Диссертация (1137439), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Легко проверить, что соотншения из определения 5.2.2 вы­полняются в (1 ) * · · · * ( ) .С статье [FL2] доказано, что отображние из Леммы 5.2.11 – изомор­физм для = id для алгебр Ли типов A, D, E. В частности, dim () =∏︀=1 dim ( ).805.2.2. КГБ и модули ВейляВ следующей Лемме мы приведем критерий существования ребер в кван­товом графе Брюа.

В части ) под коротким корнем мы понимаем корень,для которого есть корень данной системы с большей длиной. В частности, уалгебр с простыми связями коротких корней нет.Лемма 5.2.12. Для ∈ , ∈ Δ+ два следующих утверждения эквива­лентны:) существует ребро в квантовом графе Брюа −→ ;) не существует элементов , ∈ Δ+ , таких что , ̸= , + = 2 ⟨,⟩̂︀+ ()̂︀= 2 ⟨,⟩̂︀ ; если ∈ Δ− , то дополнительно ⟨,⟩ , ()⟨,⟩ ()не является коротким непростым корнем, лежащем в подалгебре ранга 2,образоавнной корнями Δ+ .Доказательство.

Предположим, что () ∈ Δ+ , тогда () ∈ Δ− . От­метим, что > в порядке Брюа и () равен |{ ∈ Δ+ |() ∈ Δ− }|.Рассмотрим множество Δ+ ∩ Δ+ . Очевидным образом количества элемен­тов этого множества, отправляемых в Δ− с помощью и , равны. Рас­смотрим теперь множество Δ+ ∩ Δ− .

Если ∈ Δ+ , () ∈ Δ− , то⟨, ⟩ > 0. Если () ∈ Δ− то () = () − 2 ⟨,⟩⟨,⟩ () ∈ Δ− . Поэтому( ) ≥ () + 1. Предположим, что ( ) ≥ () + 1. Тогда существуеттакое () ∈ Δ+ , () ∈ Δ− , () ∈ Δ− . Значит, существует , ∈ Δ+⟨,⟩̂︀+ ()̂︀= 2 ⟨,⟩̂︀ . Обратное утверждениетакое что + = 2 ⟨,⟩ , ()⟨,⟩ ()может быть доказано тем же способом.Предположим, что () ∈ Δ− . Тогда < в порядке Брюа. Рассмот­рим множество Δ + ∩ Δ+ .

Аналогично предыдущему случаю, количестваэлементов этого множества, посылаемых в Δ− с помощью и , равны.Заметим, что |Δ− ∩ Δ+ | ≤ ⟨2∨ , ⟩ − 1. Если неравенство не строгое, то несуществует квантовых ребер с отметкой . Строгое неравенство имеем в томи только том случае, когда – короткий непростой корень подалгебры ранга2. Т. е. строгое неравенство выполняется в частности для длинных кокорней,которые не являются линейными комбинациями простых длинных кокорней.Поэтому ребро существует тогда и только тогда, когда (Δ+ ∩ Δ− ) ⊂ Δ− , (Δ+ ∩ Δ− ) ⊂ Δ+ . Нетрудно видеть, что два этих условия эквивалент­ны. Предположим, что не существует элемента ∈ Δ+ ∩ Δ− , такого что() ∈ Δ+ . Тогда условия ) выполняются для и = − ().81Определение 5.2.13. Пусть ¯ = (1 , .

. . , ) – последовательность аффинныхкорней. Рассмотрим вес (), где ∈ , ∈ + . Тогда обобщенный мо­¯ ), = 0, . . . , – это циклическийдуль Вейля с характеристиками () (,n -модуль с образующим и следующими соотношениями: h⊗ = 0, > 0и( ⊗ ) = 0, ∈ (Δ+ ); (− ⊗ 1) = 0, − ∈ (Δ+ );(̂︀ − ), +1 = 0,где , = ⟨∨ , ⟩ − |{ |Re = −, ≤ }|.¯ 0) ≃ () . Теперь предположим,Замечание 5.2.14.

Если = 0, то () (,что = и последовательность корней ¯ получается из приведенного разло­жения − . Тогда в соответствии с Предложением 5.1.13, часть ), мы имеемизоморфизм¯ ) ≃ (− ) .() (,Пример 5.2.15. Пусть g = sl3 и пусть 1 = −1 + , 2 = −1 − 2 + (т. е.¯ получается из приведенного разложения −1 , 1 = 1 (−1 ), 2 = 2 (−1 )).Предположим, что = 1 1 + 2 2 и 1 > 0. Тогда у нас есть мо­¯ 0), () (,¯ 1) и () (,¯ 2). Модуль () (,¯ 0) изоморфендули () (,обобщенному модуль Вейля () . Определяющие соотношения для моду­¯ 1) отличаются от определяющих соотношений для модуля ()ля () (,только на∨(̂︀ −1 )⟨1 ,⟩ = 0(без плюс единицы в показателе). Определяющие соотношения модуля¯ 2) отличаются от определяющих соотношений модуля () двумя() (,соотношениями:∨(̂︀ −1 )⟨1 ,⟩ = 0,(̂︀ −1 −2 )⟨(1 +2 )∨,⟩ = 0.¯ 2) изоморфен (− ) .Следовательно, () (,1Для (полу)простой алгебры Ли обозначим через n () алгебру Ли̂︀ (в случае отсутствия возможности пу­n , соответствующую , n () ⊂ таницы, мы опускаем и пишем просто n ).82Замечание 5.2.16.

Все определения выше даны для простой g. Однако всеработает и в полупростом случае. Нам это обобщение нужно только в Лемме5.2.17 для типа 1 ⊕ 1 .Лемма 5.2.17. Пусть 1 , 2 ∈ Δ+ – два корня из корневой системы g.Пусть 2 – полупростая алгебра Ли с корневой системой, порожденной¯ ) определим n (2 )-подмодулькорнями 1 , 2 . Для n (g)-модуля () (,¯ ), где – циклический вектор и удовлетво­2 = U(n (2 )) ⊂ () (,ряет (Re+1 ) ∈ Z⟨1 , 2 ⟩.

Тогда 2 – фактор некоторого 2 -модуля вида̃︀ ̃︀ , где ̃︀, ̃︀, (̃︀, ̃︀ – параметры для 2 . В дополнение, Re+1 =̃︀ (, )̃︀ )Rẽ︀ ̃︀+1̃︀ .Доказательство. Без потери общности предположим, что 1 , 2 – базисZ⟨1 , 2 ⟩ ∩ Δ. Если 2 ≃ 1 ⊕ 1 , то утверждение очевидно. Если 2 ≃ 2 ,то 2 = g и тогда доказывать нечего.Рассмотрим корневую систему −1 Z⟨1 , 2 ⟩ ∩ Δ. Пусть 1 , 2 – базисэтой системы, такой что 1 , 2 ∈ Δ+ и 1 , 2 – простые корни системы −1 Z⟨1 , 2 ⟩ ∩ Δ.

Пусть ̃︀ – единственный элемент группы Вейля корневой̃︀ – доминант­системы Z⟨1 , 2 ⟩ ∩ Δ, такой что ̃︀−1 ∈ Δ+ , = 1, 2. Пусть ̃︀ . Если = 0, то имеемный вес алгебры Ли 2 , такой что ⟨∨ , ⟩ = ⟨∨ , ⟩¯ ):следуюцие соотношения в () (,(̂︀1 1 +2 2 )⟨(1 1 +2 2 )∨,⟩+1 = 0.Перепишем эти соотношения в терминах 2 :̂︀(˜ 1 1 +2 2 )⟨(1 1 +2 2 )∨˜,⟩+1 = 0.Таким образом 2 – фактор (̃︀ .̃︀ )Рассмотрим теперь случай общего . Существуют три возможных слу­чая: или −Re∨ +1 равен одному из простых кокорней алгебры Ли ранга 2∨(т. е.

∨ ), или сумме 1∨ + 2∨ , или −Re+1= 1∨ + 22∨ .∨Пусть Re+1= −∨ . Тогда применяя следствие 5.1.14, ), ) мы по­лучаем для корня :если ∨ = 1∨ + 2∨ , то , = 1 , + 2 , ,если ∨ = 1∨ + 22∨ то , = 1 , + 22 , .83Поэтому 2 – фактор (̃︀ 1 , 1 +2 , 2 ) .∨= 1∨ + 2∨ . Тогда в силу СледствияТеперь предположим, что −Re+15.1.14, ), получаем, что−Re+1 = 1 , + 2 , + 1.Тогда мы получаем для 2 ≃ 2 сюръекцию¯1((̃︀ 1 , +1)1 +2 , 2 ) ( , 1) 2 .Это завершает доказательство для 2 ≃ 2 .Нам остается только случай 2 ≃ 2 , который получается непосред­ственно из Следствия 5.1.14, ).5.2.3. Процедура разборкиЗафиксируем = 1, . .

. , , такое что ⟨, ∨ ⟩ > 0 (т. е. является слага­емым ). В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда последовательностькорней ¯ = (1 , . . . , ) появляется из разложения − , т. е. = (− ).Мы будем придерживаться следующей стратегии. Для начала рассмотримследующую последовательность сюръекций обобщенных модулей Вейля с ха­рактеристиками:() = () (¯ , 0) → () (¯ , 1) → · · · → () (¯ , ) = (− ) .Для того, чтобы проконтролировать структуру () , нам нужно описатьядроker(() (¯ , ) → () (¯ , + 1)).(5.2.8)Ядро может быть тривиальным или нетривиальным. Оно тривиально тогдаи только тогда, когда нет стрелки → Re+1 в квантовом графе Брюа.

По­этому для начала возьмем корень , такой что есть ребро → Re +11 +11в КГБ, и перейдем к ядру (5.2.8). Отметим, что мы можем не выбрать ни­чего на первом шагу (это соответствует случаю 1 = 0). Следующим шагомопишем ядро () (¯ , 1 ) → () (¯ , 1 + 1). Мы отождествим это ядро собобщенным модулем Вейля с характеристиками вида 1 () (¯ , 1 + 1) для1 = Re +1 ∈ . Имеем последовательность сюръекций11 () (¯ , 1 + 1) → 1 () (¯ , 1 + 2) → · · · → 1 () (¯ , ) = 1 (− ) .84Далее, ядро ker(1 () (¯ , 2 ) → 1 () (¯ , 2 + 1)) нетривиально, если нетстрелки 1 → 1 Re +1 в КГБ. На следующем шагу выберем корень 2 +1 ,22 > 1 так, что существует путь → Re1 +1→ Re1 +1Re2 +1в КГБ.

Каждый такой путь задает обобщенный модуль Вейля с характери­стиками. Мы продолжаем, сделав всего шагов (отметим, что на каждомшагу мы можем пропустить выбор корня ). После -го шага мы получа­ем процедуру разборки, представляющую изначальный модуль () в видемножества подфакторов. Мы имеем следующие важные свойства:∙ Все подфакторы имеют вид (− ) для некоторого ∈ .∙ Подфакторы соответствуют путям в КГБ длины не более вида → Re1 +1→ Re1 +1Re2 +1→ · · · → Re1 +1. . . Re +1для некоторого 0 ≤ 1 < · · · < < , < .Мы покажем, что общая картина дает нам теоретико-представленческий ана­лог Теоремы 5.1.16.В следующей Теореме мы опишем свойства модулей () (, ) в терми­нах квантового графа Брюа. Напомним:, = ⟨∨ , ⟩ − |{ | − Re = , ≤ }|.Теорема 5.2.18. Пусть ¯ = (1 , . .

. , ) – последоваетльность для неко­торого приведенного разложения элемента − . Тогда мы имеем:Re+1) Предположим, что нет ребра −→ Re+1 , тогда() (¯ , ) ≃ () (¯ , + 1).Re+1) Предположим, что есть ребро −→ Re+1 . Тогда мы имеемследующую точную последовательность0 → U(n )̂︀(Re+1 ), → () (¯ , ) → () (¯ , + 1) → 0.Re+1) Предположим, что есть ребро −→ Re+1 .

Тогда имеетсясюръекцияRe+1 () (¯ , + 1) U(n )̂︀(Re+1 )Re+1 , .85) Существует точная последовательность∑︁0→U(n )̂︀(Re+ )Re+ ,+ → () (¯ , ) → (− ) → 0Re+ −→ Re+(5.2.9)Re+(сумма берется по всем ≥ 1, таким что ребро −→ Re+ существу­ет в квантовом графе Брюа).Re+1Доказательство. Докажем ).

Предположим, что нет ребра −→ Re+1 .В соответствии с Леммой 5.2.12 мы имеем алгебру ранга 2 2 , такую что(Re+1 ) – корень для 2 . Тогда мы или имеем , ∈ Δ+ , , ̸= , удовле­творяющие⟨, Re+1 ⟩Re+1 ,⟨Re+1 , Re+1 ⟩⟨, Re+1 ⟩(̂︀ ) + ()̂︀=(Rê︀+1 ),⟨Re+1 , Re+1 ⟩ + =или Re+1 – непростой короткий корень некоторой подалгебры ранга 2 и(Re+1 ) ∈ Δ− . Теперь утверждение следует из Леммы 5.2.17 и вычисленийв ранге 2 из раздела 5.3.Re+1Теперь предположим, что есть ребро −→ Re+1 .

Часть ) следу­ет прямо из Определения 5.2.13. Докажемe ). Мы должны показать, чтовыполняются следующие соотношения:Re,+1+1,+1 (̂︀ Re+1 )\Re+1 (− ) = 0, ∈ Δ+ .(5.2.10)Рассмотрим алгебру Ли с корневой системой, натянутой на корни и Re+1 .Наше утверждение следует теперь из Леммы 5.2.17 и прямых вычислений израздела 5.3.Часть ) является немедленным следствием Определения 5.2.13 и Лем­мы 5.1.13, ).Следствие 5.2.19.ch(+ ) ≤(end())∑︁ deg(qwt()) ch(end())() ,∈ℬ(,,¯, )ch() ≤ ,где неравенство означает покоэффициентные неравенства.86Доказательство. Применяя Теорему 5.2.18, мы получаем, что (+ ) мо­жет быть разобран на подфакторы, изоморфные факторам (end())() , ∈ ℬ(, , ¯, ). Поэтому нам нужно только доказать, что циклическиевекторы этих модулей имеют требуемый вес. Отметим, что для циклическо­го вектора ∈ () (¯ , ), 1 = (̂︀+1 )Re+1 , мы имеем:⎧⎨()+Re+1 , (Re+1 ) deg , Re+1 ∈ Δ− ;(1 ) deg1=⎩()+Re+1 , (Re+1 ) deg+Re+1 , , Re+1 ∈ Δ+ .Теперь покажем, что Re+1 , = deg +1 .

Первым делом предположим, что = 0. Тогда Re ,0 = −⟨Re , ⟩. Теперь если – первый корень в ¯ с фик­сированной действительной частью, то Предложение 5.1.13, ) и Лемма 5.1.11дают нам нужные равенства. Предположим теперь, что > 0. Пусть –последовательность ¯ , таких что Re = Re . Тогда deg +1 = deg − 1,+1 ,+1 −1 = , −1 − 1. Тогда -компонента веса циклического элементаподмодуля равна deg(qwt()).Теперь нужно сравнить конечные части весов, приходящих из комбина­торики и теории представлений. Пусть = dir(end()).

Характеристики

Список файлов диссертации