Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Лля соответствующего однородного уоавнения чч -у'=с7 сос тавляем характеристическое уравнение Л '-Д = 6 , которое иие- ет действительные и различные корни А) "(1 А,, " / , Фундамен- тальная система решений однородного уравнения: )', = 1, оч„ = е ходим общее решение однородного уравнения чЧ,(х г с / л с е х, е ( ° С2 проилвольшФо постоянные.
Общее решение неоднородного уравнения будем искать з виде ~Ч(ХУ" С/(~~ ' «' " ' ~ (3.10) е ух/, с (х/- неизвестные Функпии, производные ксторьш опре. ллем ип системы линейных алгебраических уравнений; с '(ху / х С (х/Е х - (1, С '(ХУЕ Р ' " /Фе-' На гд гд да Умноиая первое уравнение на л~г 2х , второе на жг ох и складывая, получим с,'(Ж-(Рсох2фл(а 2х , тогда из первого урез нения находим с' =-2. Интегрируя, находим: / с(х/ = -~2с/х=.> ~~(ху - 2х сх, с (ху= , ' с/х'~с (ху 6т~хсарх'(зс Ф где с/, с - произвольные постоянныз.
Подставив Фуйкции с~(х> и ~~(ху в (3.7), находим общее решение неоднородного у)~авнения: фх> =с/е саг2хзСе Уса 2х-2хсол2х~е дл2хбфлРд~ ГДЕ Ч (ХУ Е ~(С(С"'Л2Х "~~"""~ 2Х)- общее решение соответств чо Рх . щего однородного уравнения) Ч(ху -2хс"гРх е па2хбфау частное решение неоднородного уравнения (З,В), а~~3,2,ЯВ р рыар „„и„~р иия л / е ч ч /Фе (З,В) тогда с'(х) -ф'/ Е~) ис(ХУ=е (((/"Е ), Интегрируя, получим: с (х) „/ — д =>с(х) 6т(/+е ) ~с/, е~ с/х „х' /и е С(х/Х вЂ” х -"(/, 1,/ - / / е дл/ (О -6т(е х/Р с., где с/, С - произвольные псстояниыа, Подставляя с~(х)и ~~(х) в решение (3,10), получим общее ре- шение уравнения (3.8): ~~~~-с/'~Р я/а(/е )+е 6 (е '/) (З.п) где ~а(х) с яс ех - общее решение однородного уравнения; Ф' /.л х -х х)=6т(/ ех/~е бт(е +/)- частное, решение неоднородного равнения, Найдем решение задачи Коши.
Вычислим производную решения ""):, ех -,- е, )((ху С е я — хле 62(е я/1 „~. ' (3 р2) //е е Подставив в Функции (3.11) и (3,12) начальные значения;х О, $-/ь26х2, ф'-6х 2, получим; с лс, +26з Р "/л26 2, ся6чр =6тг, Отсюда с О, с/ ~ 1. Подставив С/ * 1, С, = О в (З.П ), находим частное решение урввнения (3 8), удовлетворяющее начальным условиям (3.9): у=/~6 (/ле~) ~ехбз(е +/), 2. Рассмотрим неоднородное линейное диЦеренцизльнов уравнение второго пордцка с переменными козттицизнтами: а (хны+а (х/~+а (х~~ -~(хХ о Испи а (х)Фд в области определения искомой Пунш(ии, то делим обв части уравнения не а,(х1: ч "+~ (х~ <- я (ху/ /(х'( (3,13) где Р (х> „ф (хш ,,/(х) - непрерывные Пункции.
Если для соответствующего однородного диФФеренциалъного уравнения 41 4 (3, (б) 4 ) ,., 4; .„,.„,',, П, 43 "' -О»~ )4)',сг >л)~=С) (3.14) .>овостно одно чвстное решение , то по ок ,онивит>. Ня4 4днни! ие р , то порядок уравнения ивино вит>, нв «аннину, сохраняя инейносгь и однородно оогь, полота (>торсе честное рекение 4»р линейно неаавиоииое с У„Е*)- 5) Г Я >ХУЕ С>»Л l 3, 1б) г,".,« -»>42) - и>2444нциент при ' ' в уравнении (3 14). оиее речение однородно>гс> урвпнония (3,14) будет ©>у~).
с„, у;д) ° е, 4)сбх.) *«4 '" 4. !':. ' » 4 ' ПРОНВВ«ЛЬН>сс ПООГОЯНИ>сс, >:бис>о (чв«тине)»атанио неоднородного уравнения (3,13) «ул"ы и» к«ть метод«>! Нери«чин пронпиольных по «ул"ы и» «,, етояиких в вкйв 4)те 4" 'с)»»)»! «')» с"4>лг) 4»>„с-ч), г„>), ', - н>4изиеотн>7«бункпии, проипводнне кого ! Огай>х Ок! 7 4 ) Е» > с ') ° » ', ' С ),4)4 4 б 4 ) ' ' б (3,17) 1,, ! ) ),': к ) ° е,'2 ! )4), ее г1 К'«'), — "' "'- "и«" )и'агни!' )!и', геронпкякьиого урдккьк к ения «««ПН')4>Ч>Н«" В'4>'!" Пн>ч' дк!444(вппкквьноо урв ««4 - >е»44444ос>4>м>4 м»44!и;>н«>т«ни, ! н4дг>Н4« Обе кко !ти у>>ккпоккв ф Сг'„Х =У - —, /'те с~л 4Ь ,4 ЕЛ" > .
~~ )) — =йУ 'сх' Обаее решение уравнения (3.18) будем искать ивтодсм вариапии проиввольннх постоянных в виде фкцб) С Гл) —. 'Е 4»х) —, 4 ) (3. 14») где с~еж), с~ах) - неиввестные $ункпии, прокопал>в>е которых определяем иэ системы » 4 Е бх) —; » ~". бх ) —; р - Сг »х' с". Сс>кл' — е бх) --,о - с,Гх) — )= —,. Складывая первое уравнение, умноаенное на с/х, со вторим, получиы С'5"-х) -л'сс>5 .ч" и иэ первого уравнения находим с.»с-х) „ сс,г х . Интегрируя, находим; ~~с-'х)=,/скгхх сгЪ =йс Гл) ус»г х с~» б~бч.) )ех'сггкк.с>!ж "Фе >м) -,»ех44»5сег.х й 4В> С>СХ) Ж Я)2 Х'»)>с»2ЛСХСС' 'М4~бх) = -лыс»гл" ИЮ т»Г> где е), с> - проиевольные постоянные. Подставив с)!"х), с бх ) в (3.1м), найдем «баев решение данного уравнения! ) ) ссз.х Ф бх') с —,.
» С вЂ”, Е' СК Е .Х "' 4 ~44 4. 444 4 4 «> рл"Зг х'-с)сел'б)тсх»>'с»»24х' "»о)~»=б»7 .х; удовлетворяющее начальным условиям: ~4»Е) 62, б)г о ра) -~. - р о Р, (З,ЗО) ЕСЛИ =С»7 ск. - ЧаотНОЕ РваЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРВВНЕНИЯ. еаение. Равделив обе части неоднородного линейного ди(4(е- 4 ) ренпиального уравнения о переменнь!ми ко«Кицивнтами на,х.
с"4 д-, ополучим бе»г х 74 с»г.х . ф ~Щ27~ ~ .х4т (З.с1) и соответствугккве однородное уравнение щ тб~.т г) л'Жук гг Н айдем второе частное решение г , линейно , ю~Ыю независимое от и ьч гггт-у бх)=Аж /ггг .х" стг .х мах" вал ),ххбг л", Общее решение уравнения (3.21) 6 удем искать в виде ~р'»'Г) сУхЖг,х' Ух)х'б' г.х (3 22) ГДЕ Сгбм) , Г ГХ') - Нанезвотимв ((УН ИИ ределим ив системы; е Функции„производные которых опс,Ф')Югх и С (,'х")х' бг:х" = О гг l Г))' ) —, с, Сх)(А " ')= ~ ~ 2 Из первого уравнения получим Г 'бх) -х'Г Лх' л найдем и Г 'бху = - г/л', Интегрируя, Г ('Г)=" —— с(ь )=~' —.~с(х)--Йгх Г,, Г (л)3Я=~Г(х)=- —.
- Г ГДЕ Г , Г - произвольные постоянные. Подставим Г Гх) Г ~х г в (3.22) на По с г , в . , найдем общее решение данфх.) Г Ге=с "Г.х'Ь~г.х -С.г,х - Бгх" =д (3. 23) ~ ~СГ) ~' Жх~С'.хЮгх'-гбг .х' й~ С У ), (3.23: Найдем решение з а ): адами Коши. Вычислим прои вводную решения Гу рбх'~=.— С Б-г.х à — 2 г~ ° ' .х. .х' (3.24) Функции (3.23) и (3.2й) удовлатво яю удовлатворяют начальным условиям (3,2О): су гтг Р ы Г Р,бг „о,ыг "р ~, л У ГеГл 2~-.Р:Г,-С:~„о=- з > гг После упрощений получим систему: с Г,г~Г, --г', =ОС -() Г --— .Г гб,р гГ =-)-Г 2 2 Р Подставлял Г) - -О, Г, = -1/2 в (3.23), находим частное решение даниого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: х — бгх'-'Би х, 2 3. Ыетодом Вагранка (варивции произвольных постоянных) най- дем общее решение неоднородного ди4Ференциального уравнения ч -го порядка с постоянными козфФициентами и правой частью, не допус- кающей подбор частного решения: ~ггг~п )й ~а р~а~ =~Дх), (3.25) )(ля соответствуепего однородного линейного дибйеренциального уравнения йг) и'гор "Щ +.„+Гг Д'г~„~=~ (зыйб) ооотввляем харакгвристическсе уравнение Ь га А 'щ„~а~,д+гг„=б, По его корням найдем Фундаментальную систему решений ~~(х) ..., ф (х) и общее решение однородного уравнения ~ (х) Ггф("х ) ' " " Сч фг (~ ) где С , ..., à — произвольные постоянные.
Сгбаез решейис неоднородного уравнения (3.25) методом вариа- ции произвольных поотоянньщ будем искать в ниде ,г )=Г,г )о)г(х) „, С бх)ч О ), (3.2т) гас Г.(т) ,..., Гг(х ) - неизвестные ФУнкции, пРоизводные котоРь.х определим из системы л алгебраических уравнений: )щ „~ )~,( )=Г), Г ~х)~М+, ",,'~.~3-' ыг.гг, нг- '! Г'(х ф блг), Г гх')ф, (:х') Р' га-Л пг-г)(ч)ь ~ с. 'гх)у гх.) )ух) Определитель снстечг есть отличавшийся от нуля определитель 45 д Вронского бтндаментальнсй системы решений,~г гх),...,ф„Гх), поэтому система имеет единственное решение: С Ф')=дФСх) й У,..гп).
ИнтегРиРУЯ, нахоДим Г ~х) й'- г', г гг ) . ПоДставлЯЯ бУнкпии ГЖ) й' ~д„чл) в (3,27), находим общее решение уравнения (3.281 ддд д» д р д р дддр ального уравнения (3.28) Решение, Найдем методом вариации произвольных постоянных общее решение неоднородного линейного дийберенциального уравнения третьего порядка с постоянными козЕйициентами и правой честью, не допускающей подбор частного решения, )(ля соответствующего однородного уравнения ог' г ~ д) (3,29) составляем характеристическое уравнение л' л ( = Г) , корнями котоРого бУДУт Дг О, Флл = "'г , слеДовательно $Унламентальная система решений уравнения (3.28) имеет вид; оР сх)-У, Р гх.)= сгг5х; пг) (х)-5ггг,х. Общее решение уравнения (3,28) ищем методом вариации произвольной постолнной в виде рх) с,гх) lг~~(х)сгглх ~с~дхмгг.х; (3,30) где ~~Я") д~~гх), Слгх') - неизвестные бункции, производные которых определяем из системы трех алгебраических уравнений: 6Ь.) ) Ф С„'Ф-)сагх СЛ'Г ) 5д/гх = Г)д -с,'Ф)5дог,х.
~Г'(х)оа5х = бд л - Г,ЪИГ 5х -с'сху5д г. 7 г хдгг х Складывая первое и третье уравнения, получим с Сх)=(ссд5х)5дгг х., У множим второе уравнение на 5ддгх', а третье не оддлх' и, склалы- ВаЯ ИХ, ПОЛУЧИМ Где)--(Гаг..Ддг5Дтг -г', Ио ВгОРОГО УРаВНЕНИЯ Находим ГЪ".) =.Фхлх~гу гх . 5 Интегрируя, находим: с~с)=) —,— лд-ддх мЯх) ~ —,';-- =д с,(ху -" - -,.-.—:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
