Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Аналогичные соотношения справедливы для векторов основных трансляций В и С обратной решетки. Отметим, что векторы обратной решетки соответствуют векторам определяемого в аналитической геометрии взаимного базиса, но их длина в 2л раз больше. Кроме того, векторы обратной решетки определены так же, как во многих учебниках по теории твердого тела, что оказывается удобным при рассмотрении движения частиц в кристаллическом твердом теле.

В учебниках по теории дифракции их определяют как векторы взаимного базиса в геометрии, что позволяет исключить во многих соотношениях теории дифракции множители 2л. Как и в случае кристаллической решетки, концы векторов всевозможных трансляций Т =ЬА+кВ+1С, построенных на трех векторах обратной решетки, также образуют пространственную решетку, называемую обратной решеткой. Обратную решетку можно анализировать, как и кристаллическую решетку, т.е. рассматривать в ней узлы ЬИ, векторы, задаваемые числами с координатами ЬИ, важные направления, плоскости, координаты точек и т.д.

Можно показать (см. далее задачи 1.4, 1.5), что вектор обратной решетки с координатами ЬИ перпендикулярен плоскости кристаллической решетки с индексами Милле2л ра ЙИ, а его длина равна —. а' Построим обратную решетку для кристалла с ромбической элементарной ячейкой. Учитывая, что углы между векторами а, Ь, с прямые, согласно формулам (1.14), (1.15), получаем 46 2ла А= — з', )а) 2л А= —; а 2лЬ В вЂ” —, )Ь| 2л В= —; Ь 2лс )с) С= —. с (1.1б) Ясно, что самой длинной стороне ромбической элементарной ячейки будет соответствовать самая короткая сторона ячейки обратной решетки.

Аналогично в случае примитивной кубической элементарной решетки ячейкой обратной решетки будет куб со 2л сторонами, параллельными исходной решетке и равными —. и Векторы основных трансляций А, В, С обратной решетки в случае ромбической, тетрагоиальной и гексагональной решеток (см. далее задачу 1.6) образуют в обратном пространстве также ромбическую, тетрагональную или гексагональную элементарную ячейку соответственно, но с другим соотношением сторон с и а. Найти векторы А, В, С обратной решетки для триклннной или моноклинной элементарной ячейки столь простым образом не удается, поэтому приходится вычислять их с использованием формул (1.14).

Найдем векторы рассеяния 6, удовлетворяющие условию дифракции (1.13). Теперь им можно придать наглядный геометрический смысл. Пусть вектор 0 разложен по векторам А, В, С: 6 = ЬА + )!В + !С. (1. 17) Здесь ЬИ вЂ” координаты вектора С в системе координат, построенной на векторах А, В, С. Подставляя выражение (1.17) в (1. ! 3) и учитывая соотношения (1.15), получаем условия максимумов дифракции: 6 = И, А = К, 1 = Е, где О,К, Š— целые числа. Максимум дифракции наблюдается в случае, если Ь, !1, ! — целые числа, т.е.

если вектор 6 совпадает с одним из векторов трансляций Т обратной решетки. Можно сказать, что обратная решетка отображает днфракционную картину от трехмерной решетки. Как отмечалось в курсе оптики, дифракционная картина Фраунгофера является отображением фурье-образа одно- или двумерного распределения интенсивности электромагнитного излучения. Аналогично трехмерная обратная решетка является фурье-образом бесконечно большого кристалла, такая же решетка с узлами конечных размеров — фурье-образом конечного кристалла; размеры этих узлов (т.е. областей, где интенсивность дифракции в соответствии с формулами (1.12) отличается от нуля) обратно пропорциональны размеру крн- 47 сталла вдоль соответствующего направления. Вид дифракционной картины можно предсказывать, вычислив фурье-преобразование от кристаллической решетки или, как будет показано далее, от распределения электронной плотности в кристалле.

Обратная решетка жестко связана с кристаллической решеткой кристалла, при его повороте она вращается синхронно с ним. Для наблюдения дифракции электромагнитного излучения кристалл поворачивают так, чтобы вектор рассеяния совпал с одним из узлов обратной решетки. Предсказать и наглядно изобразить это совпадение можно с помощью построения Эвальда.

Построение Эвальда. Для предсказания углов поворота кристалла и направления рассеянного излучения воспользуемся построением Эвальда (рис. 1.19). Отложим волновой вектор й~ падающей на кристалл электромагнитной волны, так что его конец совпадет с узлом О; О; О обратной решетки. Так как частота и скорость рассеянной и падающей электромагнитных волн совпадают, вектор К, рассеянной волны будет иметь ту же длину, что и Кщ но неопределенное направление. Вектор неопределенного направления следует изобразить в виде сферы — сферы Эвальда — с центром в начале вектора й~. В этом случае начало и конец вектора рассеяния будут концом вектора 1 и концом вектора й, соответственно. Выясним, совпадет ли один из возможных векторов 6 с одним из узлов обратной решетки. Для этого совместим узел О; О; О обратной решетки с началом вектора рассеяния б (эта же точка является концом вектора Й~) и проверим, попал ли один из узлов на сферу Эвальда.

Ясно, что вероятность попадания одного из маленьких, почти точечных, узлов на сферу практически равна нулю, чтобы такое попадание имело место, необходимо повернуть кристалл и связанную с ним обратную решетку. С помощью геометрических построений можно вычислить необходимые углы поворота обратной решетки (и кристалла), а затем определить, под какими углами должен быть расположен детектор излучения, регистрирующий волны с вектором Кг В современных приборах для наблюдения дифракции — дифрактометрах, снабженных компьютерами, в автоматическом режиме по формулам, описывающим повороты обратной решетки, автоматически вычисляются нужные 48 б Рис.

1.19. Построение Эвальда для монохроматического (а) и немонохроматического излучений (б) углы поворота кристалла и детектора излучения для заранее сориентированного кристалла, а затем кристалл и детектор поворачиваются. Разработаны и упрощенные методы регистрации дифракции электромагнитного излучения на цилиндрическую фотопленку С или полупроводниковый ячеистый детектор (см. рис. 1.19). Пленку 49 А ~ ! ! ! ~ ! ! ! ! ! 1 1 ! ~ в След (л И) о; о; о, ! ! ! С(= /сд! 2гйпб, (1.18) где Π— угол скольжения рентгеновского излучения. Учитывая, что 1~= 2к — 2к 0~ = —, а кл = —, получаем условие Брэгга — Вульфа 4и 50 располагают так вокруг образца-кристалла, чтобы ее ось была перпендикулярна плоскости рисунка и совпадала с центром образца.

Сам же образец вращают вокруг оси, перпендикулярной йа и плоскости рисунка, в заданном диапазоне углов. Методу вращения кристалла соответствует диапазон углов поворота 0...360', а методу качания кристалла — меньший диапазон углов поворота— обычно 5...25'.

При таком вращении многие узлы обратной решетки будут последовательно пересекать сферу Эвальда, при этом возникнет интенсивная дифракция, направление вектора к1 которой будет зафиксировано на фотопленке. При случайной ориентации кристалла можно обеспечить условия дифракции (см. рис. !.!9, а, б), если излучение немонохроматическое (Ы1Х,;Х ]); в таком случае вместо одной сферы Эвальда необходимо изобразить множество сфер с общей точкой в узле 0; 0; 0 (см. рис.

1.19, б). Узлы обратной решетки, попавшие в заштрихованную область, соответствуют сильной дифракции электромагнитного излучения, которую удобно регистрировать на плоские А, В или цилиндрическую С фотопленки. Их сечения плоскостью рисунка показано на рис. 1.19, б. Такую методику используют для придания заданной ориентации кристаллографических направлений монокристаллов в пространстве.

Правильно сориентированный монокристалл (вектор Ка строго перпендикулярен одному из важных кристаллографических направлений) обеспечит симметричное расположение темных пятен — следов сильной дифракции рентгеновского излучения на фотопленке. Если кристалл сориентирован неточно, то картина расположения пятен будет несимметричной, тогда с ее помощью вычисляют необходимые углы поворота кристалла для получения его правильной ориентации. Эти методики подробно описаны в литературе по дифракционным методам исследований.

Из рис. 1.19 следует, что длины векторов й~ и С связаны соотношением: г („н.)пЕ=). (1.19) В этом уравнении Иьн включает в себя порядок отражения и, часто встречающийся в записи этого уравнения, так как Ь, 11, 1, кратные одному числу, учитывают порядок отражения. Обратная решетка поликристалла.

Поликристалл, как отмечалось в 1.1, состоит из очень большого числа произвольно ориентированных маленьких кристаллических зерен. Каждому такому зерну будет соответствовать своя обратная решетка. Обратные решетки, отвечающие разным зернам, имеют одинаковые периоды и идентичное расположение узлов, но произвольным образом ориентированы относительно узла 0; 0; 0 обратной решетки. В таком случае узлу ЬИ обратной решетки соответствует большое количество узлов (по числу кристаллических зерен), расположенных на поверхности сферы радиусом Т„, в обратном пространстве. В случае идеального поликристалла, содержащего бесконечное число случайно ориентированных зерен, можно считать, что узел обратной решетки превратится в пределе в сферу. Набору же всех узлов обратной решетки будет соответствовать набор таких сфер с радиусами Т,, образующих последовательность в соответствии со значениями г(„и межплоскостных расстояний кристалла. На построении Эвальда (см.

Характеристики

Список файлов книги