Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1.5. Механические свойства твердых тел Анизотропное расположение атомов в кристаллической решетке обусловливает и анизотропию механических свойств кристаллических твердых тел: прочности, пластичности, внутреннего трения, упругости и др. Данный параграф посвящен изучению упругих свойств кристаллов, причем в случае линейного приближения, когда деформации малы и пропорциональны приложенным к телу силам.
Математическое описание упругих свойств твердых тел даже в линейном приближении весьма громоздкое, поскольку как деформации, так и напряжения твердого тела описываются тензорами 2-го ранга, а связь между ними — еше более сложными тензорами 4-го ранга. Тензор напряжений. Для описания жидкостей и газов используют скалярную величину — давление р, позволяющую вычислять силу г", которая действует на малый элемент поверхности 5 произвольной ориентации, с помощью следующего соотношения: (1.34) Соотношение (1.34) можно записать в виде проекций на оси Ох, Оу, Ос, которые обозначим индексом 1 = 1, 2, 3 соответственно, например, гз = р5з для оси Оз.
Простой вид этого соотношения в жидкостях и газах связан с отсутствием тангенциальных компонент силы давления и существованием закона Паскаля. 69 Зависимость между силой Р, сжимающей (или растягивающей) изотропный цилиндрический образец вещества вдоль его оси, и площадью его сечения Я описывается соотношением Г =оЯ. Такая деформация, называемая деформацией одноосного сжатия, встречается при изучении механических свойств образцов, а также во многих инженерных конструкциях. Величину а называют механическим напряжением, как и давление, оно равно отношению модуля силы к площади поверхности, на которую действует сила, ст= Г/Я.
В общем случае деформации твердых тел существуют тангенциальные компоненты сил и аналогом давления является тснзор напряжений, определяемый следующим образом. Находят выражение для силы г", действующей на элемент поверхности, изображенный на рис. 1.25, со стороны точки О. Элемент поверхности выбирают маленьким, чтобы можно было пренебречь изменением состояния элемента поверхности на всем его протяжении и считать напряжения приблизительно однородными. Для вычисления Р рассмотрим условия равновесия изображенной на рис. 1.25 треугольной пирамиды ОАВС под действием сил, приложенных к ее граням. Будем считать, что других сил нет. К каждой из граней приложены сила со стороны пирамиды и равная ей по модулю противоположно направленная уравновешивающая сила с внешней стороны.
Рис. 1.25. К вычислению силы, действующей на элемент площади в твер- дом теле 70 — Р! = О!!5! + 131252+о!353, — Е2 = г32151 + г32252 + О2353, — гз = Оз 1 5! + О3252 + О3353. (1.35) Чтобы избавиться от знака « — » в соотношениях (1.35), принято вычислять силу Р;р — — — Р, действующую на грань со стороны среды, а не со стороны призмы (см. рис.
1.25). Тогда упрощается и решение многих задач, например задачи о распространении упругих волн в кристаллах (см. далее задачу 1.10). В дальнейшем индекс «ср» у силы писать не будем. Соотношения (1.35), аналогичные (1.30), примут вид 3 г' = ') о,,5, 1 = 1, 2, 3. (1.36) 7=1 Соотношения (1.36) в матричном виде можно записать аналогично формуле (1.29): (1.37) Формула (1.37) обобщает на случай твердого тела формулу (1.34), справедливую для жидкостей и газов. 71 Обозначим через 5 вектор, перпендикулярный грани АВС пирамиды и имеющий модуль, равный площади ее поверхности, Че,ез 5, соответственно обозначим проекции вектора 5 на ось с номером 7' 0 = 1, 2, 3).
Тогда площади граней ОВС, АОС, АВО будут равны проекциям вектора 5, на оси Ох,, 7' = 1, 2, 3. Обозначим через го проекцию силы, действующей на грань с номером 7' в направлении оси с индексом 1 со стороны пирамиды. Так как картина действия сил однородная, то проекции га и 5, пропорциональны, т,е, го = оо5,. Величины его принято называть компонентами тен3ора механических напряжений, или тензора напряжении Условие равновесия пирамиды ОАВС соответствует равенству нулю суммы действующих на ее грани внешних сил, или равенству нулю суммы сил, действующих со стороны пирамиды на грани.
Оно позволяет найти выражение для силы Р, действующей на грань АВС, со стороны пирамиды, которое с учетом направления силы Р (см. рис. 1.25) можно записать следующим образом: 51 и Рис. 1.26. Компоненты теизора напряжений (а) и их проекции иа плоскость Ох,х, (б) Чтобы изучить свойства тензора механических напряжений о и физический смысл его компонент, рассмотрим однородное напрялсение, при котором все компоненты тензора не зависят от выбора точки в пространстве. Вырежем куб с ребрами единичной длины, параллельными осям декартовой системы координат, и центром в начале системы координат (рис. 1.26, а). Пусть на этот куб действуют только силы, приложенные к поверхностям его граней, а объемные силы, например силы тяжести, не действуют. К противоположным граням куба будут приложены силы, одинаковые по величине и противоположные по направлению; скрытые гранями куба силы на рисунке не показаны.
Проекция силы на ось Охь приложенной к грани с индексом~', численно равна компоненте тензора о;„поскольку площади поверхностей всех граней равны единице. Ясно, что компонента оь соответствует напряжению растяжения куба по оси Охь а оц — действию силы, параллельной оси Охи приложенной к грани Яз (рис. 1.26, 6). Можно с помощью рис. 1.26, б доказать, что тензор а симметричный.
В самом деле, условием равновесия куба относительно оси Охз является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, численно равных компоненте о„, относительно оси Охь Ненулевой вклад в эту сумму обеспечивают четыре силы, изображенные на рис. 1.26, б. У остальных сил либо плечо равно нулю, либо 72 !2г!3 =й(х!+!(х! х2+их2 х3+их3) и(х! х2 23)= !1й(х! х2 хз) (1.38) Векторное соотношение (1.38) запишем в координатной форме: !(и! = — !1х! + — !22хг + ди, ди, ди, дх, дх2 дхз диг ди2 диг "Х! + Х2 + (Хз' дх, дх2 дхз ди, ди, ди, дх, дх, дх, В индексной форме (1.39) можно представить в виде ди! с1и, =~ — '!2х =,Г е,"!(х,, 2=1,2,3; е, = — ', (1.40) гле е„— компонента тензора е, описывающего относительные смещения точек среды.
73 „ни параллельны оси Ох3, т.е. имеем соотношение пн = п2!, доказывающее симметричность тензора !т. Аналогично, рассмотрев равновесие куба относительно осей Ох, и Ох2, можно получить соотно- ШЕНИЯ ПМ = П23 И П3! = ап. Симметричный тензор напряжений может быть приведен к диагональному виду в системе координат, построенной на его собственных векторах.
В такой системе координат, называемой системой главных осей тензора напряжений, на грани куба, перпендикулярные главным осям, будут действовать только нормальные поверхностные силы. Теизор деформаций. Деформацию твердого тела задают с помощью векторной функции й(Р)=(и!(х,,х2,хз); и2(х,,хт,хз); и3(х,, х2, хз)1, описывающей вектор смещения любой точки с радиус-вектором Р=(х!,х2,хз) при деформации среды. Новое положение этой точки будет задаваться вектором Р'=Р+й. Ясно, что деформации твердого тела могут появиться, если смещения его точек разные.
Рассчитаем, как изменится вектор Ыгш соединяющий точки ! =(х!, х2,х3) н Р+21га — — (х, +~(х!,х2+!62, х3+йхз), при малой деформации, такой, что изменения расстояний между двумя любыми точками будут намного меньше этого расстояния: о Рис. 127. Смещение концов вектора Ю в плоскости Ох~х2 прн деформации В матричной форме имеем (1.41) йй=(е, )пх.
Диагональная компонента е„- имеет смысл относительного удлинения отрезка дхв параллельного оси Ох, а недиагональная компонента е„— смещения конца отрезка (относительно его начала), параллельного оси Ох, вдоль оси Охл поделенного на длину этого отрезка. Для доказательства этого выберем вектор с(гс так, что пх, ~ 0; пхз — — с1хз —— 0(рис. 1.27). После деформации вектор пгс получит приращение Ый =(с(и,; с(из; с(из) = (епйх,; етых,; ез)йх,).
Из рисунка следует, что величина епс(х, представляет собой удлинение отрезка с1гв, ез,Ых~ — смещение его конца относительно начала по оси Охз, а ем — малый угол поворота с(рс вокруг оси Охз при деформации среды. Тензор е принято раскладывать на сумму двух тензоров: симметричного а и антисимметричного вэ, компоненты которых можно вычислить следующим образом: е;+е; е; — ет Е" = " "; ОЭ" = (1.42) 2 " 2 Симметричный тензор, называемый тензором деформации, характеризует деформацию среды, а антисимметричный описывает вращение среды как целого объекта.
Покажем это для наиболее наглядного случая деформаций, хотя эти утверждения справедливы и в общем случае. Рассмотрим деформацию квадрата, построенного на двух векторах йх, =ОА=(1;0;О) и йхз — — ОВ=(0;1;О) (рис. 1.28), которая описывается следующими тензорами: 74 хг л(од; о) о Л(1;О;О) х~ О А(1;О;О) х~ а б Рис. 1.28. Смещение квадрата в плоскости Ох,хг при деформации (а) и при вращении (б) 0 е 0 0 — в 0 а=е 0 0 и «э=е 0 О.
(1.43) 0 0 0 0 0 0 Применив формулы (1.41) и (1.43), получим, что в случае симметричного тензора после деформации квадрата точки А и В займут положения с координатами (1; е; 0) и (в; 1; 0) (см. рис. 1.28, а) и сам квадрат окажется деформированным. Аналогично для анти- симметричного тензора получим, что точки А и В займут положения с координатами (1; е; 0) и (-е;1; 0) (см. рис. 1.28, б), т.е. квадрат повернется на малый угол с вокруг оси Охз.
По сумме диагональных компонент тензора деформации можно вычислить относительное изменение объема при деформации. Для доказательства этого в системе главных осей тензора в (см. рис. 1.26, а) выберем куб с ребрами длиной 1п. После деформации длины его ребер будут равны 1в(1+а„); 1в(1+ег,); 1в(1+с„) соответственно, а объем куба Ув + АУ = Уо(1+ ем)(1+ егг)(1+ сзз) = Уо(1+ ем + егг+езз) (1.44) где Уп — — 1п, ЛУ вЂ” приращение объема куба при деформации. = 3.
Следовательно, М' — = еп + егг + езз. (! .45) (1.46) о=Ее. В соотношении (1.46) величину Е называют модулем Юнга. В общем случае деформаций и напряжений, описываемых тензорами, связь между ними задается с помощью тензора модулей упругости. Тензор модулей упругости. При малых деформациях, как показывают экспериментальные исследования, выполняется обобщенный закон Гука, согласно которому компоненты тензоров напряжений оя и деформаций е„связаны меду собой соотношением: 3 3 е, =,') ,') занан, 1,7'=1,2,3. (1.47) /мы! 76 Сумму диагональных компонент тензора называют следом тензора. В линейной алгебре доказано, что след тензора сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую декартову систему координат, а значит, формулы для вычисления изменения объема куба (1.44) и (!.45) справедливы независимо от выбора декартовой системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
