Диссертация (1137439), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мы заполняем ( + 1)-ю строку диаграмы справаналево. Если ′ – множество элементов , не использованных ранее, то вклетку мы ставим:(i) max{ ∈ ′ , ≤ (())}, если { ∈ ′ , ≤ (())} ≠ ∅;(ii) max{ ∈ ′ }, если { ∈ ′ , ≥ (())} = ∅.Тогда легко видеть, что: (; , 0) =∑︁,−1,...,1 (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , )1 . . . 1 .Следовательно,∑︁,−1,...,1 (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . .
. , )1 . . . 1 = ch (1 , . . . , , ).36Но ch (1 , . . . , , ) – симметрическая функция. Поэтому мы получаем:∑︁,−1,...,1 (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , )11 . . . = ch (1 , . . . , , ).3.2.4. Прокрученный случайРассмотрим отображения(1 , . . . , ) = ( + 1, 1 , . . . , −1 );Ψ (1 , . . . , ) = 1 (2 , .
. . , , −1 1 ).Тогда рекурсия Кнопа-Сахи говорит, что() (; , ) = Ψ (; , ).(3.2.10)Предложение 3.2.11. Рассмотрим разбиение = (1 , . . . , ), 1 ≤ · · · ≤ , 1 = · · · = − = 0 ̸= −+1 . Тогда∑︁+1−1 (; , ∞) =11 +1 . . . +1 +1. . . ×1 ,..., ≥0(0,...,0,−+1 +1,..., +1)(1 +1, . . . , +1, +1 , . . . , −+ , −++1 +1, . . .
, +1).(−++1,...,,1,...,)Доказательство. Это немедленное следствие Предложения 3.2.3 для разбиения ().Лемма 3.2.12. −+1 +···+ −−+1 −···− ×0,...,0,+1,..., +10,...,0,+1,..., +1−+1(−+1 +1, . . . , +1, 1 +1, . . . , +1, +1 , . . . , −+ +1) =(−++1,...,,1,...,)−+1(−+1,...,)(1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , −+ , −++1 + 1, . . . , + 1)Доказательство. Немедленное следствие уравнения (3.2.10) и Предложения3.2.11.Пример 3.2.13.
Рассмотрим случай = 3 и разбиение = (0, 2 , 1 + 2 ).Тогда в силу Предложения 3.2.11 имеем:∑︁−1(1 +2 +1,0,2 ) (1 , 2 , 3 ; , ∞) = 131 (1 , 2 , 3 )11 22 33 .Применяя уравнение (3.2.10), получаем23 (1 , 2 + 1, 3 + 1) = 1 +2 −3 31 (3 + 1, 1 , 2 + 1).373.3. Гипотеза Чередника-Орра3.3.1. Прямоугольные диаграммыПусть g = sl , 1 ≤ ≤ − 1. Начнем с перечисления некоторых базовыхсвойств .Предложение 3.3.1. Предположим, что = . Тогда:(1) если , < − или , > − , то , ⊗ = 0;(2) порождается полиномиальной алгеброй C[, ⊗ ], 1 ≤ ≤ − ≤ ≤ − 1, ≥ 0.(3) если ≤ − ≤ , 1 ≤ ≤ , то ПБВ-степень 1 ,1 ⊗1 . .
. , ⊗ равна .Замечание 3.3.2. Часть 3 данной Леммы может быть переписана следующимобразом. Пусть – модуль Вейля, = . Тогда модуль (не только ) является градуированым модулем над полиномиальной алгеброй с естественной градуировкой. Пусть ch (1 , . . . , , ) – характер этого модуля.Тогда характер равен ch (1 , . . . , , +1 , . .
. , , )Предположим, что диаграмма ′ () –прямоугольная длины и высоты. В силу Предложения 3.2.3 мы знаем, что допустимое заполнение полностью определяется подмножествами из элементов из 1, . . . , . Мы знаем,что порядок элементов в -й строке определяет порядок элементов в ( + 1)-йстроке. В силу Предложения 3.2.9 порядок элементов −+1 , . . . , в0,...,0,+1,...,+1((1 + 1 , . . .
, + )−+1 ,..., )(3.3.1)не имеет значения (значение имеет только множество {−+1 , . . . , }). Пользуясь Предложением 3.2.7, запишем рекуррентную формулу для (3.3.1). Например, для = 2 получаем (1 , . . . , −1 , + 1, +1 , . . . −1 , + 1, +1 , . .
. , ) =∑︁∑︁ (1 , . . . , ) 2 + (1 , . . . , , − )+,<<,≥∑︁ (1 , . . . , , − ) +≥,<∑︁≥,≥Отметим, что для нас интересен случай −+1,..., .38 (1 , . . . , , )В силу Предложения 3.2.11 имеем: (′ ) = 1 . . . ∑︁{1...} (1 + 1, . .
. , + 1, +1 , . . . , )11 . . . . (3.3.2)Отметим, что () = (, . . . , , 0, . . . , 0).Теорема 3.3.3. Пусть = − . Тогда мы имеем: (; −1 , ∞) = ch (; , ).Доказательство. В силу Предложения 3.2.10 имеем:∑︁ch (1 , . . . , , ) ={1,2,...,} (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . .
. , )11 . . . .Теперь в силу Леммы 3.2.12 и симметричности характера получаем: −−+1 −···− {1,2,...,} (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , ) ={−+1,...,} (1 , . . . , − , −+1 + 1, . . . , + 1).Поэтому мы имеем:∑︁{−+1,...,} (1 , . . . , − , −+1 + 1, . . . , + 1)11 .
. . =∑︁= −−+1 −···− {1,2,...,} (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , )11 . . . =∑︁+1{1,2,...,} (1 + 1, . . . , + 1, +1 , . . . , )(1 )1 . . . ( ) +1. . . =ch (1 , . . . , , +1 , . . . , , ).Теперь с помощью Предложения 3.3.1 завершим доказательство Теоремы.3.3.2. Случай веса 1 1 + 2 −1Пусть = 1 1 + 2 −1 . Отметим, что для = 3 это общий случай.Пусть = (1 , . . . , −1 ) – строка из − 1 различных элементов из 1, . .
. , ,{1, . . . , }∖{1 , . . . , −1 } = {˜}. Пусть – перестановка -го и ( + 1)-го элементов. Тогда Предложение 3.2.9 говорит, что (1 + 1, . . . , ˜−1 + 1, ˜ , ˜+1 + 1, . . . , + 1) = (1 + 1, . . . , ˜−1 + 1, ˜ , ˜+1 + 1, .
. . , + 1),для 1 ≤ ≤ − 3. Поэтому единственными существенными параметрами являются ˜ и −1 . Обозначим соответствующую функцию через˜|−1 (1 , . . . , ).39Предложение 3.3.4. Предположим, что = 1 1 + 2 −1 . Тогда:=∑︁∑︁∑︀ ≥0 + ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1=∑︁∑︁∑︀ ≥0 + ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1ch (, ) =(︂)︂ (︂)︂211 111 . .
. .1 , . . . , 1 , . . . , ch (, , ) =(︂)︂ (︂)︂21 1 1 +2 +···+ +1 +···+−111 . . . .1 , . . . , 1 , . . . , Доказательство. Мы построим биекцию между элементами ПБВ-базисадля и парами строк, одна из которых длины 1 , вторая длины 2 , заполненные элементами множества {1, .
. . , }. Запишем эти пары строк в виде = 1 , . . . , 2 |1 , . . . , 1 . Положим∏︁∏︁( ) =−1,1 ⊗ |{<| =1}| −1,1 ⊗ |{<| < j =n}| =∏︁ =1−1,1 ⊗ |{<| =}|+|{ =1}|| ̸=1,∏︁−1, −1 ⊗ |{<| <j =n}|.| ̸=1,Отметим, что для любого ( ) удовлетворяет уравнениям (3.1.2),(3.1.3), (3.1.4) и, сравнивая количества, мы получаем, что является необхо⃒⃒ ⃒димой биекцией. Пусть ( ) = ⃒{( < )| < < i = n, j < n}⃒ + ⃒{(i <⃒ ⃒⃒j )|i < j < n i = n, j < n}⃒ + ⃒{i = 1 , i = 1 }⃒.
Тогда по определению мы имеем:deg (( )) = ( ).⃒⃒ ⃒⃒Отметим, что deg (( )) = ⃒{| ̸= 1}⃒ + ⃒{| ̸= }⃒ и его вес – это⃒⃒⃒⃒∑︀(1 , . . . , )| + ̸= = , где = ⃒{ = }⃒, = ⃒{ = }⃒.Зафиксируем и . Тогда сумма ( ) для данных элементов равняется(︀)︀ (︀ 1 )︀2 1 1 1 ,...,. Действительно, последнее слагаемое в определении ( ) 1 ,..., – это 1 1 и по определению q-биномиального коэффициента:(︂)︂∑︁ ⃒⃒{<| < < =n, <n }⃒⃒2ij=.1 , . . . , 40(︂11 , .
. . , )︂⃒∑︁ ⃒⃒{<| < <=i =n,j <n }⃒.Аналогично получаем второе уравнение Леммы. Этим доказательствоЛеммы завершено.Теорема 3.3.5. Гипотеза Чередника-Орра верна для = 1 1 + 2 −1Доказательство. В силу Предложения 3.2.10 имеем:(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)|1∑︁= +∑︀(1 + 1, . .
. , −1 + 1, ) =(︂)︂ (︂)︂21 1 1.1 , . . . , 1 , . . . , ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1В силу Предложения 3.2.7 имеем:(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)|1∑︁|1 (1 , . . . )+(1 + 1, . . . , −1 + 1, , +1 + 1, . . . , + 1) =∑︁|1 (1 , . . . )2 + 1|2 (1 , . . . ); ≥ 2=+1=2Подставляя два этих уравнения в два последовательных , получаем:(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)|1(1 + 1, . . . , −1 + 1, , +1 + 1, . . . , + 1) =(0, +1,...,2 +1,2 +1 +1)= +1|12(1 + 1, . . . , + 1, +1 , +2 + 1, . . .
, + 1)−−(1 − 2 )+1|1 (1 , . . . , ).Утверждается, что(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)|1∑︁=(1 + 1, . . . , −1 + 1, , +1 + 1, . . . , + 1) =)︂ (︂)︂(︂21 1 1 ++1 +···+.1 , . . . , 1 , . . . , ++1 +···+ +1 +···+−1 = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1Действительно, мы знаем, что это правда для = и∑︁∑︀ + ̸= = ,1 +···+ =21 +···+ =1 1 1 ++1 +···+(︂21 , .
. . , 41)︂ (︂11 , . . . , )︂−∑︁2−(1 − )1 1 ++1 +···+(︂∑︀ + ̸= = −1,̸=,∑︀ + ̸= =,1 +···+ =2 −1,1 +···+ =1(︃∑︁= 1 1 ++1 +···+(︂∑︀ + ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1=∑︀ + ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =121 , . . . , )︂ (︂11 , . . . , )︂ (︂(︂11 , . . . , )︂=)︂−)︂ (︂2 − 111 , . .
. , −1 , − 1, +1 , . . . , 1 , . . . , (︂)︂ (︂)︂211 1 ++1 +···+ +1 , . . . , 1 , . . . , −(1 − 2 ) 1 1 ++1 +···+∑︁21 , . . . , )︂ )︃=В частности, получаем:(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)2|1∑︁= 1 1 +3 +···+(︂∑︀ + ̸= = ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =121 , . . . , =)︂ (︂11 , . . .
, )︂.Но в силу Леммы 3.2.12 имеем:(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)1|(1 , 2 + 1, . . . , + 1) == 2 +1 − ·(0,2 +1,...,2 +1,2 +1 +1)·2|1∑︁= +∑︀̸= =−1() ,1 +···+ =2 ,1 +···+ =1( + 1, 1 , 2 + 1, . . . , −1 + 1) =(︂)︂ (︂)︂21 1 1 +3 +···+ +2 +···+ +1.1 , . . . , 1 , . . . , Сейчас видим, что мы получаем в точности коэффициент при 11 . .
. в формуле для ПБВ-характера из Леммы 3.3.4.4243 4ГлаваСвязь супералгебрosp(1, 2)и многочленовМакдональда-КоорнвиндераПерейдем теперь к супералгебрам. В общем случае непонятно, что нужно называть модулями Демазюра для супералгебр. Однако модули Вейлямогут быть определены (см., например, [CLS]). Поэтому можно поставитьтри естественных вопроса. Первый – это вычислить характеры модулей Вейля для аффинных супералгебр и найти связь с некоторыми супераналогаминесимметрических многочленов Макдональда. Второй – определить, существует ли в некотором смысле предел модулей Вейля при растущих весах.Мы рассматриваем модули над самой простой супералгеброй osp(1, 2) ⊗ C[].Модули Вейля в этом случае параметризуются целыми числами ∈ N; мыобозначаем соответствующий osp(1, 2)⊗C[] модуль как − .
Мы доказываемследующую Теорему.Теорема 4.0.1. − как osp(1, 2)-модуль изоморфен тензорному произведению копий 3-мерного неприводимого osp(1, 2)-модуля. Более того, структура osp(1, 2) ⊗ C[]-модуля получается с помощью конструкции градуированного тензорного произведения (фьэжен-произведения).Мы показываем, что − может быть профильтрован модулями Вейляsl2 ⊗ C[]. Это позволяет нам построить базисы и вычислить характеры − .Нашей следующей целью является описание связи между модулями Вейляи некоторыми несимметрическими полиномами Макдональда ([Ch1, Ch2]).С помощью формулы Рама-Йип для несимметрических многочленов Макдональда (см.
[RY, OS]), мы доказываем следующую Теорему.Теорема 4.0.2. Пусть(2)†(2)†−2(, , ) – несимметрический многочлен Макдо(2)†нальда типа 2 . Тогда характер − задается как −2 (, , 0) и специ(2)†ализация −2 (, , ∞) совпадает с ПБВ-подкрученным характером − .Далее, алгебра токов для osp(1, 2) имеет скрученный аналог osp(1, 2)[] .Мы также исследуем все вышеназванные вопросы в этом скрученном случае.В частности, мы определим связь с несимметрическими полиномами Макдо(2)нальда типа 2 .
Отметим, что обе алгебры osp(1, 2)[] и osp(1, 2)[] явля\2).ются параболическими подалгебрами аффинной алгебры osp(1,Кроме того, и в скрученном, и в нескрученном случае мы определим версию модулей Вейля для положительного . И в этом случае мы определимсвязь с полиномами Макдональда.Далее, мы покажем, что существует вложение osp(1, 2) ⊗ C[]-модулей− ⊂ −−1 и вычислим характер предела этих модулей по данным вложениям.
Отметим, что мы не знаем, есть ли структура представления большейалгебры на данном пределе.В вопросах, связанных с полиномами Макдональда мы применяем методы, близкие к методам статьи [OS]. В параграфе 4.4 мы опишем наиболееважные для нас аспекты подхода Орра и Шимозоно.4.1. Модули Вейля4.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
