Диссертация (1137439), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. . + ⟨ , ⟩), начинающиесяв − (см. Замечание 5.1.5).Теорема 5.1.16. Пусть ∈ −+ . Тогда для ∈ верно следующее:−∑︁= deg(qwt()) ().−∈ℬ(,,¯, )Далее, если ∈ , то−=∑︁ deg(qwt()) (())(())− .∈ℬ(,,¯, )Доказательство. Напомним определение :∑︁(( )) deg(qwt( )) . = ∈ℬ(,)75Альковный путь ∈ ℬ(, ) определен последовательностью аффин­ных корней 1 , . . . , , +1 , .

. . , + (для некоторого неотрицательного цело­го ) и бинарным словом {1 , . . . , + }. Теперь для данного альковного пути ∈ ℬ(, ) разделим его на две части: первая его часть определяетсяданными1 , . . . , и {1 , . . . , },вторая часть ′ определяется оставшейся частью данных для . То­гда принадлежит ℬ(, , ¯, ) (см. Лемму 5.1.11) и ′ принадлежитℬ(()− , ). Далее, вносок равен в точности deg(qwt()) , и часть, со­ответствующая ′ суммируется в ().

Вторая часть Теоремы следует из−Леммы 5.1.8.5.2. Обобщенные модули Вейля5.2.1. Определения и основные свойстваПусть g = n− ⊕h⊕n+ – картановское разложение g. Для положительногокорня пусть ∈ n+ и − ∈ n− – образующие Шевалле. Весовая решетка содержит положительную часть + ; в частности, фундаментальные веса1 , . . . , принадлежат + .

Для ∈ + обозначим через неприводимыйg-модуль со старшим весом .Пусть ̂︀g = g ⊗ K[, −1 ] ⊕ K ⊕ K – соответствующая аффинная алгебраКаца-Муди, где – центральный элемент и – элемент степени. Напомнимобозначение базисного мнимого корня ∈ (h )* . Алгебра Ли ̂︀g имеет кар­тановское разложение ̂︀g = n⊕ n= h ⊗ 1 ⊕ K ⊕ K+ ⊕ h− .

Здесь hиn = n− ⊗ 1 ⊕ g ⊗ K[].Для ∈ n− мы иногда обозначаем элемент ⊗ 1 ∈ n просто как .Замечание 5.2.1. Определение n отличается от стандартного определенияположительной части аффинной алгебры Каца-Муди. А именно, положитель­ная часть обычно определяется как линейная оболочка векторов ̂︀g, соответ­ствующих положительным аффинным корням. Однако наше определение nсодержит все векторы вида ⊗ 1 (но не ⊗ 1).

Мы меняем обозначения,потому что мы хотим определить циклическое представление алгебры n(обозначанное весом алгебры g), обобщающее классические модули Вейля.76В частности, для доминантного веса изоморфен классическому модулюВейля (). Однако, циклический вектор () убивается n+ , но не n− . Этоизменение стандартных обозначений не является слишком болезненным, таккак элементы и переставляются инволюцией Шевалле.Определение 5.2.2. Для ∈ положим = (), ∈ , ∈ + . Тогда(обобщенный) модуль Вейля – это циклический n -модуль с образующим и следующими соотношениями:ℎ ⊗ = 0 для всех ℎ ∈ h, > 0;(5.2.1)( ⊗ ) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ+ ;(5.2.2)( ⊗ 1) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ− ;(5.2.3)(() ⊗ )−⟨(() ⊗ 1)−⟨∨∨ = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ+ ;(5.2.4) = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ− .(5.2.5),⟩+1,⟩+1В дальнейшем мы будем применять следующее обозначение. Для эле­мента ∈ и ∈ Δ+ положим(̂︀ ⊗ ) =⎧⎨()⊗ , () ∈ Δ+⎩() ⊗ 1, () ∈ Δ−⎧⎨(−) ⊗ , (−) ∈ Δ+(̂︀ − ⊗ 1) =⎩(−) ⊗ 1, (−) ∈ Δ−,.Определим действие ̂︀ следующим образом:⎧⎨( + ), () ∈ Δ+(̂︀ + ) =,⎩(), () ∈ Δ−⎧⎨(−), (−) ∈ Δ−(−)̂︀=.⎩(−) + , (−) ∈ Δ+В следующей Лемме мы докажем, что обобщенные модули Вейля опреде­лены корректно, то есть не зависит от выбора и (таких что () = ).Лемма 5.2.3.

Модули определены корректно.Доказательство. Для начала отметим, что так как 1 , 2 ∈ + , равенство1 (1 ) = 2 (2 ) влечет за собой 1 = 2 . Поэтому зафиксируем ∈ + , ∈ 77и ∈ stab() ⊂ . Наша цель – показать, что множество соотношений(5.2.2), (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) совпадает для пар , и ,. Отметим, чтодля любого ∈ Δ: ⟨(−1 )∨ , ⟩ = ⟨ ∨ , ⟩ = ⟨ ∨ , ⟩. Предположим, что длянекоторого ∈ Δ+ () ∈ Δ− . Тогда мы имеем:0 ≤ ⟨ ∨ , ⟩ = ⟨()∨ , ⟩ ≤ 0.Поэтому ⟨ ∨ , ⟩ = 0 и ^ ( ) = ^ ( ) = 0 для обоих модулей.Теперь предположим, что ∈ Δ− , () ∈ Δ− . Тогда мы имеем соотно­шения в :−⟨(−1 )∨ ,⟩+1̂︁ −1 = 0.Тогда, применяя соотношение ̂︁ −1 = ̂︀ , мы получаем все требуемыесоотношения.Замечание 5.2.4.

Алгебра n не содержит конечную подалгебру Картана h.Однако иногда оказывается удобным иметь дополнительные операторы h,действующие на (см. определение ниже). Причина, по которой мы не хо­тим расширить n до всей аффинной борелевской подалгебры, заключаетсяв том, что структура и свойства модулей не зависит от веса, определяю­щего действие h на циклическом векторе.Определение 5.2.5. Для ∈ определим как n ⊕ h-модуль, опреде­ленный соотношениями (5.2.1)– (5.2.5) и дополнительными соотношениямиℎ = (ℎ) для всех ℎ ∈ h. Если = , мы опускаем верхний индекс и пишем для .Отметим, что все модули с фиксированным изоморфны после огра­ничения на n .

Модули естественным образом градуированы подалгеб­рой Картана h. Они также допускают дополнительную градуировку степе­нью, определенную двумя следующими условиями: deg() = 0 и операторы ⊗ увеличивают степень на . Определим характер формулой:ch =∑︁dim [, ] ,где [, ] состоит из вектров степени и g-веса . В частности, мы пишемch для характера .Замечание 5.2.6. Характер ch – полином Лорана от и . Подставляя = 1, = 1, получаем ch (1, 1) = dim .78Замечание 5.2.7. Обобщенные модули Вейля в общем случае не изоморфнымодулям Демазюра (Отметим,что оба этих представления определены надалгеброй n ). Именно, определяющие соотношения модулей Демазюра [J,FL2, N] имеют вид ( ⊗ ) = 0, ≥ 0 и ( ⊗ ) = 0, > 0 для достаточно большого.

Отметим, что условия даны для любых возможных. Однако для обобщенных модулей Вейля множество соотношений намногоменьше: требуем только для ⊗ 1 и ⊗ обнуления в достаточно большойстепени. Например, если g = sl3 и ∈ −+ , то не изоморфен модулюДемазюра.Классическое определение модулей Вейля (), ∈ + слегка отлича­ется от определения .

А именно, () – циклический g ⊗ K[]-модуль собразующим , удовлетворяющим следующим соотношениям:ℎ ⊗ = 0, ≥ 1; ℎ ⊗ 1 = (ℎ) для всех ℎ ∈ h; ⊗ = 0, ≥ 0; (− ⊗ 1)⟨∨,⟩+1 = 0, для любого ∈ Δ+ .(5.2.6)(5.2.7)Лемма 5.2.8. Для любого доминантного веса ограничение () на nизоморфно .Доказательство. Рассмотрим модуль (т. е. определим действие h на соотношением ℎ⊗1 = (ℎ) ). Отметим, что неприводимый g-модуль , рас­∨смотренный как n− -модуль, определяется соотношениями ( ⊗1)−⟨ ,⟩+1 =0 (это следует из БГГ-резольвенты для ).

Следовательно, подпространствоU(n− ) ⊂ изоморфно и можно расширить структуру n ⊕ h-модуляна до структуры g ⊗ K[]-модуля, положив ⊗ = 0. Отметим, чторасширенный модуль определяется соотношениями (5.2.6),(5.2.7), и поэтомуизоморфен ().Нам нужно еще одно определение модуля, зависящего от произвольногоэлемента весовой решетки. Пусть – g⊗K[]-модуль. Тогда для произвольнойконстанты ∈ K он имеет следующую естественную структуру n -модуля:для ∈ g, ∈ ( ⊗ ) = ⊗ ( − ) .Обозначим этот модуль .∑︀Пусть = (), где ∈ , ∈ + и пусть = =1 , 1 ≤ ≤ – произвольные (возможно, совпадающие) числа.

Рассмотрим вектор ¯ =79(1 , . . . , ) ∈ K , где ̸= , если ̸= . Пусть ( ), = 1, . . . , –модули Вейля (g ⊗ K[]-модули), соответствующие фундаментальным весам,с циклическим вектором старшего веса ∈ ( ). Существует структура⨂︀циклического n -модуля на тензорном произведении =1 ( ) с цикли­ческим вектором (1 ⊗ · · · ⊗ ), получаемая конструкцией фьюжен-про­изведения (см.

[FeLo1],[FL2]). Именно, пусть U(n ) – градуировка универ­сальной обертывающей алгебры, такая что ⊗ ∈ U(n ) , ∈ g. Тогда мы⨂︀можем индуцировать фильтрацию на =1 ( ) с помощью формулы = U(n ) (1 ⊗ · · · ⊗ ).Определение 5.2.9. n -модуль (1 ) *· · ·* ( ) – это ассоциированный⨁︀градуированный модуль≥0 /−1 .Пример 5.2.10. Предыдущее определение работает для произвольного g ⊗K[]-модуля, не обязательно для фундаментальных модулей Вейля.

Напри­мер, возьмем неприводимый g-модуль со старшим весом с вектором стар­шего веса и сделаем из g ⊗ K[]-модуль, говоря, что ⊗ действуеттривиально, кроме случая = 0. Очевидно, операторы и − порожда­ют все пространство из вектора ( ). Теперь присвоим степень 1 всемоператорам и степень нуль всем операторам − . Тогда мы получим воз­растающую фильтрацию на , где – степень монома, примененного к( ). Ассоциированное градуированное пространство – это модуль над n ,построенный с помощью процедуры из Определения 5.2.9 для = 1.Лемма 5.2.11. Пусть =∑︀=1 .Тогда существует сюръективный го­моморфизм n -модулей() (1 ) * · · · * ( ) .В частности, dim () ≥∏︀=1 dim ( ).Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации