Диссертация (1137439), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Стартовые значения зафиксированыравенствами (22 , 12 , 11 ) = 0, если некоторое из чисел отрицательно и (0, 0, 0) = 1.Предложение 4.2.3. Специализации несимметрических полиномов Макдо(2)дональда в типе 2 могут быть записаны в следующем виде ( ≥ 0):∑︁(2)−2 (, , 0) =2 (22 , 12 , 11 )22 −11 .(4.2.4)22 +12 +11 =(2)∑︁2+1(, , 0) =(︀)︀ 2+1 2 (22 − 1, 12 , 11 ) + 1 (22 , 12 − 1, 11 ) 11 −22 +1 .22 +12 +11 =+1(4.2.5)(2)2∑︁− (, −1 , ∞) =1 (22 , 12 , 11 )11 −22 .(4.2.6)22 +12 +11 =(2)2+1(, −1 , ∞) =∑︁2 (22 , 12 , 11 )11 −22 +1 .22 +12 +11 =(2)(2)2В частности, +1(, −1 , ∞) = −2 (, , 0).56(4.2.7)Доказательство. Для начала докажем (4.2.4), (4.2.5) используя Теорему4.2.1.
Пусть – длина элемента . Мы знаем, что +1− = −1 + . Следовательно, +1− = 2 = . Значит, если мы изучаем специализацию в = 0, мы можем считать все знаменатели равными 1:∑︁∏︁ ∏︁(2)2(()−1)/2+( )−|| (, , 0) = lim ( ) =→0∈0∑︀∈ℬ()= lim∑︁ (()−1)/2+( )−||+2|0 ∪− | →0∈−∈0 ∪− ( ).∈ℬ()Мы утверждаем, что показатель (() − 1)/2 + ( ) − || + 2|0 ∪ − | обнуляется тогда и только тогда, когда нет положительных 0-складок и он положителен, когда такие складки имеются. Действительно, пусть 0+ и 0− –множество положительных и отрицательных нулевых складок.
Тогда:(() − 1)/2 + ( ) − || + 2|0 ∪ − | − 2|0+ | =(4.2.8)(() − 1)/2 + ( ) − |+ | − |0+ | + |0− ∪ − | = 0.Следовательно, (() − 1)/2 + ( ) − || + 2|0 ∪ − | = 2|0+ |. Обозначим множество путей с |0+ | = 0 как ℬ . Тогда мы имеем:(2)2(, , 0) =∑︁∑︀∈0 ∪− ( ).∈ℬ()Теперь запишем альковные пути в следующем виде. Мы их закодируем последовательностями h = (ℎ0 , . . . , ℎ ) (см. [HHL]) чисел 1 и 2. Положим ℎ0 = 1,если > 0 и ℎ0 = 2 если < 0.
Если -й шаг пути заканчивается стрелкойвправо (то есть это пересечение слева направо или положительная складка),то ℎ = 1. Если -й шаг заканчивается левой стрелкой, то ℎ = 2. Тогда подпоследовательности 12 соответствуют отрицательным складкам и подпоследовательности 21 соответствуют положительным складкам. Рассматриваемпоследовательность (ℎ0 , .
. . , ℎ ) как последовательность из пар 11, 12, 21, 22и, возможно, первого ээлемента без пары. Тогда множество последовательностей пар без пары 21 соответствует ℬ(). Обозначим множество такихпоследовательностей как ().Для любой последовательности h длины + 1 обозначим leg(h) =∑︀ℎ− =1,ℎ−+1 =2 . Тогда:(2)2(, , 0) =∑︁ leg(h) [(|{>0|ℎ =1}|−|{>0|ℎ =2}|+1)/2] ,h∈()57где [] – целая часть .Рассмотриммногочлены(2)−2 (, , 0).Обозначимчерез(, 22 , 12 , 11 ) ⊂ (−) множество последовательностей пар иэлемента ℎ0 , такого что ℎ0 = и там присутствуют пар .
Положим∑︁ (22 , 12 , 11 ) = leg(h) .h∈(,22 ,21 ,11 )Разделим множества (, 22 , 12 , 11 ) на три подмножества последовательностей в соответствии со значением первой пары ℎ1 , ℎ2 ((2, 2), (1, 2) или (1, 1)).Рассмотрим случай = 2. Если (ℎ1 , ℎ2 ) = (2, 2), тогда нога последовательности не изменится, если мы отрежем (ℎ0 , ℎ1 ). Легко видеть, что все элементы (2, 22 − 1, 12 , 11 ) могут быть получены такой процедурой. Если(ℎ1 , ℎ2 ) = (1, 2), то если мы отрежем первые два элемента, то уменьшитсяна 2 − 1.
Если (ℎ1 , ℎ2 ) = (1, 1), то если мы отрежем первые два элемента,то не изменится и мы получим = 1 вместо = 2. То есть мы получаемрекуррентное соотношение (4.2.3). Рекуррентное соотношение (4.2.2) можетбыть получено тем же способом. Более того, мы по определению получаем,что они удовлетворяют (4.2.4).Аналогично мы получаем соотношение (4.2.5).(2)Теперь рассмотрим многочлены 2 (, −1 , ∞). При → ∞:11−∼ −−1 . После замены → −1 мы имеем:(2)−2 (, −1 , ∞) = lim∑︁→∞=∼(− −2 )wt( ) =∈0 ∪+∈ℬ()∑︁∏︁ ((−)−1)/2+( )+||1−2(−()−1)/2+( )+||−2|0 |−2|+ |∑︀∈0 ∪+ wt( ).∈ℬ()Аналогично (4.2.8) мы имеем, что (() − 1)/2 + ( ) + || − 2|0 | −2|+ | = 0, если 0− = ∅.
Поэтому мы получаем:(2)−2 (, −1 , ∞) =∑︁∑︀∈0 ∪+ [(|{>0|1 =1}|−|{>0|1 =2}|+1)/2].∈ℬ(),|0− |=0В терминах последовательностей мы получаем, что любая прогулка, дающаянетривиальное слагаемое, получается из последовательности пар 22, 21, 11с ℎ0 = 2. Обозначим множество таких последовательностей как ′ () и58положим leg′ (h) =ℎ− =1,ℎ−−1 =2 .∑︀(2)′∑︁−2 (, −1 , ∞) =Тогда: leg (h) [(|{>0|ℎ =1}|−|{>0|ℎ =2}|+1)/2] .h∈ ′ ()Теперь мы получаем (4.2.6), меняя местами 1 и 2 по всех определениях предыдущего абзаца.В итоге:(2)2∑︁−1(, , ∞) = lim→∞=(− −2 )wt( ) =∈0 ∪+∈ℬ()∑︁∏︁(( )+||( )+||−2|0 |−2|+ |∑︀∈0 ∪+ wt( ),∈ℬ()и мы получаем (4.2.7).Лемма 4.2.4. Единственное решение уравнений (22 , 12 , 11 ) из определения 4.2.2 дается формулами:(︃1 (22 , 12 , 11 ) = 2+22212(︃2 (22 , 12 , 11 ) = 21222 + 12 + 1122 , 12 , 1122 + 12 + 1122 , 12 , 11)︃,(4.2.9)2)︃(4.2.10)2Доказательство.
Прямое вычисление.4.2.3. Двойственные полиномы МакдональдаВ этом разделе мы будем работать с полиномами Макдональда типаМы сохраняем обозначения из разделов 4.2.1 и 4.2.2.(2)†2 .1/2Теорема 4.2.5. (Рам, Йип, (2)†. Тогда:2 -случай) Положим = (2)†2(, , ) =∑︁(︀)︀|| (()−1)/2+( )−|| 1 − 2×∈ℬ()∏︁∈0+∏︁ 2 ∏︁ 1 ∏︁ 1( ) .221 − 1 − 1 − 1 − ∈0−59∈+∈−Определение 4.2.6. Определим элементы † (22 , 21 , 11 ) ∈ Z[], = 1, 2 следующими рекуррентными соотношениями:†1 (22 , 21 , 11 ) = 2 †2 (22 − 1, 21 , 11 ) + 2 †1 (22 , 21 − 1, 11 ) + †1 (22 , 21 , 11 − 1),(4.2.11)†2 (22 , 21 , 11 ) = †2 (22 − 1, 21 , 11 ) + †1 (22 , 21 − 1, 11 ) + †1 (22 , 21 , 11 − 1),(4.2.12)где = 11 + 21 + 22 . Стартовые условия – † (22 , 21 , 11 ) = 0, если любое < 0, и † (0, 0, 0) = 1.Предложение 4.2.7.
Мы имеем следующие уравнения ( ≥ 0):(2)††2 (22 , 21 , 11 )11 −22 .(4.2.13)†1 (22 , 21 , 11 )11 −22 +1 .(4.2.14)†1 (22 , 21 , 11 )11 −22 .(4.2.15)∑︁−2 (, , 0) =22 +21 +11 =(2)†∑︁2(, , 0) =+122 +21 +11 =(2)†∑︁−2 (, −1 , ∞) =22 +21 +11 =(2)†2+1∑︁−1(, , ∞) =(︁†2 (22 , 21 , 11 )+)︁†1 (22 , 21 , 11 )11 −22 +1 .22 +21 +11 =(2)†2(4.2.16)(2)†2В частности, +1 (, , 0) = − (, −1 , ∞).Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательствуПредложения 4.2.3.
Мы имеем те же самые элементы = 2 = . Поэтому, если мы изучаем специализации в = 0, мы можем положить всезнаменатели равными 1:∑︁∏︁ ∏︁(2)†2 (, , 0) = lim( ) (()−1)/2+( )−|| =→0∈0∈ℬ()= lim∑︁→0( ) (()−1)/2+( )−||+2|+ |+4|0+ | ∈−∑︀∈0 ∪−.∈ℬ()Показатель (() − 1)/2 + ( ) − || + 2|+ | + 4|0+ | обнуляется если итолько если нет отрицательных 0-складок. Закодируем альковную прогулкадвоичным словом тем же образом, что и в доказательстве Предложения 4.2.3.Теода ненулевые слагаемые соответствуют словам без 12. Это – единственноеотличие от предыдущего доказательства.60Лемма 4.2.8.
Единственное возможное значение для † (22 , 12 , 11 ) изОпределения 4.2.6 задается формулами:(︃†1 (22 , 21 , 11 ) = 21 (21 −1)+222 +221(︃†2 (22 , 21 , 11 ) = 21 (21 −1)22 + 21 + 1122 , 21 , 11)︃22 + 21 + 1122 , 21 , 11)︃,(4.2.17)2(4.2.18)2Доказательство. Прямая проверка.4.3. СравнениеВ этом разделе мы обсудим связь между характерами модулей Вейля испециализированными многочленами Макдональда.Теорема 4.3.1. Для любого ∈ Z имеем(2)†(2)ch (, 2 ) = 2 (, , 0), ch (, ) = 2 (, , 0).Доказательство. Лемма 4.1.2 и Лемма 4.1.4 дают для ≥ 0(︃)︃∑︁ch− (, 2 ) = (−1) −++2,,,−−2+≤(︃)︃ ∑︁ 2ch−(, ) = −++2.,,−−2+≤(4.3.1)(4.3.2)Формула (4.3.1) согласуется с формулами (4.2.13), (4.2.18).
Формула (4.3.2)согласуется с формулами (4.2.4), (4.2.10).Применяя Следствие 4.1.12 и Следствие 4.1.14, мы получаем следующиеформулы ( ≥ 0)(︃)︃,(4.3.3),,−−+≤2(︃)︃(︁ 2)︁∑︁2ch+1(, ) =+1−−2 +2 + −1 +2+1.,,−−2+≤ch+1 (, 2 ) =∑︁ (+1)+2 +1−−2(4.3.4)61Формула (4.3.3) согласуется с формулой (4.2.14), (4.2.17).Нетривиальную часть формулы (4.3.4) мы хотим сравнить с формулами (4.2.5), (4.2.9) и (4.2.10).
Мы имеем условия (4.1.5) и (4.1.6) на элементыбазиса +1 . Элементы, удовлетворяющие условию (4.1.5), параметризованыданными, очень близкими к данным (4.1.2). Более точно, мы получаем (4.1.5),если мы увеличиваем степень по элементов в (4.1.2) на 2. Поэтому послесопоставления = 11 , = 12 , 22 + 12 + 11 = + 1 характер элементов(4.1.5) равен∑︁2 (22 − 1, 12 , 11 ) 222 11 −22 +1 =22 +12 +11 =+1∑︁1 (22 − 1, 12 , 11 )11 −22 +1 .22 +12 +11 =+1Аналогично, элементы, удовлетворяющие условиям (4.1.6) – это элемен−ты, удовлетворяющие условиям (4.1.2), умноженные на 2+1. Поэтому иххарактер равен∑︁2 (22 , 12 − 1, 11 ) 2+1 11 −22 .22 +12 +11 =+1Введем ПБВ-фильтрацию на модулях Вейля − .
А именно, определим 0 = C− , +1 = + n− []. . Ассоциированное градуированноепространство является циклическим модулем над алгеброй C[0 , 1 , . . . ] ⊗⋀︀ + +(0 , 1 , . . . ). Присвоим степень 1 элементам и + . Мы тогда получаем дополнительную градуировку на gr− . Обозначим этот характер какch(gr− )(, , ).Для скрученных алгебр применим схожую процедуру. Для начала перей⋀︀дем к градуированному C[0 , 1 , .
. . ] ⊗ (0+ , 1+ , . . . )-модулю gr−. Тогдаприсвоим степерь 1 переменным и степень 0 переменным + . Используяновую градуировку, мы получим новый характер, зависящий от , , . Обозначим его как ch(gr−)(, , ).Теорема 4.3.2. Пусть ≥ 0. Тогда(2)†(2)chgr− (, 2 , 2 ) = −2 (, −1 , ∞), ch(gr−)(, , ) = −2 (, −1 , ∞).62Доказательство.
Нетрудно видеть, что множество векторов (4.1.1) образует базис модуля gr− , и множество векторов (4.1.2) образует базис модуляgr−. Поэтому мы получаем следующие формулы для градуированых характеров:(︃)︃∑︁, (−1)+2+2 −++2ch(gr− )(, 2 , 2 ) =,,−−2+≤(4.3.5)(︃ch(gr−)(, , )=∑︁2+ −++2+≤, , − − )︃.(4.3.6)2Теперь формула (4.3.5) совпадает с формулой (4.2.15), (4.2.17). Формула(4.3.6) совпадает с формулой (4.2.6), (4.2.9).4.4.
Квантовый граф Брюа для22Здесь мы вкратце опишем методы статьи [OS]. Несмотря на то, что мы непользуемся их техникой, идеи из [OS] очень близки описанным выше идеям.(2)Рассмотрим группу Вейля = ⟨0 ⟩ ⋆ ⟨1 ⟩ корневой системы 2 .Определение 4.4.1. Пусть ( ) – группа Кокстера корневой системы , – отражение в корне , – функция длины на ( ). Тогда квантовый графБрюа – это следующий ориентированный граф:· множество вершин – ( );· мы имеем стрелку Брюа из в , если ( ) = () + 1;· мы имеем квантовую стрелку из в , если ( ) = () − ⟨2, ⟩ + 1.̂︁1 . Положим = 1 и =Рассмотрим квантовый граф Брюа типа 100 . Тогда мы имеем следующий отмеченный ориентированный граф на двухвершинах:00rid r j* I11где стрелки из id в – стрелки Брюа и стрелки из в id – квантовые.Положим = .
. . +1 , где – простой корень. Запишем вследующем виде: = ′ + () , где ′ ∈ Z.63Для любой альковной прогулки (, ) пусть = {| = 0}, то естьмножество складок прогулки. Тогда мы рассмотрим следуюций путь на квантовом графе Брюа, начинающийся в элементе id:(-1 ). . .(- )Нетрудно видеть, что любая нечетная стрелка этого графа – квантовая, алюбая четная – стрелка Брюа. Стрелки Брюа соответствуют отрицательнымскладкам, а квантовые стрелки – положительным. Определим квантовые пу(2)†ти Брюа как пути без стрелок Брюа (квантовых стрелок для 2 ), отмечен(2)ных элементом 0 . В [OS] доказано, что 2 (, , 0) получается как сумманекоторых слагаемых, находящихся во взаимно-однозначном соответствии сквантовыми путями Брюа.6465 5ГлаваОбобщенные модули Вейля и их связь смногочленами МакдональдаПусть g – простая алгебра Ли и пусть (, , ) – несимметрическиемногочлены Макдональда, соответствующие g [Ch1, O, M2].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
