Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Наиболее простыми видами деформаций считают однородные деформации, при которых компоненты е„тензора деформации постоянны для любой точки твердого тела. Тензор в, как и любой симметричный тензор, можно привести к диагональному виду с действительными значениями его элементов в ортогональной системе координат, построенной на его собственных векторах. В такой системе координат присутствуют только деформации растяжения и сжатия по осям. Тогда любую однородную деформацию можно путем выбора осей координат свести к деформациям растяжения и сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Так, если на рис. 1.28, а оси координат повернуть на 45', то деформации, описываемые соотношениями (1.43), сводятся к растяжению вдоль оси Ох~ и сжатию вдоль оси Охз. Закон Гука. В простом случае однородной деформации растяжения или сжатия цилиндрического образца вдоль его оси связь между механическим напряжением о = о33 и относительным изменением его размера е = е33 вдоль направления действия силы описывается известным из курса механики законом Гука. При определении компоненты с333 (см. (1.35)) закон Гука примет вид Тензор я 4-го ранга называют тензором постоянных упругой подоя«ливости.
Можно вычислить и обратный ему трнзор модулей з,пругости с. Он связывает величины аа, о„и более удобен для анализа упругих свойств твердого тела: з з и,— =,р, ) с,паз«, !',7'=1,2,3. (1.48) /с=! 1=! Тензор с содержит 3 = 81 компоненту. Можно доказать, что в силу требования симметрии тензоров а и и у с остается 36 независимых компонент, а при учете симметрии кристалла — еще меньше.
Так, для триклинной, наименее симметричной, кристаллической решетки остается 21 независимая компонента тензора с, а для кубической — 3 компоненты. Доказательство этих утверждений можно найти в литературе по теории упругости. Соотношения (1.47) и (1.48), связывающие симметричные тензоры а и о, в матричной форме принимают вид: б о =') с с, р=1,2,3,4,5,6. (1.49) В такой записи тензоры а и о можно заменить шестимерными векторами: ар =(а«!'ег2'сзз,'2агз',2е«3',2а«2), «зр (о«! «322 «333 ««23 «««3 о«2)' (1.50) Компоненты тензора с заменяют матрицей с, размер которой равен шести, при этом вместо пары индексов «17» или «И» получают один: р или «7, т.е.
11~~1, 22~~2, 33~~3, 12~~6, 23~~4, 13~~5, 21 р2 6, 32 ~ ~4, 31 ~~ 5. (1.51) 77 Можно доказать, что матрица с симметричная. В качестве примера запишем матрицу с для кристалла с кубической кристаллической решеткой (с учетом равенства некоторых ее компонентов др другу): о о о о о о С)) С)2 С)2 С)2 С)) С)2 С2 С2 С„ о о о (1.52) с 0 0 О с,4 О 0 0 с о о о о о о Отметим, что даже в случае кубической кристаллической решетки упругие свойства, описываемые тензором 4-го ранга, обладают анизотропией, в то время как характеристики кристалла, описываемые тензорами 2-го ранга, оказываются скалярными величинами для твердого тела с кубической кристаллической решеткой (см.
1.4). Формула для вычисления объемной плотности энергии упругих деформаций имеет вид Л))' С))(е) +82 4 вз) С44(е4+ез +ее) 2 2 2 2 2 2 ЛР 2 + 2 + С) 2 (е)е2 + е)ез + езе2). (1.53) ЛИ' Еезз Ее (1.54) М' 2 2 Аналогичные формулы для менее симметричных кристаллических решеток оказываются более громоздкими. Можно вычислить и матрицу х, обратную матрице с, и с ее помощью найти вектор е . Эти вопросы рассматриваются в литературе по теории упругости.
Растяжение образцов. Остановимся на самом простом случае деформации — растяжении монокристалла с кубической кристаллической решеткой по оси Ох), параллельной направлению )0011. Пусть оси Ох), Ох) и Ох) также будут параллельны ребрам образца, представляющего собой прямоугольный параллелепипед, и направлениям типа [100). В этом случае механические напряжения можно описать вектором о =(О;0;аз,о;0;0), а матрицу с — соотношением (1.52). 78 Формула (1.53) является обобщением формулы для плотности энергии упругорастянутого стержня, выводимой в курсах механики: С учетом того, что е, = ег и о! — — о, = О„систему уравнений (1 49) представим в виде с„сы сг 0 0 0 сгг с„с!2 0 0 0 Е! Е2 0 0 0 Ез 1тз 0 0 0 с!г С1г 0 0 0 (1.55) с44 0 0 0 с44 0 0 0 с Е4 0 0 0 0 0 0 Е5 ео Решая матричное уравнение (1.55) относительно е, получаем ел =е5 =ее =О, (1.56) т.е. деформации сдвига отсутствуют.
Из равенства нулю напряже- ний по осям Ох! н Охг следует соотношение Е1 Е2 С12 Н!ОО11 еч Ез Ез С11+ С,г (1.57) 1тз 2С,2 2 Е!ос!1 — — — — — с!!в ЕЗ " С!1+ С!2 (1.58) Величину Е!со!1 принято называть модулем Юнга монокристалла при растяжении его вдоль кристаллографического направления !00! 1. Аналогично определяют модуль Юнга для других направлений монокристалла, а также для поликристаллов (см. соотношение (1.46)). Значения модуля Юнга как для монокристаллов, так и для поликристаллов приведены в справочниках.
79 где 11!со!1 — коэффиг(иент пУассона монокРисталла пРи его Растяжении вдоль заданного кристаллографического направления !ООЦ. Коэффициент Пуассона равен отношению относительного поперечного сжатия ( — е,) образца к его относительному продольному удлинению (ез) при однородном растяжении образца. Аналогично определяют коэффициент Пуассона для поликристаллов. Этот параметр приводится в справочниках как для монокристаллов, так и для поликристаллов.
Коэффициент Пуассона для большей части материалов равен 0,25...0,35. Чтобы определить ез из уравнения (1.55), запишем соотношение Р Распространенным на практике видом деформации является объемное сжатие среды (см. далее задачу !.9). Модуль сдвига. Часто встречается — Р сдвиг одной поверхности образца (или де- тали) относительно другой (рис.
1.29) под Рис. 1.29. Деформация действием тангенциальной силы Е При сдвига строгом рассмотрении — это весьма сложный вид деформации. В частности, из рис. 1.29 следует, что образец должен либо вращаться, либо его вращению должны противостоять сложно распределенные вертикальные силы, приложенные к поверхности 5. Величина, равная отношению напряжения сдвига, о„= Г/5, к углу у, называется модулем сдвига 0 (см. рис. 1.29): (1.59) у Значения модуля сдвига 6 как для монокристаллов, так и для поликристаллов приводятся в справочниках.
Компоненты тензора с измеряют экспериментально по результатам механических испытаний монокристаллов на сжатие и кручение и по скорости распространения упругих волн в монокристаллах (см, далее задачу 1.10). Эти методики изложены в литературе по теории упругости. Задача 1.9. Определите относительные деформации монокрнсталла с кубической кристаллической решеткой с заданными модулями упругости в случае всестороннего сжатия, например, когда кристалл помещен в жидкость, находящуюся пол давлением р. Выразите мо- пуль объемного сжатия Ек = через модули упругости.
Р Л$'/$' Решение. Выберем систему координат, осн которой направлены вдоль ребер кубической кристаллической решетки. В этой системе координат тензор напряжений в= Π— Р О В матричном виде зависимость между компонентами тензоров напряжений н деформаций (1.49) принимает внд Ч 80 сп сы с,г 0 0 0 сы сп сг 0 0 0 ег сп с, сп 0 0 0 0 0 0 с44 0 0 0 0 0 0 0 с44 0 0 ез 0 0 0 0 0 с,„е„О Решив это матричное уравнение, получим еа =ез =ел =О, е1 = ег =аз = — Р/(сп + 2сц). Модуль объемного сжатия с учетом выражения (!.45) можно вычислить по формуле Р К~ + 2си) ЛР/Р 3 Задача 1.10. Определите скорость распространения плоской поперечной ультразвуковой волны в монокристалле с кубической кристаллической решеткой в случае, когда смещение частиц в волне направлено вдоль направления [00!), а волновой вектор волны — вдоль [!00].
Плотность монокристалла равна р. Длина волны много меньше размеров кристалла. Модули упругости монокристалла заданы. Реиаение Выберем систему координат, оси которой направлены вдоль ребер кубической кристаллической решетки (рис. 1.30). В этой системе координат частицы смещаются по оси Охз на й(г). Это смещение зависит только от хь Тензор механических напряжений имеет две отличные от нуля компоненты ам и пп, зависящие от хь Выделим тонкий слой монокристалла толщиной Йь такой, что г(х, «)ь«1„„„„. Силой, связанной с компонентой ап тензора напряжений, можно пренебречь, поскольку г(х, «)ь« 1„„„, а значит, для площади поверхности граней выделенного элемента выполняется соотношение 5, » 5, =5,. хз рис. !.30. деформация сдви- га в поперечной ультразву- ковой волне 81 Поэтому все силы, которые действуют на поверхности 52 и 53 выбранного тонкого слоя кристалла, можно рассматривать как малые краевые эффекты.
Последовательно применим к выделенному слою второй закон Ньютона, соотношения (1.Зб), (1.48), (1.39) и соотношение, связывающее вторую производную с первой: г 2 4(и 4(и и — = р5,12х1 — = Е31(х, +4(х1) — Е,(х,) = = 51 [п„(х1 + 42х,) -п31(х1)] = 51с44(е31(х1 + 2(х1) -е31(х1)] = ~4(и 1(нз ~ 4( и г = 51с44 — (х1 + 2(х ) — — (х ) = 5 с (х )4(х . 144 (, 1 1,(, 1 1м 2 1 1 1 1 В результате получим волновое уравнение; 2 2 3 44 3 4(г Р 4(х, Г4, где скорость поперечной ультразвуковой волны равна ~ —.
Р Аналогично скорость распространения плоской продольной ~ц волны при условии Х~!„„равна —. Отметим, что для пло- Р ской продольной волны, распространяющейся вдоль тонкого стерж- ня (когда длина волны много больше поперечного размера стержня), (Е скорость распространения упругой волны н = ~ †, поскольку тон- Р кий стержень может изменять свои размеры в направлении, перпен- дикулярном оси Ох1 (см. (1.57)).
Анализ распространения упругой волны вдоль произвольного направления в монокристалле представляет собой громоздкую зада- чу. В большинстве случаев не удается даже разделить волны на про- дольные и поперечные. С этими вопросами можно ознакомиться в литературе по теории упругости. 2. ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ Кристаллы, атомы в которых расположены строго периодически, называют идеальными. Структура всех реальных кристаллов обязательно имеет отклонения от идеальной, такие отклонения принято называть дефектами структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
