Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Можно решить и обратную задачу— по измеренным интенсивностям отражений определить положение атомов в базисе, т.е. расшифровать структуру кристалла, что является задачей рентгеноструктурного анализа. В настоящее время изучено строение многих кристаллов с базисом, содержащим сотни, тысячи и большее число атомов. Атомный фактор рассеяния. Рассмотрим величины ~, задающие вклады в амплитуду рассеянной волны от отдельных атомов, которые называют атомным фактором рассеяния.
Вкладыш, называемые также амплитудами рассеяния атома, можно измерить экпериментально, либо вычислить теоретически. Для такого расчета необходимо описать атом функцией распределения заряда р(Р), которое может быть условно разделено на маленькие элементы объема Нг'. Затем следует вычислить сумму вкладов от всех 57 этих элементов с учетом функции р(г) и разности фаз волн, рассеянных различными малыми элементами объема (см. рис. 1.22), применяя интегрирование: ,((С) =~,р(г )ехр(((г,,С))юг; =Яр(г)ехрп(г, С)]с(к'.
(П27) В случае дифракции электронов и фотонов г', зависит от модуля вектора С и, как правило, уменьшается при его увеличении. У атомов с большими номерами и электронной плотностью Г' возрастает, причем ('(С) уменьшается быстрее с ростом модуля вектора С для атомов больших размеров, поскольку при этом разные участки атома рассеивают волны несинфазно. Атомы с близкими значениями атомного номера, т.е. числа электронов, имеют обычно и близкие значения г'(С).
Принято считать, что атомный фактор рассеяния зависит только от модуля вектора С, т.е. он сферически симметричен. Существуют таблицы, достаточно хорошо характеризующие зависимость т'(С) отдельных атомов от модуля вектора С. Отметим, в таких таблицах, как правило, не учитывается различие формы внешних электронных облаков в разных кристаллах, хотя, строго говоря, форма внешних облаков и связанная с ней величина ((С) зависят от окружения атома в каждом конкретном кристалле.
Это, с одной стороны, приводит к небольшим ошибкам при вычислении г'(С), а с другой, — в ряде случаев позволяет, наблюдая дифракцию, изучать перераспределение электронной плотности при образовании различных валентных связей. Атомный фактор рассеяния может незначительно меняться, если энергия фотонов совпадает с одной из разностей энергий атомных уровней, вследствие чего также происходит сильное поглощение фотонов. В случае дифракции нейтронов кристаллом атомный фактор рассеяния равен сумме ядерной и магнитной составляющих, связанных с дифракцией нейтронов ядрами и магнитными моментами атомов соответственно. Ядерная составляющая зависит от структуры атомного ядра и обычно оказывается разной для различных изотопов.
Магнитная составляющая зависит от ориентации и величины вектора магнитного момента атома и может быть равна нулю при определенных ориентациях вектора рассеяния и магнит- 58 ного момента атома. Поэтому дифракцию нейтронов используют для исследования магнитных моментов атомов в кристаллах. Из формулы (1.27) следует, что 7'(О) есть фурье-преобразование в точке обратной решетки, задаваемой вектором 6 от функции р(Р), определяющей электронную плотность в атоме. Эту формулу можно обобщить и на случай нескольких атомов, входящих в базис кристалла, и на весь кристалл. Тогда вид дифракционной картины можно предсказать, вычислив фурье-преобразование от распределения электронной плотности в кристалле. В таком случае по виду фурье-преобразования, полученному из экспериментальной дифракционной картины, можно бьшо бы вычислить функцию р(Р) и определить структуру кристалла, выполнив обратные фурье-преобразования.
Однако это сделать не удается, поскольку все известные сегодня экспериментальные методы фиксируют интенсивность дифракции, с помощью которой можно вычислить только амплитуду фурье-образа, а фазу зафиксировать они не могут. Для построения функции р(Р) по фурье-образу (в общем случае комплексной функции) необходимо знать как амплитуду, так и фазу фурье-образа. Поэтому, чтобы определить структуру кристаллов, рассчитывают дифракционную картину по заданным параметрам структуры кристалла и сопоставляют ее с наблюдаемой эксперимнентально.
После чего последовательно уточняют параметры структуры. Решение этой задачи рассматривается в разделе физики, называемом структурным анализом. Упрощенные методы структурного анализа, позволяющие, например, проводить фазовый анализ, т.е. определять, из каких кристаллических решеток состоит данный материал, рассмотрены в литературе по дифракционным методам исследования веществ. Чаще всего для проведения структурного анализа используют дифракцию рентгеновского излучения, поскольку ее легче осуществить с технической точки зрения.
В некоторых случаях применяют дифрацию нейтронов или электронов с длиной волны де Бройля порядка межатомного расстояния, задаваемой их кинетической энергией. Этн методы, называемые нейтронография и злектронография, очень похожи на рентгеновские, но более сложны с технической точки зрения. Дифракция электронов кристаллами в соответствии с уравнением (1.20) обусловливает особенности процессов переноса заряда 59 и теплоты в кристаллах, а также особенности распределения энергетических уровней электронов в кристаллах и, в частности, причины деления веществ на проводники, полупроводники и диэлектрики. Особенности дифракции излучений и частиц аморфными веществами.
В аморфных веществах расположение атомов в кристаллической решетке не упорядочено, поэтому не наблюдается острых дифракционных максимумов, связанных с существованием обратной решетки. Однако главная концепция теории дифракции, согласно которой дифракционная картина соответствует фурье- образу электронной плотности вещества, остается в силе. В аморфных веществах атомы один относительно другого располагаются без заметной анизотропии (см.
1.2). Для достаточно полного определения их структуры строят радиальную функцию распределения электронной плотности Р(й), которую считают сферически симметричной. Как и в случае поликристаллов, фурье- образ аморфного вещества представляет собой набор большого числа концентрических сфер (см. рис. 1.20), который удобно описывать функцией 1'(б). На функции г(6) обычно прослеживаются 1 — 2 размытых максимума, отвечающих 1-й и 2-й координационным сферам атома в аморфном веществе. При длительных дифракционных исследованиях получают квадрат модуля фурье-образа функции распределения электронной плотности, с помощью которого определяют и саму функцию распределения электронной плотности, а затем обосновывают схемы взаимного расположения атомов в аморфном веществе. Методики исследований аморфных веществ описаны в литературе по дифракционным методам исследований, задача 1.4.
Покажите, что вектор обратной решетки А, определяемый по формуле (1.14), перпендикулярен векторам с и Ь, а модуль 2к вектора А равен —, гдето — межплоскостное расстояние кристал- лографических плоскостей, построенных на векторах с н Ь. Решении Обьем параллелепипеда, построенного на векторах й, Ь, с, равен, с одной стороны, их смешанному произведению, а с другой— произведению площади основания (модулю векторного произведения векторов с и Ь ) н высоты (искомого межплоскостного расстояния 4. 7 60 з/ 2л Отсюда модуль вектора А, вычисленный по формуле (1.14), равен —. г/ Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что с~„св 2к Покажем, что и в общем случае, когда Ьи 0, йи0, /и0, мо2л дуль вектора обратной решетки Тьн =ЬА+/гВ+/С равен, а /и вектор Т„н перпендикулярен плоскости (ЬИ). Согласно рисунку 1.6 объем Р пирамиды, построенной на века Ь с торах —, —, —, можно вычислить как смешанное произведение Ь /с (а/Ь, Ь/Ь, с//) (а, [Ь, с]) этих векторов: 1'= = .
В то же время, 6 6ЬИ /ьиЛ вЂ”, где 5 — площадь основания этой пирамиды, построенно- 3 го на векторах ЫЬ-й/Ь и с//-а/Ь и равного половине модуля их векторного произведения, а Н„н — опущенная на него высота. Тогда получим 1 5 ЬИ)[(Ы/г — а/Ь),(с// — а/Ь)]( ЗР )(а, Ь, с)) [Ь[Ь, с]-/г[а, с]+/[й, Ь])) [(ЬА+/гВ+/С)) Тв [(а, Ь, с)! 2л 2л Можно доказать, что Тн и (ЬИ) перпендикулярны, если скалярные произведения векторов Тн, ЫЬ-й/Ь и с/1-а/Ь, лежащих (см. рис. 1.6) в плоскости (ЬИ), равны нулю.
С] Задача 1.5. Покажите, что в кристалле с кубической кристаллической решеткой направление [ЬИ] перпендикулярно плоскости с индексами Миллера (ЬИ) и расстояние от этой плоскости до начала координат (равное межплоскостному расстоянию в формуле (1.19)) можно вычислить по формуле д„н е а/(Ь +/г +/ ) . Отметим, 2 2 2н2 61 что для кристаллов с другими кристаллическими решетками эта фор- мула несправедлива и для расчета дм, следует вычислить длину век- тора обратной решетки. Решение. Выберем систему координат Охуг с осями, направленными вдоль ребер куба. Запишем уравнение плоскости 1ЬЬ1) в отрезках: х у г — + — ж — =1.
а, а, а, а а а Здесь а„ = †, а, = †, а, = — — длины отрезков, отсекаемых плос- Ь ' Ь костью 1ЬЬ1) на осях системы координат. Подставив эти выражения в уравнение плоскости в отрезках, получим уравнение плоскости Ьх+ Ьу + 1г = а. 2кЬ В= —; г ' а 2яа А= —; г а 2ис С = —. г ' а Длину вектора трансляций обратной решетки можно вычислить по формуле Тогда для кубической кристаллической решетки 2п а )т",.) Д; е,7 Задача 1.6. Постройте векторы основных трансляций обратной ре- шетки для ромбической элементарной решетки с параметрами а, Ь и с и первую зону Бриллюэна.
Определите межплоскостное расстояние г)н, = 2)сl тли~ для плоскости 1ЬЬ1). 62 Коэффициенты перед х, у, г имеют смысл координат вектора нормали к плоскости и пропорциональны числам Ь, Ц 1 соответственно. Тогда вектор, задающий направление 1ЬЬ11 в кубической кристаллической решетке, параллелен вектору нормали плоскости 1ЬЬ1) и, следовательно, перпендикулярен плоскости (ЬЬ1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
