Диссертация (1137439), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть △+ – множество положительных корнейg, – ранг g и пусть ∈ △+ , = 1, . . . , – множество простых корней. Через⨁︀ , = 1, . . . , обозначим фундаментальные веса. Пусть ==1 Z –⨁︀решетка весов и + ==1 Z≥0 – подмножество положительных целыхвесов. Для ∈ + обозначим через неприводимый g-модуль со старшимвесом . Для ∈ △+ , пусть ∈ n− и ∈ n – соответствующие образующиеШевалле.Для алгебры a обозначим через a[] = a⊗C[] соответствующую алгебрутоков. Положим [] = ⊗ ∈ a[], ∈ a, ≥ 0.Пусть ̂︀g = g ⊗ C[] ⊕ C ⊕ C – аффинная алгебра Ли, в частности, –центральный элемент и [, ⊗ ] = −⊗ . Алгебра токов g[] естественнымобразом является подалгеброй ̂︀g. Мы имеем разложение Картана− ⊕ ̂︀̂︀g = n̂︁h ⊕ ̂︀n.Например, ̂︀n = g ⊗ C[] ⊕ n ⊗ 1, ̂︀h = h ⊗ 1 ⊕ C ⊕ C.Пусть = , – интегрируемый неприводимый ̂︀g-модуль со старшимвектором , . Элемент действует на как скаляр и этот скаляр называется уровнем .
Старший вес , – это пара (, ), где является весом gи – уровень , . Мы имеем условие (, ) ≤ , где – старший корень g.Собственное значение оператора на векторе , не имеет значения и можетбыть сдвинуто на любой скаляр.Пусть – конечная группа Вейля g с самым длинным элементом 0^ – соответствующая аффинная группа Вейля (^ является полуи пусть прямым произведением и кокорневой решетки). Конечная группа Вейля^ , весовое подпроестественным образом действует на пространстве весов g и странство веса (, ) – одномерно. Мы фиксируем один вектор для каждогосоответствующего пространства и обозначаем его (,) .
Модуль Демазюра () опередляется как () = (̂︀n)(,) . Отметим, что () не всегдаявляется инвариантным относительно действия g ⊗ 1.В силу следующих причин мы рассматриваем только модули уровня 1. Вэтом случае для любого веса ∈ существует единственный интегрируемый^ , такой что (, 1) = (, 1). Если – антидоминантный (товес (, 1) и ∈ есть 0 – целый доминантный g-вес), то модуль Демазюра () допускаеттакже действие всей алгебры g ⊗ 1.Мы обозначаем модули Демазюра с антидоминантным весом 0 как и его циклический вектор как . Отметим, что вес элемента – это 0 .В частности, имеем U(n ⊗ 1) ≃ с младшим вектором .
Также имеем = U(n[]) . Модули играют важную роль в теории представлений и втеории многочленов Макдональда (см., например, [CL], [FL1], [FL2], [Kn], [S],[I]). В частности, являются также модулями Вейля и фьюжен-модулями.Пусть U(n[]) – ПБВ-фильтрация на универсальной обертывающей алгебре. Так как = U(n[]) , мы получаем индуцированную фильтрациюна модуле Демазюра. Пусть – ассоциированный градуированный модуль.Тогда:⨁︁U(n[]) .
= (), () =U(n[])−1≥0Отметим, что – представление абелевой алгебры n [], где n – абелеваалгебра Ли с подлежащим векторным пространством n. Пусть – операторПБВ-степени на , то есть | () = · Id. Положив = 0, мы получаем действие оператора на . Пусть (, ) – множество векторов ∈ (), таких что = . Отметим, что каждый (, ) естественнымобразом является h-модулем.
Мы обозначаем ПБВ-характер какch, =∑︁ ch (, ).,≥03.1.1. ПБВ-базисПусть g = sl+1 . Пусть , = + · · · + (1 ≤ ≤ ≤ ) – множествоположительных корней. Обозначим с помощью , = , , , = , образующие Шевалле алгебры g. Пусть , [] = , ⊗ , , [] = , ⊗ Приведемнекоторые свойства модулей Демазюра в следующей Лемме.Лемма 3.1.1. Пусть =∑︀=1 ∈ + . Тогда24∙ порожден циклическим вектором ∈ с помощью действияоператоров [] = ⊗ , – положительный корень и ≥ 0.∙ , = 0, если не выполнены условия ≤ − ≤ = 1.∏︀∙ dim = =1 (dim ) .∙ – g ⊗ C[]-модуль, он изоморфен модулю Вейля.∑︀∑︀∙ Если = , тогда [] = 0 для ≥ .∙ U(g) ≃ , – вектор младшего веса.Приведем обозначения из статьи [CL].
Пусть ≥ 0, и s = (s(1) ≤ · · · ≤s()) – набор неотрицательных весов. Для положительного корня мы используем обозначение∏︁ (, s) = [()].1≤≤Если = , , мы кратко обозначим , (, s) с помощью , (, s). Сначалаприведем несколько лемм из [CL].Пусть g = sl2 .Лемма 3.1.2. Векторы 1,1 (, s)1 , удовлетворяющие условиям, s() ≤ − образуют базис 1 . Определяющие соотношения sl2 []-модуля 1– это []1 ( ≥ 0), ℎ[]1 ( > 0), [0] 1 ( > ).∏︀Лемма 3.1.3.
Векторы =1 1, ( , s ) , удовлетворяющие соотношениямs1 (1 ) ≤ − 1 , s2 (2 ) ≤ − 1 − 2 , . . . , s−1 ( ) ≤ − 1 − · · · − ,образуют базис .∏︀Векторы =1 , ( , s )1 , удовлетворяющие соотношениямs ( ) ≤ − , s−1 (−1 ) ≤ − − −1 , .
. . , s1 (1 ) ≤ − − · · · − 1 ,образуют ПБВ-базис 1 .Доказательство. Доказано в [CL].Мы доказываем следующую теорему.25Теорема 3.1.4. Пусть = 1 + . Тогда у модуля есть ПБВ-базисвида−1∏︁∏︁, (, , s, )1 + ,(3.1.1)s1, (1, ) ≤ − 1,1 − · · · − 1, , = 1, . . . , − 1,(3.1.2)s, (, ) ≤ − , − · · · − , , = , . . . , 2,(3.1.3)1, (1, , s1, )1, (1, , s1, )=1=2удовлетворяющий условиямs1, (1, ) ≤ + − 1,1 − · · · − 1,−1 − 1, − 2. − · · · − , .(3.1.4)Лемма 3.1.5. Множество элементов базиса из Теоремы 3.1.4 совпадает сразмерностью модуля .Доказательство.
Мы знаем, что dim 1 + = ( + 1)+ . Поэтому намдостаточно только показать, что(︂)︂(︂)︂∑︁2+−1,1 +···+1,−1 −, +···+−1,1,1 , . . . , 1,−1, , . . . , −1,1,1 +···+1,−1 ≤, +···+−1, ≤равняется ( + 1)+ , что очевидно.Пусть – ПБВ-фильтрация на . Для любого ∈ △+ и ≥ 0 имеем [] ⊂ . Поэтому мы получаем индуцированные операторы на ,которые мы обозначаем как []. Следующая Лемма является простой:Лемма 3.1.6. Операторы [] являются дифференциальными операторами на , представленном как фактор полиномиальной алгебры от переменных [], ∈ △+ , ≥ 0. Имеем [] [] = 0 кроме случая, когда[ , ] = , для некоторого ∈ △+ .
Если это равенство выполняется,то [] [] = , [ + ].Теперь пусть – старший корень g. Пусть sl2 – алгебра sl2 , порожденная и .Лемма 3.1.7. Имеется естественное действие sl2 [] на . ПБВ-степениоператоров [], ℎ [] и [] – один, нуль и минус 1.26Доказательство. Алгебра Ли sl2 ⊗ C[] действует на . Мы имеем очевидное индуцированное действие операторов [] и ℎ [] на градуированномпространстве : так как [] ⊂ +1 и ℎ [] ⊂ мы получаем операторы степеней один и нуль. Теперь нетрудно увидеть, что [] ⊂ −1 (таккак [ , ] является линейной комбинацией операторов и подалгебры Картана). Поэтому мы получаем индуцированный оператор степени минус один.Индуцированные операторы [], ℎ [] и [] на по-прежнему образуюталгебру sl2 ⊗ C[].Замечание 3.1.8. Отметим, что дифференциальные операторы являютсянулевыми.Мы докажем главную теорему.
Для начала приведем набросок доказательства с случае sl3 , а после дадим доказательство для произвольного .Лемма 3.1.9. Пусть g = sl3 , = 1 + 2 . Тогда векторы1,1 (1,1 , s1,1 )2,2 (2,2 , s2,2 )1,2 (1,2 , s1,2 )(3.1.5)удовлетворяющие условиям1,1 (1,1 ) ≤ − 1,1 , 2,2 (2,2 ) ≤ − 2,2 , 1,2 (1,2 ) ≤ + − 1,1 − 2,2 − 1,2 (3.1.6)образуют базис .Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор вида (3.1.5). Мы хотимпоказать, что он может быть переписан в виде линейной комбинации мономов, удовлетворяющих условиям (3.1.6). Ограничим модуль на подалгебры sl2 ⊗ C[], соответствующие простым корням, предположим, что1,1 (1,1 ) ≤ − 1,1 , 2,2 (2,2 ) ≤ − 2,2(так как мы знаем, что эти ограничения дают базис в случае sl2 , см. Лемму3.1.2).
Отметим, что1,2 [0] 1,1 (1,1 , s1,1 )2,2 (2,2 , s2,2 ) = 0(3.1.7)для + 1,1 + 2,2 > + (это может быть показано с помощью применениядифференциальных операторов, см. доказательство теоремы в общем случаениже). Рассмотрим теперь действие sl2 ⊗ C[]. Отметим, что действие этой27алгебры коммутирует с 1,1 [] и 2,2 []. Следовательно, используя (3.1.7) идействие sl2 ⊗ C[] мы получаем нужное утверждение благодаря Лемме 3.1.2.Перейдем к доказательству в общем случае.Доказательство. В силу Леммы 3.1.5 достаточно доказать, что любой вектор из может быть записан в виде линейной комбинации векторов (3.1.1),удовлетворяющих условиям (3.1.2), (3.1.3), (3.1.4).
Для начала ограничим на подалгебру sl−1 [], соответствующую простым корням 1 , . . . , −1 . Тогда мы имеем все соотношения из и, значит, можем предположить, чтовсе условия (3.1.2) выполняются. Аналогично, мы можем предположить, чтоусловия (3.1.3) выполнены.Имеем:−1∏︁∏︁(1, , s1, )(, , s, )(3.1.8)1, [0]=1в случае +∑︀−1=2∑︀+ =2 , > + . В действительности, мы знаем, что1, [0] = 0, если > + .
Таким образом=1 1,1,−1 [] 1, [0] = const. , [] 1, [0]− ,+1, [] 1, [0] = const. 1, [] 1, [0]− ,что доказывает (3.1.8). Теперь применим действие алгебры sl2 [].3.2. Несимметрические многочлены Макдональда3.2.1. Формула Хаглунда-Хаимана-ЛоераПусть = (1 , . . . , ) – последовательность целых чисел. Несимметрические полиномы Макдональда типа (, , ) являются полиномами отпеременных = (1 , . .
. , ) с коэффициентами в Q(, ). Они являются совместными собственными функциями операторов Чередника. В дальнейшемнам потребуется следующее свойство Кнопа-Сахи многочленов Макдональда.Пусть (1 , . . . , ) = ( + 1, 1 , . . . , −1 ) и(Ψ )(1 , . . .
, ) = 1 (2 , . . . , , −1 1 ).Тогда () (, , ) = Ψ (, , ).28Мы используем явное комбинаторное описание несимметрических многочленов Макдональда из [HHL]. Для разбиения = (1 , . . . , ) диаграммойколонок ′ () является следующее множество: ′ () = {(, ) ∈ N2 : 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ }̂︁Пополненная диаграмма ()оперделяется как̂︁()= ′ () ∪ {(, 0) : 1 ≤ ≤ },Тто есть одна клетка добавляется внизу каждой колонки. Например, для̂︁ :разбиения = (3, 1, 0, 2, 0, 4) имеем следующие диагрумы для ′ () и ()В дальнейшем мы будем в первую очередь интересоваться антидоминантными диаграммами, то есть ≤ , если < .Заполнение – это отображение : ′ () → {1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
