Диссертация (1137439), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Запишем разложения ==1 ⊗ ,⨁︀∞ = =1 ⊗ . Морфизм распадается в прямую сумму морфизмов из ⊗ в ⊗ и для ̸= это отображение может быть только нулевым, адля = оно имеет вид ⊗, где – линейное отображение из в . Морфизм ⊗ из диаграмы (2.2.2) тогда является прямой суммой морфизмоввида ⊗ из ⊗ () в ⊗ () для () = . Запишем теперь условиекоммутативности диаграмы (2.2.2) на каждом подмодуле () ⊗ () :() ⊗ ∘ 1 , ⊗ = 2 , ⊗ ∘ () ⊗ ,то есть:() ∘ 1 , = 2 , ∘ () .Но это – условие на то, что набор отображений { } пространств в точках колчана является морфизмом представлений колчана из { , 1 , } в { , 2 , }.Тем самым мы получили отображение на объектах и морфизмах. Функториальность этого отображения очевидна.Наоборот, рассмотрим представление { , } колчана .
Построим⨁︀-модуль = ∞=1 ⊗ . Зададим морфизм : ⊗ → на подмодулях () ⊗ () → () ⊗ () набором отображений ⊗ . Тем самыммы задали отображение на объектах рассматриваемых категорий. Так же поморфизму { } представлений колчана построим морфизм пар, задав отображение на подпространствах ⊗ : ⊗ → ⊗ .
Как было показановыше, утверждение о том, что этот морфизм модулей задает морфизм пар,эквивалентно тому, что { } – морфизм представлений . Тем самым мыпостроили функтор и нетрудно видеть, что построенные здесь функторы являются взаимно сопряженными. Следовательно, рассматриваемые категорииэквивалентны.(ii) Рассмотрим полную подкатегорию пар = (, : ⊗ → ) сосвойством (2.2.1). В силу формулы (2.2.6) мы имеем: ⊗ ⊗ ≃ ⊗∞ ⨁︁⨁︁ ⊗ () ≃ ⊗⨁︁() ⊗ ()(2.2.7)=1 ()=Применив результаты предыдущего пункта получаем, что образ одногопрямого слагаемого ⊗ () ⊗ () под действием отображения ⊗ будет13лежать в ⊗ () ⊗ () и отображение на этом слагаемом будет иметь вид ⊗ , ⊗ .⨁︁ ⊗ ⊗ () ≃ ⊗() .()=()Поэтому ⊗ () ⊗ () ≃ ()=() () ⊗ () и отображение ⊗ будетпереводить прямое слагаемае () ⊗ () в прямое слагаемое () ⊗ () ииметь вид , ⊗ .
Поэтому отображение ∘ ( ⊗ ) на каждом прямомслагаемом () ⊗ () (напомним, что () = ()) имеет вид , , ⊗ .Рассмотрим ограничение отображения ∘ ( ⊗ ) на ( ∧ ) ⊗ , то естьпару 1 = (, ∘ ( ⊗ )). На прямых слагаемых оно имеет вид 1 , ⊗ ,где – стрелка в (∧) . Тогда условие (2.2.1) эквивалентно тому, что все1 , = 0. Но по построению все 1 , являются линейными комбинациямилинейных отображений вида , , . Следовательно, условие (2.2.1) эквивалентно некоторому набору линейных соотношений на , , , причем дляточек и количество соотношений для путей длины 2 равно кратностивхождения в ( ∧ ) ⊗ .
Поэтому эквивалентность категорий из пункта (i) задает эквивалентность полных подкатегорий пар с условием (2.2.1) ипредставлений колчана с тербуемым в условии Леммы количеством соотношений длины 2 между каждой парой точек.Тем самым доказательство Леммы завершено.⨁︀Теорема 2.2.5. Категория конечномерных представлений i () эквивалентна категории представлений колчана . Категория конечномерныхпредставлений i эквивалентна категории представлений колчана снабором соотношений второй степени, количество которых для путей източки в равно кратности вхождения в ( ∧ ) ⊗ .Доказательство. Утверждение Теоремы легко следует из Леммы 2.2.4, Замечания 2.2.2 и Леммы 2.2.1.2.3. Исследование представлений колчана ,дикостьалгебр с абелевым радикаломИз теоремы (2.2.5) следует, что если для колчана алгебра /( )2 дикая, то и алгебра i дикая, так как категория ее пред14ставлений эквивалентна категории представлений алгебры с факторалгеброй,изоморфной алгебре /( )2 .
Очевидно, что /( )2 дикая, если дикий колчан без последовательных стрелок. В общем случае имеетсяследующий, принадлежащий Габриелю критерий того, что фактор по квадрату радикала алгебры путей колчана дикий. Ссылку на него найти не удалось,так что приведем набросок доказательства.Предложение 2.3.1.
Пусть Γ – колчан. Тогда алгебра KΓ/(KΓ)2 дикаятогда и только тогда, когда следующий колчан Γ′ является диким. ТочкиΓ′ – это точки ′ , ′′ для каждой точки из Γ. Стрелок из ′ в ′′ – столько,сколько из в в колчане Γ, и других стрелок нет.Для доказательства нужно взять представление Γ, в качестве пространства в каждой точке ′′ взять сумму образов всех стрелок, входящих в , а вкачестве пространства в точках ′ - фактор пространства в точке по сумме этих образов. Таким образом получим все неразложимые представленияΓ′ кроме тривиальных в точках ′′ . Колчан Γ′ называется дублем Габриэляколчана Γ.Отсюда сразу же получаем следующееПредложение 2.3.2.
Пусть – -модуль такой, что для него существует такой неприводимый -модуль , что ⊗ содержит 5 различныхнеприводимых компонент, или компоненту кратности не меньше 3, иликомпоненту кратности 2 и еще одну ненулевой кратности (и все эти компоненты отличны от ). Тогда алгебра i – дикая.Доказательство.
В описанных выше случаях дубль Габриэля колчана содержит одинизr следующих подколчанов:rr6r-rr-rr,,Эти колчаны дикие [Naz].r?rrПредложение 2.3.3. Пусть – полупростая алгебра Ли, – простой-модуль такой, что (i) для некоторых двух простых корней ∨ , ∨ :15⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 1, ⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 1 или (ii) для его старшего веса Λ и для некоторого простого корня ∨ из подалгебры Картана верно ⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 2, (iii)вообще модуль простой имеющий размерность больше 2. Тогда алгебра i – дикая.Доказательство.
Если для некоторых модулей 1 , 2 со старшими весамиΛ1 , Λ2 : ⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 1, = 1, 2, то тензорное произведение 1 ⊗ 2 содержит в разложении простой модуль со старшим весом Λ1 + Λ2 − . Действительно, пусть 1 , 2 – старшие вектора этих модулей. Рассмотрим вектор⟨Λ2 , ∨ ⟩ 1 ⊗2 −⟨Λ1 , ∨ ⟩1 ⊗ 2 . Нетрудно видеть, что этот элемент имеет вес Λ1 + Λ2 − , ненулевой, так как = 0 тогда и только тогда, когда⟨Λ , ∨ ⟩ = 0, и обнуляется всеми положительными корнями. Следовательно,он является старшим весовым элементом некоторого простого подмодуля.Если же ⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 2, то все элементы 1 ⊗ 2 , 1 ⊗ 2 ,1 ⊗ 2 ненулевые. Для простого корня ̸= обнуляет все этиэлементы, так как коммутирует с .
Элемент переводит пространство,порожденное этими элементами в двумерное. Поэтому существует линейнаякомбинация элементов 1 ⊗ 2 , 1 ⊗ 2 , 1 ⊗ 2 , обнуляемаяэтим элементом. Но тогда эта линейная комбинация обнуляется всеми положительными корнями, то есть является старшим весом некоторого простогоподмодуля. Поэтому тензорное произведение 1 ⊗ 2 содержит простое прямое слагаемое со старшим весом Λ1 + Λ2 − 2.(i)Рассмотрим простой модуль такой, что для его старшего веса Λформы Λ + , Λ + также являются доманинтными и ⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 1,⟨Λ , ∨ ⟩ ≥ 1.
По доказанному выше тензорное произведение ⊗ содержитв разложении подмодули со старшими весами Λ +Λ −, Λ +Λ − . Такжеэто произведение содержит простой подмодуль со старшим весом Λ + Λ .Далее, для модуля со старшим весом Λ + в разложении ⊗ естьподмодули со старшими весами Λ + Λ , Λ + Λ + , и для модуля состаршим весом Λ + один из простых подмодулей разлодения тензорногопроизведения этого модуля на имеет старший вес Λ + Λ (так как ⟨Λ +, ∨ ⟩ ≥ 1, ⟨Λ + , ∨ ⟩ ≥ 1).
Все эти модули различны в силу свойстврассматриваемого модуля , кроме случая = + . Поэтому колчан содержит следующий подколчан:16rΛ +6Λ − r-rrΛΛ 6+ ΛΛ + r?rr?Λ + Λ − Λ + Λ + Λ + В случае = + дубль Габриеля колчана будет содержать рассматриваемый колчан.Этот колчан дикий и без последовательных стрелок, поэтому в силуТеоремы (2.2.5) алгебра i – дикая.(ii) Пусть – такой простой модуль, что для его старшего веса Λформа Λ − 2 также является доминантной.
Тогда ⟨Λ − , ∨ ⟩ ≥ 1, следовательно, по доказанному выше ⊗ содержит в разложении простыемодули весов Λ + Λ , Λ + Λ − , Λ + Λ − 2, а произведение модуля со старшим весом Λ − на содержит подмодули со старшими весамиΛ + Λ − , Λ + Λ − 2. Поэтому в зависимости от того, равняется ли Λ,2 или ни тому, ни другому, содержит один из следующих подколчанов:? rΛ − rΛ + 2rΛ + Λ ? rΛ?rHΛHHHrΛr?rΛ + rΛ − HHjr?HΛ + -rΛ + Λ6 − 2rΛ + Λ − Λ − У всех этих колчанов дикий фактор по квадрату радикала (так какдикий дубль Габриэля). Поэтому алгебра i – дикая.(iii) Из вышедоказанного следует, что алгебра Ли ⊗ , где – полупростая, – -модуль, дикая, если в разложении присутствует нефундаментальное представление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
