Для любого множество { |Re = } совпадает с { + , . . .
, −⟨ ∨ , ⟩}.). Существует приведенное разложение − , дающее следующий порядок на ’. Положим 1 = , и пусть , = 2, . . . , , – некоторое упорядочивание множества {1, . . . , }∖{}. Запишем ( )∨ = −1 ∨1 − · · · − ∨ + . Порядок на дается лексикографическим порядком на векторах ( 1 , 2 , . . . , ).11Доказательство.
Для алгебр Ли типа наше Предложение может бытьполучено из Примера 5.1.12 непосредственным вычислением. В общем, для ∈ Δ− число −⟨ ∨ , ⟩ равняется количеству стенок с отметками − + Z72между альковом id и альковом −1 , где ∈ Π зафиксировано условиемтого, что −1 принадлежит нулевому листу. Другими словами, идя из единичного алькова в альков, соответствующий элементу −1 , необходимо пересечь −⟨ ∨ , ⟩ стенок с отметками −+Z . Нетрудно видеть, что эти стенки– + , .
. . , + ⟨ ∨ , ⟩ . Это доказывает утверждение о множестве { }.Теперь наша цель – доказать существование приведенного разложения− , такое что свойства из части ) нашего Предложения выполняются.Этоэквивалентно поиску альковного пути из единичного алькова в альков, соответствующий −1 , минимальной возможной длины.Упорядочим элементы множества {1, . . . , } следующим образом. Положим 1 = , и пусть , = 2, . . . , – некоторый порядок на множестве{1, . . .
, }∖{}. Возьмем некоторое множество положительных вещественныхчисел , = 2, . . . , , таких что 2 << 1, +1 << . Рассмотрим отрезок∑︀∑︀из точки =2 в точку + =2 . Мы запишем множество стенок,пересекаемых этим отрезком (см. Рисунок (5.1) с примером в типе 2 ). Рас∑︀смотрим точку = + =2 , 0 ≤ ≤ 1 этого отрезка и произвольныйкокорень ∨ = −(1 ∨ + 2 ∨2 + · · · + ∨ ). Условие ∈ + , ∈ Z (тоесть принадлежит некоторой стенке) означает:⟨, 1 ∨+2 ∨2+ ··· + ∨ ⟩= 1 +∑︁ = .=2Поэтому для достаточно маленького кокорни с меньшим 1 / появляются раньше и /1 ≤ 1. Предположим теперь, что отношение 1 / зафиксировано. Тогда = /1 − , где=∑︁=2.1Поэтому, когда меньше, – больше, и поэтому корень с меньшим 2 /1появляется раньше (напомним, что 2 >> 3 >> .
. . ). Продолжая с 3 /1 итак делее, мы получаем требуемое утверждение.Следствие 5.1.14. ) 1 = − + ,) если = + , , ∈ Δ∨+ , (Re )∨ = − , тогда|{|(Re )∨ = −, ≤ }| =|{|(Re )∨ = −, ≤ }| + |{|(Re )∨ = −, ≤ }|.73@@2r@r 6@@0−(2∨ ) + −(1∨ + 22∨ ) + 2@−(1∨ + 22∨ ) +@ 1 id @1@2@r r 2 @@@2 1@ ∨∨−(@@ 1 + 2 ) + @@Рис. 5.1. Альковные пути в типе 2) Пусть , ∈ Δ∨+ – корни, такие что ∨ + 2 ∨ ∈ Δ∨+ .
Рассмотрим подпоследовательность , = 1, . . . , , состоящую из всех корней со свойством−(Re )∨ ∈ {, , + , + 2} ( < +1 ). Тогда подпоследовательность−(Re )∨ , = 1, . . . , является объединением копий двух следующий последовательностей:, + 2, + , + 2 , + , + 2.(5.1.3)Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго положим = 1 ∨ + 2 ∨2 + · · · + ∨ , = 1 ∨ + 2 ∨2 + · · · + ∨ .∨Предположим, что = − − + (1 + 1 − ).
Тогда мы имеем|{ : ≤ , −Re = ∨ + ∨ }| = + 1(см. Предложение 5.1.13). Мы считаем количество , < , таких чтоRe = − или Re = − . Отметим, что если для числа 1 имеется равенство1 + 11<,1 − 11 + 1 − (5.1.4)тогда ∨ + (1 − 1 ) = для некоторого < ; если1 + 11<, 1 − 21 + 1 − (5.1.5)то ∨ + (1 − 2 ) = для некоторого < . Отметим также, что любоеиз обратных неравенств влечет отсутствие с действительной частью, рав1,ной ∨ или ∨ . Перепишем неравенства (5.1.4) и (5.1.5) в виде 1 < 1+1112 < 1+. Отметим, что если 1+не принадлежит Z, тогда количество ре11шений этих неравенств равно + 1 и утверждение ) доказано. Если число74– целое, то количество решений равно .
В этом случае рассмотрим111 +11, 2 = − 1 . Тогда мы имеем 1−= 1−= 1+и, исполь1 = 1+1121 −зуя лексикографический порядок, получаем, что − ∨ + (1 − 1 ) = ,1− ∨ + (1 − 2 ) = и ровно одно из чисел 1 , 2 меньше или равно .2Этим завершено доказательство пункта ).Докажем теперь ). Сохраним обозначения предыдущего доказательства.
Утверждение является простым следствием ) и лексикографическогопорядка в случае 1 = 0 или 1 = 0 (в этом случае имеем только один типподпоследовательностей (5.1.3)).Отметим, что случай ) невозможен для алгебр с простыми связями g.Для g ≃ , имеем 1 + 21 ≤ 2, поэтому этот случай доказан. Случай g ≃2 будет рассмотрен в (5.3.6),(5.3.7).
Если g ≃ 4 , то прямое рассмотрениемножества корней говорит, что единственная возможность для таких , с1 ̸= 0, 1 ̸= 0 – это = 2, = 21∨ + 22∨ + 23∨ + 4∨ , = 2∨ . В этом случаеутверждение может быть доказано простым прямым вычислеинем.1 1 +1Пример 5.1.15. Пусть g имеет тип . Тогда множество (− ) совпадает с{ } = {− − · · · − + }, ≤ ≤ в некотором лексикографическомпорядке. Отметим, что в этом случае для некоторого положительного корня , если Re = Re − , то > .¯ всеПусть = − и пусть – длина − . Обозначим через ℬ(, , )∨∨альковные пути типа ¯, = (1 + ⟨1 , ⟩, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
