Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Векторы основных трансляций обратной решетки, согласно 11.14), имеют вид Решение. Выберем систему координат с осями, направленными вдоль ребер а, 6, с ромбической элементарной ячейки. Векторы основных трансляций обратной решетки, согласно 11.14), равны: 2лЬ В= —; 2уы А= —; г ' а 2кс С=— г с и задают ромбическую элементарную ячейку обратной решетки. Первую зону Бриллюэна можно построить по правилам построения ячейки Вигиера — Зейтца (см. 1.1), но для узлов обратной решетки. Ее центр совпадет с узлом О; О; О обратной решетки, а форма — с ромбической элементарной ячейкой обратной решетки.
Длину вектора трансляций обратной решетки вычислим по фор- муле Тогда для ромбической кристаллической решетки 2я 'мг = т,„',~ Отметим, что расчет Т„, и Ыыг по этим простым формулам для случаев косоугольных решеток (триклинной, моноклинной, гексагональной и тригональной) невозможен, поскольку для них не выполняется условие перпендикулярности осей, построенных на векторах трансляций. Для анализа таких типов кристаллических решеток часто выбирают систему декартовых координат, оси которой совпадают с одним или несколькими векторами а, Ь, с. В этой системе координат для вычисления Тмг и Ымг можно использовать соотношения аналитической геометрии.
1.4. Аиизотропия физических свойств кристаллических твердых тел Периодическое, а значит, и анизотропное расположение атомов в кристаллической решетке обусловливает зависимость различных физических свойств кристалла, например коэффициентов теплопроводности, электропроводности, относительной магнитной проницаемости, от направления в нем. Такое явление называют анизотропией коэффициента, описывающего данное физическое 63 свойство, или анизотропией соответствующей физической величины.
Среду, обладающую анизотропией, называют анизотропной средой, а среду, свойства которой не зависят от направления в ней,— изотропной средой. Жидкости и газы считают изотропными средами, поскольку в них нет каких-либо особенных направлений— все направления равноценны. Кристалл является типичным примером анизотропной среды в связи с анизотропным расположением в нем атомов. Однако некоторые кристаллы, например кубические, во многих случаях могут проявлять себя как изотропная среда. В ромбической кристаллической решетке (см.
рис. 1.3) расстояния между узлами по трем направлениям, задаваемым векторами а, Ь, с, разные. Можно ожидать, что и физические свойства по этим направлениям окажутся различными. Для кубической решетки (см. рис. 1.3) все длины векторов й, Б, с равны, значит, направления (1001, [О! 01, (0011 эквивалентны и физические свойства по этим направлениям одинаковые. Связь векторных характеристик аиизотропиого твердого тела. Наиболее часто требуется описать физическую характеристику анизотропного твердого тела, связывающую две векторные величины. Как правило, используют линейное приближение, когда одна из величин линейно зависит от другой.
Такое твердое тело называют линейной средой, и для него справедлив часто наблюдающийся экспериментально принцип суперпозиции, который облегчает решение многих задач. Рассмотрим связь векторов намагниченности 1 и напряженности Й магнитного поля. Для описания зависимости между г и Й в изотропном твердом теле используют формулу электродинамики: (1.28) где у. — магнитная восприимчивость. Для описания физических свойств анизотропных твердых тел используют тензоры — сложные математические объекты, позволяющие учитывать анизотропию физических свойств в анизотропной среде.
В случае связи двух векторных величин такой тензор представляет собой матрицу, размер которой равен размеру изучаемого пространства, т.е. трем. Вектор У можно представить как 64 произведение матрицы Х и вектора Й, выполненное по правилам перемножения матриц: 1=хй (1.29) Соотношение (1.29) можно записать в координатном виде: э! =Х!!Н!+ХыН2+ХыНз гг =Хг!Н!+ХггН2+ХгзНз 1з =Хз!Н!+ХзгН2+ХззНз.
(1.30) Х 0 Х22 0 (1.31) Соотношения (1.30) в этой системе координат имеют вид: 1! =Х!!Н!, гг =ХггН2 1з = ХззНз. (1.32) Величины Хгцхгг, Х з в фоРмУлах (! .31) и (1.32), вообще говоря, не совпадают С К Кгг, Хзз в формуле (1.30). Рассмотрим случай, когда ~ Х„ ~ Х„ и вектор Й не совпадает ни с одним из векторов а, Ь, с. Ясно, что вектор 1 не будет совпадать по направлению с вектором Й (рис. 1.23). З вЂ” 2500 кг 'г Н2 О О! .7! к! Рис. 123. К вычислению компонент всю ора У в ани- зотропном твердом теле 65 Зависимость вектора 1 от вектора Й можно упростить, выбрав систему координат, называемую собственной системой координат матрицы. Так как матрица является симметричной, ее собственные значения, согласно теоремам линейной алгебры, — вещественны, а собственные векторы — ортогональны.
В этом случае используют ортонормированную систему координат, построенную на собственных векторах этой матрицы; в ней матрица примет диагональный вид: В случае ромбической, тетрагональной и кубической кристаллической решеток собственными векторами матрицы Х служат векторы а, Ь, с этих решеток, параллельные наиболее симметричным кристаллографическим направлениям. В случае менее симметричных кристаллитериетической поверхно- ческих решеток (гексагональной, моности тензора плоскостью клинной, тригональной, триклинной) так в анизотронном просто найти собственные векторы не твердом теле удается и матрицу у приводят к диагональному виду по методике, изложенной в курсах линейной алгебры.
Модуль вектора з находят по формуле 1 = ((ХцН1) + (ХззНз) + (ХззНз) ) . (1.33) В случае ромбической кристаллической ячейки, для которой Кц ФКзз зеХзз, модУль вектоРа ( сложным обРазом зависит от направления Й в кристаллической решетке. Зависимость модуля вектора з от направления Й изображают в виде характеристической поверхности, образованной концами векторов з, которые соответствуют векторам Й единичной длины произвольного направления (рис.
1.24). Можно показать (см. далее задачу 1.7), что в случае ромбической кристаллической решетки эта поверхность пРедставлЯет собой эллипсоид с осими Х„Н,, ХззНз, ХззНз. В случае кубической кристаллической решетки модуль вектора У не зависит от направления в кристаллической решетке, причем векторы У и Й параллельны между собой, как в изотропном твердом теле (см. задачу 1.7). Для тетрагональной кристаллической решетки (а)=~Ь~-е)с) и оси эллипсоида, параллельные а, Ь, окажутся одинаковыми.
Можно показать (см. далее задачу 1.8), что в этом случае модуль У не зависит от направления Й, перпендикулярного вектору с в этой кристаллической решетке, причем векторы Х и Й параллельны 66 ме,кду собой, если Й перпендикулярен с. При этом считают, что апизотропия величины у обладает осевой симметрией с осью „мметрии с, а саму анизотропию называют одиоосной. Такой кристалл имеет одинаковые значения у для векторов Й, которые лежат в плоскости, перпендикулярной с. Анизотропия величины у для случая гексагональной кристаллической решетки обладает аналогичной симметрией.
В случае нелинейной зависимости Э(Й), как это наблюдается для ферромагнетиков (см. далее гл. 5), величины ",1," сложным образом (нелинейно) зависят от напряженности магнитного поля, причем по-разному для различных направлений. Поэтому магнитная анизотропия наблюдается и в кубических кристаллах, имеющих симметричную кристаллическую решетку.
Аналогичная особенность наблюдается у сегнетоэлектриков (см. далее 4.7, 5.2). Аналогично с помощью тензоров можно описывать и другие физические характеристики, связывающие две векторные величины: тензор относительной диэлектрической проницаемости а— векторы электрической индукции 17 и напряженности электрического поля Е, 0 = еаеЕ; тензор теплопроводности и — вектор плотности теплового потока д„и градиент температуры 57Т, д, = — АКТ. Для описания явления пьезоэффекта используют тензор 3-го ранга р.
Он связывает вектор напряженности электрического поля Е, 1-го ранга и компоненты тензора механических напряжений о,„2-го ранга. Для описания связи тензорных величин, например тензоров деформации и механических напряжений, применяют тензор упругих постоянных и тензор модулей упругости 4-го ранга соответственно (см. далее 1.5). Задача 1.7. Покажите, что в случае ромбической кристаллической решетки (см. рис. 1.3) характеристическая поверхность векторов ./, соответствующих одному значению модуля вектора Й, представляет собой эллипсоид, а для кубической кристаллической решетки— 67 сферу, причем в кубической кристаллической решетке модуль вектора У не зависит от направления вектора Й и векторы 1 и Й параллельны между собой.
Решение. Выберем систему координат, оси которой направлены вдоль ребер ромбической кристаллической решетки. В этой системе координаты векторов Й и У задают следующим образом: Н, = Н сова, Н, = Н сов)), Н, = Н сову; У~ — ХцНп 1з = ХмНз 1з = ХззНп Так какН, + Н, +Н, = Н, получаем уравнение эллипсоида; 2 2 2 2 г ! ь з ч 3 В случае кубической кристаллической решетки (Х = Хц = =Х =Х„) это уравнение превращается в уравнение сферы с радиусом ХН, а модуль вектора Х в выбранной системе координат )= 1, +з,+з, =ХН =ХН Модуль вектора У не зависит от его направления в кристаллической решетке, а координаты векторов Й и / пропорциональны между собой, что является признаком параллельности векторов Й и У.
Такие соотношения между Й и У характерны для изотропной среды. Задача 1.8. Покажите, что в случае тетрагональной кристаллической решетки с тетрагональной осью с (см. рис. 1.3) модуль вектора У не зависит от направления Й, перпендикулярного вектору с в кристаллической решетке, причем векторы У н Й параллельны между собой, если Й перпендикулярен с. Решение. Выберем систему координат, оси которой направлены вдоль ребер тетрагональной кристаллической решетки. В этой системе координат векторы Й и У задают следующим образом: Н, = Н сока, Н, = Н созК Нз = Н сох Г, Уз ХззНЗ' ~г Х~Лз ~1 ХцНп Проекция вектора э' на плоскость Оху, перпендикулярную с, в выбранной системе координат Гг г г г Ом э1 ! г Х) ! Ои г) Хпно~ы Ясно, что проекция вектора У на плоскость Оху не зависит от направления вектора в этой плоскости, а координаты векторов Й„ Й, и Уп ,г'г пропорциональны между собой, что является признаком параллельности векторов Й и э', лежащих в плоскости Оху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
