Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 5
Текст из файла (страница 5)
рис. 1.19, 1.20) сфера Эвальда будет пересекать набор сфер по некоторым окружностям. Очевидно, что дифракция электромагнитного излучения таким поликристаллом окажется возможной при любой его ориентации и при любой длине волны излучения, меньшей, согласно уравнению (1.19), половины наибольшего межплоскостного расстояния. Для наблюдения дифракции поликристаллическим образцом необходимо использовать монохроматическое электромагнитное излучение. Дифракционную картину обычно регистрируют на цилиндрическую фотопленку С с осью, перпендикулярной 1~ и плоскости рис. 1.20, проходящей через образец.
На этой пленке появятся темные линии, соответствующие векторам 1, для которых выполняется условие дифракции — пересечение сферы Эвальда и сферы с радиусом Т„п (см. рис. 1.20). По такой же схеме изучают и нанокрисгаллические материалы, главная особенность структуры которых — очень мелкие кристаллические зерна, вследствие чего узлы обратной решетки таких 51 Сфера Эвальда / / / / 1 100 11О Рнс. 120. Построение Эвальда и обратная решетка поликристалла в виде набора сфер зерен будут крупными, а отвечающие им сферы (см.
рис. 1.20)— размытыми. Это осложняет их исследования, в частности, размытые сферы, отвечающие плоскостям с большими индексами Миллера ЬЫ, будут перекрываться, и следовательно, дифракционная картина окажется «размытой», без резких максимумов. С помощью дифракции электромагнитного излучения можно изучать и текстуру поликристалла, а именно, измерять относительные вероятности встретить ориентации заданных кристаллографических плоскостей зерен поликристалла. Для этого в соответствии с рис. 1.20 настраивают детектор на регистрацию заданного малого промежутка углов 20, отвечающих отражению с индексами Миллера Мй Затем поликристалл поворачивают, при этом будут поворачиваться сферы, отвечающие вектору Т, Интенсивность дифракции окажется пропорциональной вероятности встретить зерна с вектором Тль/, попавшим на сферу Эвальда в точке, где вектор К1 пересекает ее.
После математического обсчета интенсивности получают карту распределения ориентаций вектора Т 1/ зерен в пространстве. Подробно методики исследования поликристаллических образцов изложены в литературе по рентгеновским методам исследования. Зоны Бриллюэна. Найдем множество всех волновых векторов Ка электромагнитных волн и частиц, отвечающих условию днфракции кристаллом.
Уравнение (1.18) представим в виде (! .20) г'=/со2сов(б,яо) г =2(О !го) Уравнение (1.20) относительно йа есть уравнение плоскости, перпендикулярной вектору б и отстоящей от начала координат на б расстоянии —. Оно же описывает возможные координаты вектора 2 й~, удовлетворяющие условию дифракцни. Тогда множество концов векторов Й~, отвечающих условию дифракции, лежит на плоскостях, проходящих через середины всех векторов обратной решетки и перпендикулярных им. Именно так была построена граница элементарной ячейки Вигнера — Зейтца в 1.3 (см. рис. 1.5). Элементарную ячейку Вигнера — Зейтца, построенную в обратном пространстве, принято называть первой зоной Бриллюэна. Она обладает важным свойством: электромагнитные волны и частицы, волновой вектор которых находится на ее границе, удовлетворяют условию дифракции, а значит, будут интенсивно рассеиваться кристаллом.
Зоны Бриллюэна играют важную роль при рассмотрении движения электронов, фононов и других частиц в кристалле, а также прн анализе энергетических зон кристалла. Структурный фактор базиса кристалла. До сих пор рассматривалась дифракцня излучений и частиц кристаллической решеткой в предположении, что каждый ее узел есть точечный рассеивающий центр. С каждым таким центром обычно связаны несколько идентично расположенных атомов, называемых базисом кристаллической решетки. Электромагнитные волны, рассеянные разными атомами базиса кристаллической решетки, будут складываться с разными фазами в зависимости от положения атома. Схема учета вкладов в вектор напряженности электрического поля рассеянной электромагнитной волны такая же, как и при расчете днфракционной картины трехмерного кристалла, только суммирование следует проводить по всем атомам базиса, а не по узлам кристаллической решетки.
Пусть базис кристаллической решетки содержит несколько атомов. Обозначим через ! номер одного нз ннх, через 53 » = х,а + у Ь + г,с — его радиус-вектор относительно точки О; О; О элементарной ячейки, содержащей этот атом, а черезов — вклад этого атома в модуль вектора Ел(»,1) рассеянной электромагнитной волны. Тогда вклад в модуль вектора Ев(»,1) для дифракции, отвечающей вектору рассеяния 0 =ЬА+ кВ+1С, содержит фазовый множитель ехр[!(», 6)) и пропорционален Ь: Е, = 1; ехр[1(»э 6)]. (1.21) Вклад в модуль вектора Ел(»,1) от всех атомов базиса кристаллической решетки выражается суммой вкладов по индексу /; Е = Е(Ьк!) = ~~~ Е, = ~ г; ехр[!(»,, 0)).
(1.22) Учитывая, что б = ЬА+ ко+ !С и», = х а-ь у Ь+ х с, а также соотношения (1.! 5), получаем »(ЬИ)=~ 1' ехр[2п!(Ьх +ку +!х,)). (1.23) /' 54 Величину Е(йк!) называют структурным фактором базиса кристалла, или структурным фактором элементарной ячейки кристалла; она определяет относительную амплитуду дифракционных максимумов, задаваемых трехмерной кристаллической решеткой.
Для данного кристалла»(Ьк!) зависит от вектора рассеяния и может оказаться равным нулю для некоторого узла обратной решетки. Несмотря на то что кристаллическая решетка, состоящая из точечных узлов, и могла бы обеспечить сильную дифракцию, поскольку вектор рассеяния совпадет с одним из векторов Т, этого не происходит, так как рессеянные разными атомами базиса волны гасят друг друга.
При этом их суммарная амплитуда равна нулю. Вычислим структурный фактор базиса кристалла с ОЦК решеткой. Если за элементарную ячейку принять куб (см. рис. 1.1), то базис будет состоять из двух атомов с координатами О; О; О и 1 1 ! —; —; —, при этом структурный фактор базиса для узла обратной 2 2 2 оло 0З0 020 0!0 000 !00 200 ЗОО 400 500 Рис.
1.21. Расположение узлов обратной решетки для ОЦК решетки н структур типа СаС! решетки с индексами Миллера йк1, вычисленный по формуле (1.23), окажется равным: Г(пИ) = ~!1+ехр!1л(И+1+1)]], (1.24) т.е. Р'(6Ы) равен нулю, если сумма индексов нечетная, и равен 2, если сумма индексов четная. В обратной решетке отметим черными кружочками узлы с ненулевым структурным фактором базиса (рис. 1.21). Такое расположение узлов соответствует ГЦК решетке. Дифракция электромагнитного излучения, соответствующая узлам, отмеченным светлыми кружочками на рис.
1.21, не наблюдается, так как волны, рассеянные атомами, которые расположены в центре кубической кристаллической ячейки, будут в противофазе с волнами, рассеянными атомами, которые расположены в узлах элементарной ячейки ОЦК решетки (рис. 1.22). На рис. 1.22 изо- А В А В А Рис. 1.22. Схема отражения волн плоскостью (! 00) ОЦК решетки 55 бражена плоскость (100) ОЦК решетки, обозначенная А. Параллельно ей можно провести плоскость (200), обозначенную В, на которой будет расположено такое же количество атомов.
Следовательно, плоскости, аналогичные (!00), расположены как бы в 2 раза гуще. Волны, отраженные от плоскостей типа А при отсутствии вложенных плоскостей В, усиливают друг друга, но наличие плоскостей В приводит к появлению отраженной от них волны той же амплитуды, сдвинутой по фазе на и относительно волн, отраженных от плоскости А. Сумма же вкладов в амплитуду рассеянной волны от плоскостей А и В будет равна нулю. На рентгенограммах ОЦК решетки наблюдаются отражения от плоскостей типа (110), (200), (112), (220), (130), (222) и других плоскостей с четной суммой индексов Миллера. Отсутствие на рентгенограммах отражений с нечетной суммой индексов Миллера — признак ОЦК решетки.
Рассмотрим структуру типа СяС! (см. рис. 1.1), имеющую кубическую элементарную ячейку с базисом кристаллической решетки из 1 1 1 двух атомов с координатами 0; 0; 0 — для Ся и —; —; — — для С1. 2 2 2 Структурный фактор базиса этой ячейки, вычисляемый по формуле (1.23), окажется равным Г(И1) = ~с. + ~ш ехр(лс(л+ lс+1)1. (1.25) При этом он не будет равен нулю ни при четной, ни при нечетной суммах индексов Миллера. Действительно, атомы, расположенные в центре и в углах элементарной ячейки, разные, значит, и волны они рассеивают по-разному ((, ~ (ш). Структурный фактор базиса кристалла типа СяС! окажется либо суммой, либо разностью неравных величин: (ш и (ш. Если теперь рассмотреть, как в случае ОЦК решетки, плоскости типа А и В на рис.
1.22, то видно, что они уже разные, т.е, содержат разные атомы и будут давать различные по величине вклады в амплитуду рассеянной волны одного или противоположного знака. Сумма вкладов не будет равна нулю. Поэтому узлам обратной решетки с четной суммой индексов Миллера (когда вклады атомов С! и Сь суммируются), например (200), будут соответствовать сильные дифракцнонные максимумы (черные кружочки на рис 1.21), а нечетной сумме индексов Миллера (когда вклады атомов С! и Сь вычитаются), например (100), — слабые дифракционные максимумы. В этом слу- 56 чае по расположению узлов в обратной решетке можно определить период решетки, а по их чередованию — положение атомов в базисе кристаллической решетки.
Вычислим структурный фактор базиса кристалла с ГЦК рететкой. Если за элементарную ячейку принять куб (см. рис. 1.8), то этот базис будет состоять из четырех атомов, и структурный фактор базиса для узла Ьк1 обратной решетки окажется равным: Р(нк1) = 7 (1-ь ехрргк(а+ к)]-ь ехрргд(Ь+!))ехррп(И+ 1)1). (1.2б) В выражении (1.26) г(йЫ) равен 4~; если все индексы одинаковой четности, и 0 — если среди индексов встречаются как четные, так и нечетные числа. Таким образом, структурный фактор базиса ГЦК решетки не равен нулю, если индексы одинаковой четности. В обратной решетке кристалла с ГЦК решеткой узлы с ненулевым значением г(Ьк1) образуют как бы ОЦК решетку.
Это можно показать графически, как и для рассмотренного выше случая ОЦК решетки. На рентгенограммах ГЦК решетки будут наблюдаться отражения от плоскостей типа (111), (200), (113), (220), (133)„(222) и других плоскостей с индексами одинаковой четности. Отсутствие на рентгенограммах отражений с индексами разной четности— признак ГЦК решетки. В случае более сложных базисов структурный фактор может быть и комплексной величиной, изменяющейся от узла к узлу обратной решетки по закономерностям, которые задаются расположением атомов базиса кристаллической решетки. Тем самым он определяет относительную яркость отражения от различных кристаллографических плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
