Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Другими элементами симметрии являются плоскость симметрии !или зеркальная плоскость) и центр симметрии (или центр инверсии). !4 Кубическая кристаллическая решетка (см. рис. 1.2) с элементарной ячейкой в виде куба имеет три плоскости симметрии, параллельные его граням, шесть диагональных плоскостей симметрии, перпендикулярных диагоналям граней, три оси 4-го порядка, шесть осей 2-го порядка, четыре оси 3-го порядка и центр симметрии в точке пересечения пространственных диагоналей куба. Допустимые наборы операций симметрии кристаллической решетки описывают, основываясь на строгой математической теории групп.
Типы кристаллических решеток. В соответствии с теорией групп все многообразие кристаллов можно описать с помощью 14 типов кристаллических решеток, или рпаеток Браке (рис. 1.3). Их принято группировать в семь кристаллографических систем, различающихся видом элементарной ячейки: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную н кубическую. Каждая система характеризуется соотношениями между параметрами а, Ь, с и а, 1э, у элементарных ячеек (табл.
1.1). Некоторые из этих систем имеют разновидности: примитивная — Р, объемно-центрированная (ОЦ) — 1, гранецентрированная (ГЦ) — Е н с одной парой центрированных противоположных граней — С. Т а б л и ц а 1.1. Соотношения между параметрами элементарных ячеек решеток Браве 1. В триклинной системе все углы и все длины сторон не равны между собой. Центр симметрии данной решетки расположен в центре элементарной ячейки. 2. В моноклинной системе элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с ребрами разной длины.
Элементарная ячейка может быть примитивной н с центрнрованными основаниями прямой призмы. Элементами симметрии такой решетки дополнительно являются: плоскость симметрии, параллельная основанию 15 Рнс. 1.3. Решетки Бране; а — триклннная, Р; б, а — моноклинные Р, С; г — тригоначьная Р; д, е, ж, з— ромбические Р, С, б Р; и, и — тетрагональные Р, (; л — гексагональиая Р; и — о— кубические Р, б Р 16 прямой призмы, и ось вращения 2-го порядка, проходягцая через середины оснований, 3. В ромбической системе элементарная ячейка представляет сооой прямоугольный параллелепипед с ребрами разной длины. ячейка имеет все четыре разновидности: Р, 7, Р, С. Дополнительными элементами симметрии такой решетки являются: три плоскости симметрии, параллельные граням, и три оси вращения 2-го порядка, проходящие через середины противоположных одинаковых 1раией.
4. В тетрагональной системе элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. По сравнению с предыдущей решеткой у нее появляются ось вращения 4-го порядка и несколько плоскостей симметрии. 5. В кубической системе элементарная ячейка представляет собой куб: простой, с центрированными гранями — гранепентриРованный (ГЦК) или центром — объемно-1(ентрированный (ОЦК). Эта решетка самая симметричная, ее элементы симметрии приведены на рис. 1.2.
6. В гексагональноб системе элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с ромбом в основании, причем угол при вершине равен 60'. Часто рассматривают утроенную элементарную ячейку (рис. 1.4, а), имеющую вид правильной шестигранной призмы с осью симметрии 6-го порядка. 7. В тригональной системе элементарную ячейку принято представлять в виде ромбоэдра, все грани которого одинаковые ромбы с углом при вершине, не равным 90'. Отметим, что для 120' Рис.
1.4. Элементарные ячейки гексагональной решетки (и) и схема расположения в ней атомных слоев (б): ° — А;ь — В;+ — С 17 тронов кристаллом, особенности которой описаны в конце параграфа. Расчет интенсивности дифракции электромагнитного излучении узлами кристаллической решетки. Кристаллическая решетка играет роль трехмерной дифракционной решетки для фотонов, электронов, нейтронов и других частиц, движущихся в кристалле. Закономерности дифракции электромагнитного излучения кристаллом, как трехмерной решеткой, можно определить, используя схему расчета дифракционной картины одномерной дифракционной решетки с М щелями: сначала получают дифракционную картину от бесконечно узких щелей, а затем учитывают конечность их ширины.
Такая дифракционная картина состоит из серии наиболее сильных максимумов, интенсивность которых зависит от характера распределения интенсивности в пределах одной щели. Рассчитаем интенсивность ! дифракции электромагнитного излучения узлами кристаллической решетки, имеющей примитивную элементарную ячейку в виде косоугольного параллелепипеда с векторами основных трансляций а, Ь, с. Предположим, что вдоль этих векторов кристаллическая решетка имеет У, М, Р узлов соответственно (рис. 1.18). Пусть на нее падает электромагнитная волна с волновым вектором )го и частотой озо, а рассеянная на узле кристаллической решетки электромагнитная волна имеет волновой вектор й,. Рассмотрим случай, когда частота рассеянно- го электромагнитного излучения не изменяется: оэо =оэ, =оХ а О О Рнс. 1.18.
Дифракция электромагнитного излучения узлами кристаллической решетки: Ц л г 1л; вп р); г — г 1л; гл; р) почти параллелен г 42 значит, и (го — — (г, = 2п(Х, так как оз = йос, где с — скорость света в вакууме. Вектор напряженности электрического поля падающей электромагнитной волны в точке с радиус-вектором г = (О; 0; 0) (1.4) Ео(г г) = Еоехр(т~). Узлы кристаллической решетки являются центрами, рассеивающими падающую волну. Чтобы рассчитать амплитуду рассеянной волны в точке О, где расположен детектор (см.
рис. 1.18), необходимо сложить вклады от волн, рассеянных узлами криста~и лической решетки с учетом их фаз. В точке О вклад в вектор напряженности электромагнитного излучения от узла кристаллической решетки с номерами О, О, 0 имеет вид ехр[ — ((х,, г)! Ео;о;о(Р ') = АЕо ехр((шг) ', А = сопя!. (1.5) И Электромагнитная волна, рассеянная на узле кристаллической решетки, характеризуемом номерами п, т, р, пройдет другое расстояние, чем электромагнитная волна, рассеянная на узле кристаллической решетки с номерами О, О, 0 (см.
рис. 1.!8). Учитывая малость размеров кристалла, т. е. вектора [г(и;т; р)[ по сравнению с вектором г, получаем [Р— Р(и;т; р)[ =[г~. Пренебрежем также поглощением электромагнитных волн в кристалле и будем считать показатель преломления для электромагнитного излучения равным 1, что выполняется с большой точностью. Тогда оптическую разность хода между волнами, рассеянными в точках с радиус- векторами г(п; т; р) и Р(0;0;0), можно вычислить по формуле Л,„, = [г(п; т; р)[соя(яо, Р(и; т; р)) — [Р(и; т; р)[сояЦ, г(п; т; р)). (1.6) Разность фаз Лф окажется равной: 2п М=~! =((со г(и;т; Р)) И~ г(и;т; Р)).
(1.7) Вклад в вектор напряженности электромагнитного излучения от узла кристаллической решетки с номерами и; т; р примет вид 43 .я(г г) = Ео оо(г !)ехр( (Аф) = =Еооо(Е г)ехР[-1[()о,г(п;т;Р))-й,,г(п;т;Р))])= = Ео, о(г,г)ехр[1[(б, 7(п; т; р))]), (1.8) Е (г, г) = А Ео(г, г) ехр [([оя — ((!со — lс, ), г)] ) х ! х — ~ ехр[1(б, Е(п;т; р))). [ [пир (1.9) Суммирование в формуле (1.9) ведется по всем узлам кристаллической решетки. Учитывая, что г(п, т, р) = па + тЬ + рс, и, обозначая Е, = АЕо(г,!)ехр[([ш — ((Ьо — lс,), Е)]) —, [г! получаем п-1м-1г-~ Е=Е~ ~ ~ ~~Р~ ехр[1(б,(па+тЬ+ рс))]= =о =ар=о п-~ м-1 = Е, ~ехр(1(б,а)п)~ ехр(1(б, Ь)т)') ехр(!(б,с)р).
(1.10) л=о р=о Выражение (1.! О) представляет собой произведение трех сумм, первая из которых есть сумма первых М членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ехр(!(а, б)): ! — ехр(1(б, а) М) ~ ехр(1(б, а) и) = ! — ехр(1(б, а)) (1.1 !) Аналогичные выражения можно получить и для двух других сумм. Интенсивность дифракции, равная произведению вектора 44 где б = Й, — Й~ — вектор рассеяния, показывающий, насколько изменился волновой вектор электромагнитной волны в результате рассеяния. Он имеет важное значение в теории дифракции. Вклад в вектор напряженности электромагнитного поля от всех узлов кристаллической решетки равен сумме вкладов от этих узлов: напряженности Е и комплексно сопряженного с ним вектора Е, после преобразований принимает вид я[в~И(а, С)Н)/2] яп~И(Ь, С)М)/2] яп И(с, С)Р)/2] яп~Иа, С)/2] яп ИЬ, С)/2] яп Ис, С)/2] (1.12) Величина/ максимальна и равна (ЫМР)), если одновременно выполняются соотношения: (С,Ь) 2 (С,с) = к1„ 2 (С,а) =кН; 2 (1.13) 2п[Ь, с] (а,Б,с)' 2к[с, а] (а,Б,с)' (1.14) 2п[а, Ь] (а,Ь,с) В этом случае выполняются соотношения (А,а)=2п; (В,а)=0; (А,Б)=0; (В,Ь)=2п; (А,с)=0; (В,с)=0; (С, а) =0; (С,Ь) =0; (С, с) = 2к.
(1.15) 45 где Н, К, Š— целые числа. Также интенсивность дифракции заметно отличается от нуля при условии, что величины (С,а)/2; (С,Ь)/2; (С,с)/2 отличаются от целых чисел не более чем на и/Ы; п/М; и/Р соответственно. Соотношения (1.13), называемые уравнениями Лауэ, неудобны для анализа. Между тем им можно придать очень наглядный, геометрический смысл. Для этого необходимо рассмотреть понятие обратной решетки. Обратная решетка. Векторы основных трансляций А; В;С обратной решетки определяются формулами Можно показать (см. далее задачу 1.4), что вектор А перпен2л дикулярен векторам с и Ь, а модуль вектора А равен —, где овн овп — межплоскостное расстояние кристаллографических плоскостей, построенных на векторах с и Ь; ЬИ вЂ” индексы Миллера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
