Диссертация (1137439), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Напомним, что представление называется фундамен­тальным, если его старший вес обнуляет все элементы ℎ для простых весов, кроме одного, на котором принимает значение 1.Рассмотрим фундаментальное представление . Пусть – его старшийвесовой вектор. Пусть – такой (единственный) вес, что ̸= 0.

Если этопредставление не двумерно, то существует такой вес , что ̸= 0. Пустьтеперь – такой -модуль, что для его старшего весового вектора элементы17 и линейно независимы и то же самое верно для модуля со стар­шим весом Λ +. Рассмотрим элементы тензорного произведения ⊗ весаΛ +Λ −− : ⊗, ⊗ , ⊗ , ⊗ . Они линейно неза­висимы. Непосредственным вычислением получаем, что оператор умноженияна имеет на этом пространстве одномерный образ, а оператор умноженияна – двумерный.

Поэтому ядра этих операторов имеют ненулевое пересе­чение, следовательно, существует ненулевой элемент веса Λ + Λ − − ,обнуляемый всеми положительными корнями. Поэтому в рассматриваемомтензорном произведении существует простой подмодуль с рассматриваемымстаршим весом. Поэтому аналогично предыдущему пункту получаем в кол­чане один из описанных в предыдущем пункте подколчанов. Следователь­но, если модуль простой и имеет размерность больше 2, то алгебра i –дикая.Если модуль не является простым, = ⊕ ′ , то алгебра i являетсяфакторалгеброй i .

Поэтому из Предложения 2.3.3 следует, что алгебра i дикая, если одно из неприводимых прямых слагаемых модуля имеетразмерность больше двух.2.3.1. Случай двумерного модуляЛемма 2.3.4. Алгебры Ли с двумерным абелевым радикалом дикие.Доказательство. Если радикал приводим как модуль над полупростой ча­стью, то есть распадается в прямую сумму двух одномерных, то колчан представляет собой несвязное объединение точек с двумя петлями, так кактензорное произведение любого модуля на одномерный изоморфно . ∧одномерен, поэтому получаем задачу описания представлений пары матрицс одним однородным соотношением второый степени.

Эта задача дикая прилюбом соотношении в силу работы [Sam]. Остается случай двумерного непри­водимого модуля. Двумерный неприводиый модуль бывает только над ал­̂︀, ̂︀ – полупростая, действующая на тривиально.гебрами Ли вида = 2 ⊕ ̂︀. Вследствие Предложения 2.1.7, прямаяВ этом случае i w 2 i ⊕ сумма полупростой и ручной алгебр Ли – ручная. Поэтому достаточно исле­довать алгебру 2 i .Рассмотрим случай двумерного модуля над 2 . В силу формулы Клебша­Гордона колчан для двумерного имеет вид:18r11r22r33r. . .1234Модуль ∧ изоморфен одномерному модулю.

Поэтому соотношениябудут только вида + +1 +1 = 0 при некоторых константах и . Эта задача дикая при любых константах, так как у подколчана на ее 6последовательных точках имеется накрывающая, у которой форма Титса неявляется неотрицательно определенной.Форма Титса для колчана с соотношениями – это следующая квадратич­ная форма на пространстве K , где – число точек колчана.

Пусть {1 , . . . }– базис пространства K , {1 , . . . } – множество точек колчана, – размер­ность пространства стрелок из в , – размерность пространства соотно­шений на пути из в . Тогда форма Титса – это следующая квадратичнаяформа:(︃ )︃∑︁∑︁∑︁∑︁112 = −( + ) +( + ) .22=1=1,=1,=1Искомая накрывающая алгебра – это алгебра следующего колчана ссоотношениями:3r7r@35@@@@@@2r 2r 4R5R8r@@24@@@@3@@r 5R4rR6@1r 1,с одним линейным соотношением на 2 2 , 3 3 и одним соотношениемна 4 4 , 5 5 , а именно 2 2 2 + 2 3 3 = 0 и 4 4 4 + 4 5 5 = 0.Форма Титса этого колчана принимает отрицательное значение на век­торе 1 + 22 + 23 + 24 + 45 + 26 + 27 + 28 .Опишем функтор из категории представлений рассмартивемого колчанав категорию представлений подколчана , содержащего точки, соответству­ющие модулям размерности от 1 до 6, и все стрелки между этими точками.Пусть – некоторое представление колчана , – пространства в точках, – отображения между ними.

Положим 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 3 ⊕4 , 4 = 5 ,5 = 6 ⊕ 7 , 6 = 8 . Далее, положим 1 = 0, 1 = 1 , 2 = (0, 2 ),2 = (0, 2 ) , 3 = (3 , 0), 3 = (3 , 0) , 4 = (0, 4 ), 4 = (0, 4 ) ,195 = (5 , 0), 5 = (5 , 0) , где запись (, ) означает отображение в пер­вое прямое слагаемое и отображение во второе, а запись (, ) означаетсумму отображений из первого и второго прямых слагаемых.Непосредственно проверяется, что построенное отображение действи­тельно задает функтор из категории представлений одного колчана в катего­рию представлений другого и тот факт, что этот функтор переводин нераз­ложимые представления в неразложимые и неизоморфные в неизоморфные.Поэтому алгебра 2 i дикая.Следовательно, можно доказать следующую теорему.̂︀ i – алгебра Ли с абелевым радикадом.

ТогдаТеорема 2.3.5. Пусть = ручная тогда и только тогда, когда модуль – одномерный. В противномслучае – дикая.Доказательство. Если размерность больше одного, то – дикая по Лемме(2.3.4) или Предложению (2.3.3).2.4. Случай неабелевого радикалаРассмотрим теперь алгебры Ли с неабелевым радикалом. Алгебра/[, ] имеет абелев радикал. Если она дикая, то и – дикая. Теперь рас­смотрим алгебры с ручным фактором по квадрату радикала. Все такие фак­торалгебры описываются Теоремой 2.3.5.2.4.1. Алгебры с одномерным фактором радикала по квадратурадикалаТеперь рассмотрим случай, когда фактор радикала по его квадрату – од­номерен.

Будем считать алгебру неразрешимой. Очевидно, чтобы доказатьдикость таких алгебр, достаточно доказать дикость их факторов по второйпроизводной радикала. Поэтому будем считать, что квадрат радикала – абе­лев.Рассмотрим расширения при помощи модуля алгебр вида 0 ⊕ , где0 – полупроста, – одномерна. Очевидно, что модуль можно считатьнеприводимым (если нет – можно перейти к факторалгебре), то есть, в силу20Предложения 2.1.7, просто 0 -модулем, на котором некоторая образующая действует тождественным либо нулевым образом.

Во втором случае получа­ем алгебру с абелевым радикалом размерности больше, чем 1. Поэтому всетакие алгебры – дикие в силу теоремы 2.3.5. Следовательно, достаточно рас­смотреть случай, когда является неприводимым 0 -модулем и некотораяобразующая действует на этом модуле тождественно. Кроме того, расши­рение можно считать полупрямым произведением, так как алгебра 0 ⊕ имеет тривиальные вторые когомологии (см, например, [Zus]). Теперь доста­точно доказать следующее предложение.Предложение 2.4.1.

Пусть = (0 ⊕ ) i – алгебра Ли такая, что0 – полупроста, – одномерна, – неприводимый 0 -модуль, на которомобразующая действует тождественно. Тогда – дикая.Доказательство. Рассмотрим следующий колчан с соотношениями:01??rr011 = 0 + .Этот колчан дикий (см., например, [Han]). Построим функтор из ка­тегории представлений этого колчана в категорию представлений алгебры = (0 ⊕ ) i . Пусть (0 , 1 , 0 , 1 , ) – представление рассматривыемо­го колчана, где 0 , 1 – пространства в точках, : → , : 0 → 1 .Построим следующее представление алгебры : = 0 ⊕ 1 ⊗ как 0 -модули. Выберем некоторую образующую , = ⟨⟩ и положим для ∈ , и , ′ ∈ : · 0 = (0 ), · 1 ⊗ = 1 (1 ) ⊗ , ·0 = (0 )⊗ , ·1 ⊗ ′ = 0. Легко проверяется, что это представление и чтоестественно определенное отображение на морфизмах задает точный функ­тор .

Предположим, что построенное представление разложимою Пусть эле­мент 0 + 1 ⊗ принадлежит одному прямому слагаемомуб 0 + 1 ⊗ ∈ ′ .Тогда умножением на элементы из полупростой алгебры 0 мы получим, что1 ⊗ ⊂ ′ , в частрости, 1 ⊗ ∈ ′ , а значит и 0 ∈ ′ . Поэтому пря­мые слагаемые имеют вид 0′ ⊕ 1′ ⊗ , 0′′ ⊕ 1′′ ⊗ . Очевидным образомполучаем, что пространства 0′ , 0′′ инвариантны под действием 0 , 1′ , 1′′под действием 1 , и переводит 0′ в 1′ и 0′′ в 1′′ . Поэтому мы получилиразложение представления колчана. Следовательно, построенный функторпереводит неразложимые представления в неразложимые.21Рассмотрим произвольный морфизм -модулей рассматриваемого ви­да, назовем эти модули 0 ⊕ 1 ⊗ и 0 ⊕ 1 ⊗ .

Тогда, в силу Леммы Шураполучаем, что (0 ) ⊂ 0 , (1 ⊗) ⊂ 1 ⊗ , при чем для некоторого линейно­го оператора верно, что (1 ⊗ ) = (1 ) ⊗ . Непосредственно проверяется,что |0 , задает представление рассматриваемого колчана с соотношениями,данное отображение функториально и является сопряженным функтором крассматриваемому, если рассматривать его как функтор на полную подкате­горию модулей вида ⊕ ⊗ . Поэтому построенный нами функтор являетсявложением категорий.Из этого следует, что все алгебры вида = (0 ⊕ ) i – дикие.Замечание 2.4.2.

Из результатов этого параграфа и Теоремы 2.3.5 следует,что все алгебры Ли с неабелевым радикалом – дикие.2.4.2. Основная теоремаИз всего доказанного выше следует следующая теорема:Теорема 2.4.3. Ручными являются следующие алгебры Ли:1) полупростые;2) одномерная алгебра;3) прямые суммы полупростых с одномерной.Все остальные – дикие.Доказательство.

Все полупростые алгебры ручные в силу классической тео­рии представлений алгебр Ли. Все разрешимые алгебры – дикие в силу Пред­ложения 2.1.6.Будем теперь считать, что данная алгебра не содержит разрешимыхпрямых слагаемых.̂︀: ̂︀ = i , – по­Рассмотрим разложение Леви данной алгебры Ли лупростая, – радикал. Если /[, ] – одномерна, то, в силу предложений2.4.1 и 2.1.7, дикая тогда и только тогда, когда – не одномерен, и ручная,когда – одномерен.Пусть теперь dim = dim /[, ] > 1. Тогда /[, ] – дикая в силуТеоремы 2.3.5. Поэтому – тоже дикая.2223 3ГлаваГипотеза Чередника-Орра для некоторыхмодулей3.1. Модули Демазюра и ПБВ-фильтрацииПусть g – простая конечномерная алгебра Ли. Фиксируем разложениеКартана g = n− ⊕b, b = n⊕h.

Характеристики

Список файлов диссертации