Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 8
Текст из файла (страница 8)
д'С : сгдл.т,, сд'5дд г х, I ,lлддг х = 5дгг-дх' .~ . '= 5д')г 2 г г ГГх) у"соггх' с~Х'=>СЛ(Х)=Я~ф~*"Ихюс(х)=сфх+хдС )с с"5 с)х =гс (х) =-/' —. =гс гх)=-6фсдх ~(гс сдд5х' . сдд5дгггс 3,/5ггга' З 5гдгХ.,У ( З > где сг, С~, Гз - произвольные постоянные, Подставив йункции его), с, Гх"), Г5(х) в (3,30), находим общее решение уравнения (3.28); К гх')=с тс аглхм Г 5дугх — —., г.сфх' Ггг5х'+х сгг5х -5ггг х"дбг~гддгх'(, дд 5 5д'дгх' или (после преобразований) дгдГх) с гс аг5х гс удтгх"~х'сгг5х -5гдгх бг (д5гугх'~, йз сз-)), ф' л ГДЕ )ДДгСгС)=С, ДГ Сгг5Х г~~хгггХ - Общве РЕШЕНИЕ ОДНСРОДНОГО УРаздд ' .г пения (3,29г; ~фх)=лссгглх'- г угх" бг (5агсс! - частное репе- ние неоднородного уравнения (3.28).
$4. дийФереннИАльнне уРАВнении эилеРА Линейное диКеренциальное уравнение '~"и-г~~ ~ агг у Хд'с) гг-у дгг-/) д где а й' = „, п)- постоянные, с' называется уравнением Эйлера. Введем новую независимую пеггеменнуш Г с помощью подстанов- ки х'~6" (если х'г 0) или х'"-6' (если .х' д' 0), Рассмотрим х .» О, Тогда б д -гЕ(, с)„'.=е У„, Р -е (~ -ЗС лд ю лсх'х ~п~г" 3~б Ф6 и уравнение Эйлера преобразуется в линейное диЕФеренциальное уравнение с постоянными коэДициентами.
Диййеренциальное уравнение сах. -А'у . +а йгх -6) у г г сг (алс л)~ 'а„у -5 г Сдпг ., гг ~ сш д), л, ' где а б а'( д = (д .., д дг ) постоинныед $ д г к д'''д подстановкой ах т 6 = С (в области ах' ' б . г) ) приводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными ковййициентами. 4У Решение однородного уравнения Эйлера ,гг тг „щ-/ (гг-р/ .щ а<(;гг х" р д,, »гг .ху;а ~ можно 1при дх' > О) искать в виде<( .щ «'. ,л- <,дыг(( щ ' г «-г Подставляя у .ж, ~ «.х, ~ (« -«)л'я„з однородное уравнение Эйлера, находим характеристическое уравнение для опре- деления степени гг . Если + - действительный корень характерис- тического уравнения кратности Г , то ему соответствует в' линей- но независимых решений а" « .х "Гг.ж, .х" бг х;.,в -х «/)в ~ Ъ, Если сг г/дгд — комплексно сопряженные корни кратности 5 , та им соответствует 2 5 линейно незввисиыых решений; Сг»5Г(гг»(7-Х'/, М (Дт.ж' гк»5фдч.Х')д„,< -Х' г»гв,х' гг»5(/Згщг, »<г о( .т 5»(г(/гг(.лй -х' дбг х"ыщ(з р(<а»двг<.)...,-х' б)г' .х' Уг(т(/Вх), дг .,»(,,о( 5-/ »»»д,<.»»» р ° .д»д ° »» ° ° -»» р.
лф"'- Хху' «4р = (1 Решение. Будем искать решение в виде ~ .х' пря .х'« О. На- ходим ~',Ф;х'~ /, р (/г -/<')х' г ~ ( /< 5-3/г «»РМх., Под- ставляя ~ , ~(щ , фдщ в данное уравнение Эйлера, находим ха- рактеристическое уравнение /г - б"Х- д УФ =гр, которое ииеет дзз .з '.р действительных корня А~ щ О кратности 1 и Ар з = Э краткости 2 Этим корням соответствует три линейно независимых решения: 1 З 5 < л" ,,х б»гт .х , Находим общее решение данного уравнения Эйлера: ~( (х') с с.- ' с лрй<бт,ж; л'»().
,З ..З Если рассматривать и случай,т О, то общее решение, охва- тывающее оба случая, можно записать в виде у Ф.)= с с .х ° с" гх г«/г ~х ~, .3 .З и<щам<,д. »»»» д» д»»»„» (х -/) ~» "+б(х /)~ «$ = (), Решение. Будем искать регвение в зидеу=(жду) при л'-/ г О. Подставляя ~г=(т./)*, ф =Ф(х'./)«/ ву =(/< ~/д)/ж"-/)» ' в данное уравнение, находим характеристическое уравнение Ф; «ФА-»,Р = гр , которое имеет два комплексных аопрявенных корня А.. = .Р г. вг . Этим корням саатветствуот два линейно независи- мых 'решения —, глгхРА(лг /) т — р /ггг ! Ьг(х /) / (.х.-/)" г'х /)" Сгбшее решение денного уравнения имеет вид фд(Я)=, Р((Рог»5В»62(Х" /)Д(»5«2 Кг(лгд/)( У.'>3 с (.и./)" Если рассматривать н случай х< 1, то общее решение, ахва,гьгзаешее оба случая, мошно записать в вице с(УХ)= —,— (С С»5Ь" )лс (~ С, 5«ДР/вг)Л-(~), (,х -/) «»,„»»л, ».» ° .д р.
° »а ' д» Эйл а: » )~) -/бл ' И1 5/ о(~'."/)' Решение, Полагая Рл'Р ес при Рх д/д(), яолучиы »»г<(л =б»вМ или(г(д)(г(гх)= дд(', Тогда: .(/ . -/ . (((г ') М ' -»( г х г(б г(л' ' <уг с'.х:л г в(/ <(х ,Данное уравнение примет вид „»/ -»/ щ д г -( д э7 ФЕ" Р (г( -г/ )- %'.(- /3~-б:Г Бгто - неоднородное диб(герен<гиальное уравнение с пастоянииии ко(в<1()и<)кентами и правой частью, допускавшей подбор частного решения: м - (Р/ »Ж(-б'г <<»,1) а( гг Соответствующее однородное уравнение имеет характеристическое » урввнение р(/< '-гд<Р« » Ы= (), корняии которого являются «/ 3 , .А.,щ 1/( р .
Общее решеняе соответствующего аднароднага уравнения ( г/») г имеет яид у,'в/г"" ( С,Г Частнйе решения неаднороднога уравнения будем искать з виде а<( Ргб г" ~ , так как <в(5„((< ' Е - корень характеристического уразнену кратности у = 1, Находим,<) '= г(г" г.З4(г' ,3(' Зв: = ЕАг' (У/((е'' . Подставив Я, 7<, с/" в,уравнение (4.1), получим после сокрашения наг толдеотво 645в 6, или р) =- 1. гг Частное решение неоднородного уравнения есть у =(г~', Находим общее решение неоднородного уравнения( су~(( , рб ю/ .// -</ »ы»у <(=<',"/г" »Г г»»б»<д Переходя к переменка)) рг, получим ~-.(((два д/);(;„(.'л'/)''( ( ал /) (дг(»г»/) Если учитыязть случай )дгг» / О, та обввяе резания запив<ем в виде у .у ~.д С (рл»/) 'д г-,( г«г/) ° (Рг д/)'/д д ~ »л» /~. щщгдд„«»< д, » ': д гд эйлера ю г" х»/'г д/'д /рг) 5 г Л "г в. дЬ Решение. Полагая .х'=с длл х . О, получигл с " ХС " »м .Зь>»> Данное уравнение примет вид .А> „...
ь> -ХС л Г 4' ф -3~ + ~ )-щ б' $ б-~„)гЖ~ =/30зог об> илн м» , > Оу -~К ' бр =/Юх«уг.б, б«>ь> (4.В) находим >4 =. -1, /Т 8, Нашли частное оешение: ~ ние неоднородного уравнения им .У=~' «4' й'ГЬПХб«СГХЬ~гб)-С гс: или ф~у~ с' гх Й;кх>х>бг.х.
>.сг 5>мг Ф.х)- ск>хаМ-«. 5х»губа л. Для соатвотстлуюэьего однароднога уравнения оаставляэи хэрэкг .У Х ристическос уравнение Л' .~Л ' ~)4 " б> , которое ииеет простой 'действительный корень Лх = О и комплексные сопряженные корни Ф' Хг', Х с , Общее решение однородного уравнения имеет вкд Ж ю «у ге> /С С>аХ4 >' «КХ>«гс ), Чясгнао решение неоднородного уравнения оудем искать в виде ф = л)с«ьхГб « «Уьь>г Оь' , так как > ь>б нэ является корнем харах- териатического уравнения, Находим Ф -с~ЛХ >2Л ' Ык«ьхе~б )> -4>ЛСЭ>Х«ь ".>>>>5«>т>"С >л „у> = б>Лх«>г Л"-А)й«э>хй>б, » — » и, подставив у , ~ , ~ в уравнение (4,2), приходим х тождеству "~лхс>гя м«х х,гб /6,4«хю,ь/' /68.х> г «>б = /збх> а/, Решая систему -Л) «У«г =Ы; б>л) «/)= б, =- с«гх Яс гХ>5«>г М .
Общае реаееет внд: у ф .)>'=> «>гас > ххс>2 хб 45. ВА((АЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТИйЬНОГО РИйИНИЯ 5,1. Тело, брошенное вертикельно вверх с земной поверхности с начальной скоростью «ха , Движется прямолинейно. Найти зависи- мость от вреиени высоты тела от его положения э начальный момент, если тело движется только пад действием силы тяжести. 5.2.
Восстанавливающая сила пружины пропорциональна увели- чению ее длины и равна 1 кг, если длина увеличивается на 1 см, Н пружине подвешен грув массой 2 кг, Найти период колебательного дэвкения системы, если ана выведена иэ состояния равновесия. 5,3. На подвижной симметричной тележке массой )") укреплена на пружинах жесткостью А' подвижная ь(у>(тэ массой > с осью, сов- падающей с неправлениеи движения.
Определить закан и период коле- баний теле«кн и ыу>(ч>ь>, если в начальный момент времени мубта от- ведена на расстояние «г от положения равновесия, а в положении равновесия центры масс муФгь> и прукины находятся на одной верти- кали и при движении системы полажение центра пасс не сне>кается, 5.4, Влектрон с массой >гг и зарядам с движется ао ско- ростью ьт параллельно направлению элекгрическога поля.
Написать закан сохранения энергии в этан случае. Использовать связь между потенциэлаи поля у> и напря«еннастью Е , с - -/«ь>>ф//«/л'), Считать потенциал известным в каждой точке паля, 5,5, Тело мессой >гг, находящееся в состоянии покоя, начало двиквние пад действиеи постоянной силн Л , прилаженной с нако- торога иамента б' О. Нейти закан движения тела, 5.5. Пуля входит в брус со скоростью 100 м/с. Найти закон и скорость движения пули сквозь брус, сила сопротивления которого пропорциональна квадрату скорости движения, 5.'г. Найти уравнение вь>пуклай кверху кривой, у которой ради- ус кривизны э любой гапке г> (л, у ) равен кубу длины отрезка нормали, заключеннога между птсй точкой и осью абсцксс, если зта кривая проходит через точку А(О, 1) н касательная к кривой в тбч- ке А образует угол Х /4 с осью абсцисс.Построить гра(Гик кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
