Диссертация (1137439), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. 1 + + , −1 + + , . . . , + +1 + , . . . 1 + +1 + ,−1 + + , . . . , 1 + + , . . . 1 + 2 + .101Мы должны доказать, что нет квантовых ребер в путях типа ¯ в КГБ. Отметим, что квантовых ребер с отметками + , ̸= не бывает. ПрименяяПредложение 5.1.3, мы получаем, что нет квантовых ребер в любом путитипа ¯ с отметкой − , начинающемся в единичном элементе. Наконец,предположим, что наш путь приходит в и следующее ребро в пути отмечено 2 для некоторого . Тогда () = для некоторого (без черты над ). Поэтому нет квантовых ребер, отмеченых 2 в рассмартиваемом пути.Поэтому специализации фундаментальных антидоминантных несимметрических многочленов Макдональда − (, , 0) в типе не зависят от .
Этимдоказательство для типа завершается.Рассмотрим теперь тип . Простые корни записываются в виде = − +1 , = 1, . . . , − 1, = . Группы Вейля для типов и изоморфны и содержат подгруппу . Для начала рсссмоотрим несимметрические многочлены Макдональда, соответствующие доминантным весам (, , 0). Предположим, что ̸= . Для четного мы имеем: = ([(1, − 1)(2, )]0 [(1, − 1)(2, )]) .
. . ([(1, 3)(2, 4)]0 [(1, 3)(2, 4)])(0 )(0),где [(1, − 1)(2, )] означает приведенное разложение произведения транспозиций (1, − 1) и (2, ). Например, [(1, 3)(2, 4)] = 2 3 1 2 . Рассмотрим соответствующее произведение сплетающих операторов специализированных в = 0. Обозначим это произведение сплетающих операторов как Ψ .
Пусть Ψ– сплетающий оператор, соответствующий простому отражению . В част∑︀ности, Ψ0 (1) = + (1 + 2 ). В общем случае, Ψ (1) ∈ span( , ≤ ), ∈ {0, 1}, ∈ N. Докажем, что единственные доминантные веса в Ψ (1) –это , −2 , . . . /2 . Отметим, что если – вес , ̸= , то Ψ , > 0 несодержит . Предположим теперь, что утверждение верно для = 0 .
Тогда,применяя Ψ[(1,0 +1)(2,0 +2) , мы получаем, в частности, моном 3 +···+0 +2 . Применяя Ψ0 к этому моному, мы получаем 3 +···+0 +2 + 1 +···+0 +2 и это единственная возможность получить моном 1 +···+0 +2 . Все мономы вида 0 −2 умножены на и этим завершается шаг индукции.Теперь пусть 0 ∈ – самый длинный элемент группы Вейля. Тогда∑︀∑︀для < +1 мы имеем Ψ0 ( =1 ) = 0, если ̸= и вес =1 не доминантный. Действительно, для любого ′ > 0 рассмотрим приведенное разложение 0 вида 0′ ′ . Теперь пусть ′ = для некоторого , такого что 1 <∑︀ − 1.
Тогда Ψ ′ −1 =1 = 0. Поэтому 0 () = Ψ0 ( + −2 + · · · + /2 ).102Но для любого доминантного веса из весовой решетки для конечномернойалгебры ЛиΨ0 = ch .В итоге для четного :− (, , 0) =/2∑︁ ch−2 ,=0т. е. этот многочлен равен характеру соответствующего модуля Вейля. Случай нечетного может быть рассмотрен аналогичным образом.Если = , то этот вес – минискульный. Поэтому 0 ( ) не зависит от и равняется характеру соответствующего конечномерного модуля (см.
[H]).Этим доказательство теоремы для типа завершено.Теперь, пусть g – типа 4 . Применим ту же самую стратегию, что и втипе : для начала вычислим и далее перейдем к − применяя сплетающий оператор, соответствующий самомо длинному элементу из конечнойгруппы Вейля. Вычисления, являются длинными, но прямыми. Также можноприменить SAGE [Sage] для проверки результата.Публикации по теме диссертации[1][2]E.Feigin, I.Makedonskyi, Nonsymmetric Macdonald polynomials, Demazure modulesand PBW filtration, Journal of Combinatorial Theory, Series A (2015), pp. 60–84.Е. А.
Македонский, О диких и ручных конечномерных алгебрах Ли, Функциональный анализ и его приложения, том 47, выпуск 4 (2013), с. 30-44.Список литературы[A] G.Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, 1998[BFP] F. Brenti, S. Fomin, A. Postnikov, Mixed Bruhat operators and Yang-Baxterequations for Weyl groups, Internat. Math. Res. Notices 1999, no. 8, 419–441.[C] V.Chari, On the fermionic formula and the Kirillov-Reshetikhin conjecture, Internat.Math. Res. Notices 2001, no.
12, 629–654.[Ch] I. Cherednik, DAHA-Jones polynomials of torus knots, arxiv.org/abs/1406.3959[Ch1] I. Cherednik, Nonsymmetric Macdonald polynomials, IMRN 10 (1995), 483–515.[Ch2] I. Cherednik, Double affine Hecke algebras, London Mathematical Society Lecture NoteSeries, 319, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.[CF] I. Cherednik, E. Feigin, Extremal part of the PBW-filtration and E-polynomials,arXiv:1306.3146.103[CLS] L.Calixto,J.Lemay,A.Savage,Weyl modules for Lie superalgebras,http://arxiv.org/abs/1505.06949[CO1] I. Cherednik, D. Orr, Nonsymmetric difference Whittaker functions, PreprintarXiv:1302.4094v3 [math.QA] (2013).[CO2], One-dimensional nil-DAHA and Whittaker functions, Transformation Groups18:1 (2013), 23–59; arXiv:1104.3918..[CL] V.
Chari, S. Loktev, Weyl, Demazure and fusion modules for the current algebra ofsl+1 , Adv. Math. 207 (2006), 928–960.[CFS] V. Chari, G.Fourier, P.Senesi, Weyl modules for the twisted loop algebras, J. Algebra,319(12), pp. 5016–5038, 2008.[CP] V. Chari, A. Pressley, Weyl modules for classical and quantum affine algebras,Represent. Theory, 5, pp. 191–223 (electronic), 2001.[D] Дрозд Ю. А. Ручные и дикие матричные задачи. Акад.
наук Украины, инст. мат.,Киев, 1977, 104-114.[D1] Дрозд Ю. А. Представления коммутативных алгебр. Функц. Анализ и его приложения 6, вып 4 (1973), 41-43.[D2] On Cohen–Macaulay Modules on Surfase Singularities Yuriy A. Drozd, Gert-MartinGreuel, and Irina Kashuba Moscow Mathematical Journal, Vol. 3, Nо 2, (2003),397–418.18:3 (2012),[F] E. Feigin, G degeneration of flag varieties, Selecta Mathematica,513–537.[FoLi1] G.Fourier, P.Littelmann, Tensor product structure of affine Demazure modules andlimit constructions, Nagoya Math. Journal 182 (2006), 171–198.[FoLi2], Weyl modules, Demazure modules, KR-modules, crystals, fusion productsand limit constructions, Advances in Mathematics 211 (2007), no. 2, 566–593..[FeLo1] B.Feigin, S.
Loktev, On generalized Kostka polynomials and the quantum Verlinderule, Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 61–79,Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.[FeLo2] B.Feigin, S. Loktev, Multi-dimensional Weyl modules and symmetric functions,Comm.
Math. Phys., 251(3), pp. 427–445, 2004.[FFL1] E. Feigin, and G. Fourier, and P. Littelmann, PBW-filtration and bases for irreduciblemodules in type , Transformation Groups 16:1 (2011), 71–89.[FFL2], PBW filtration and bases for symplectic Lie algebras, IMRN 24 (2011),5760–5784.., PBW-filtration over Z and compatible bases for Z () in type and ,[FFL3]Symmetries, Integrable Systems and Representations, 40, Springer, 2013, 35–63..[FL1] G.Fourier, P.Littelmann, Tensor product structure of affine Demazure modules andlimit constructions, Nagoya Math. Journal 182 (2006), 171–198.[FL2], Weyl modules, Demazure modules, KR-modules, crystals, fusion products andlimit constructions, Advances in Mathematics 211 (2007), no. 2, 566–593..[Fu] W.Fulton, Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry.Cambridge University Press, 1997.[Gel] Гельфанд И.
М, Пономарев В. А. Замечания о классификации пары коммутирующих линейных преобразований в конечномерном пространстве. Функц. Анализ иего приложения 3, вып 4 (1969), 81-82.[GG] Гото, Гроссханс. Полупростые алгебры Ли. Мир, 1981.[Gab] Gabriel P, Roiter A. V. Representations of finite dimensionak algebras. Encuclopaedia of Math. Sci. (Algebra 8). - 73. - Springer-Verlag, Berlin, 1992, 177p.104[GL] S. Gaussent and P. Littelmann, LS galleries, the path model, and MV cycles, DukeMath.J.
127 (2005), no. 1, 35–88.[H] M.Haiman, Cherednik algebras, Macdonald polynomials and combinatorics, Proceedingsof the International Congress of Mathematicians, Madrid 2006, Vol. III, 843–872.[Han] Yang Han, Wild Two-Point Algebras, Journal of Algebra 247, p. 57-77 (2002)[HHL] M. Haiman, and J. Haglund, and N. Loehr, A combinatorial formula for nonsymmetric Macdonald polynomials, Amer.
J. Math. 130:2 (2008), 359–383.[HKOTY] G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi, Y. Yamada, Remarks onfermionic formula, Recent developments in quantum affine algebras and related topics(Raleigh, NC, 1998), 243–291, Contemp. Math., 248, Amer. Math. Soc., Providence,RI, 1999. http://arxiv.org/pdf/math/9812022v3.pdf[I]B. Ion, Nonsymmetric Macdonald polynomials and Demazure characters, DukeMathematical Journal 116:2 (2003), 299–318.[J]A. Joseph, On the Demazure character formula, Annales Scientifique de l’.E.N.S., 1985,389–419.[Kn] F.Knop, Integrality of two variable Kostka functions, Journal fuer die reine undangewandte Mathematik 482 (1997) 177–189.[Kum] S.Kumar, Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory, Progressin Mathematics, 204.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.[KS] F.Knop, S.Sahi, A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials, Invent.Math. 128 (1997), no. 1, 9–22.[LL] C. Lenart, A. Lubovsky, A uniform realization of the combinatorial R-matrix,http://arxiv.org/abs/1503.01765.[L] C. Lenart, From Macdonald polynomials to a charge statistic beyond type A, Journalof Combinatorial Theory, Series A, vol.
119 (3),2012, pp. 683–712.[LSh] C. Lenart and A. Schilling, Crystal energy functions via the charge in types A and C,Math.Z.273 (2013), no. 1-2, 401–426.[LNSSS1] C. Lenart, S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, and M. Shimozono, A uniform modelfor KirillovReshetikhin crystals I: Lifting the parabolic quantum Bruhat graph, Int.Math. Res. Not. 2015 (2015), 1848–1901.[LNSSS2] C. Lenart, S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
