Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если Д (х),„,, У~ (хЧ - частные решения линейного однородного диФФеренциального уравнения (2.2), то и их линейная комбинация с у, '.„ / с ~ . является решением уравнения (2,2). Функций // (х)„,. ~„ (,х! называются линейно зависимыми на атреэКе (а, 6 ! , если существует нетривиальная линейная комбинация этих Функций, равная нулю на (и, 6 ! : »к~~~х~ .„/»« ~ ~х~жо, !«хэ"((6~!щ Зк, ~о, 21 Функции ~ гх'1,..., ф,~х) называются линейно независимыми на отрезке (гп, б 1, если только тривиальная линейная комбинация этих Функций равна нулю на [гп, б ): ОГУ/ХУП„ГОГ ~,ГХУ=- 4 ЫХЯ~СП,б ~ И МГХ/.= б)(б =/..тГП). В линейном проотранотве частных решений уравнения (2.2) существует базис иэ гп линейно независимых честных решений.
Фундаментальной окотемой решений линейного однородного дийФеренциального уравнения назовем любыв гп линейно незавнсимык частных решений, или базис в линейном пространстве чаотных решений. Линейное однородное ди4Ференциальное уравнение (2,2) с непрерызныии ков(й)ицивнтаыи имеет Фундаментальную систему решений фгх >,„, ф Определителем Вронокого системы ФункцийфФУ, „~,п/х'/ называется определитель р,/ > уху ...
у,('-) у'/х) у,'(хг ... ф /х/ (2,3) Еоли 'определитель Вронокого (2,2) частных решений линейного однородного дибп)еренциального уравнения (2.2) о непрерывными козббициеитами равен нулю хотя бы з одной точке, то решения фгх>,...,ф,(х ) линейно зависимы, Поля хотя бы в одной точке х' б'(а, б ~ определитель Вроно Мх,)~ б , то Функции и гху , гх ! - линейно и зисимы на(а О пределитель Вронского Фундаментальной системы решений не равен нулю на отрезке, где решения определены,. Тео зма (о ст и а о струит)()пе общего Ввшения линейного одноро ного ыенталъйая система решений линейного однородя' го дибп) еренциального уравнения (2.2) о непрерывными коэффициентами /з Гх/(г ="",") на отрезке [а, б ], то общим решением на(а, б 1 уравнения (2.2) является линейная комбинация Фундаментальной системы решений: 22 у ГХ) С )Г/Х/и„, 'С ~ Г/Г (2,4) с произвольными постоянными коэ4уициентами гп,..., Сгп .
Теопэма (о структура общего пашэния линейного неоднородного диф(еренциального упазнения). Общее решение на отрезке (а,Д линейного наодйородйого дийп)еренциального уравнения (2, 1) с непрерыаныыи на [а, / ) ковййициентами р/жз гб -./,„, ~) я правой частью Г (х ) равно сумма общего рвп1ения ф (ж) соответствующего однородного уравнения (2.2) и какого-либо частного решения п~ неоднородного уравнения: ~(х-)= ы (х) мяу (2.
6) де Теорема (о налокении решений). Если у. является решением уравнения +г1 г»г/г ггп уг,,/и /х)о ь/з /х'ы ~/и) /б=/„~л) то ~ =ф г„,г ш является раввинам уравнения О мз гл)~, гп-гг' //'/ гх~ /г ./а,/ 2. ДибпТаренпиальное уравнение б (/ '" гпlК Ф (2.6) гдв пппб,... а, - действительные постояннь1е, называется линейным однородным уравнением и -го поряд«а о постоянными коэф)ициентами. Решение дибп)аренциального уравнения (2.6) будем иокать в виде,~ а" ~~ ( Д - постоянные). Подотавляя решение у=г""и его проиааоднне з уравнение (2.6), получим для определения /г характериатическое уравнанио А "г шла "'г г а„, л ~ агп: /2 (2,7) Находим корни карактеристичеокого уравнения.
Простому действительному корню я характвриатического уравнения (2.7) соответствует одно частное решение ф = й: ' уравнения (2.6). Пвйствительному корню я кратности т характеристического уравнения (2."г) СООтпвтетзувт Х ЛИНЕКНО Наяаэконинх ЧаетНЫХ рШПЕНИй Е и ' х г-л-'„ , х г Гп- ~~ уравнения (2.6). Простому комплексно оопряженпоыу кооню лг =,х -/3/ и Х;:, =о( -„8/ характеристического уравнения (2,7) соответствует два линейно независимых частник решения ~ = б' .з г,ух, о)', = г: "х"пг/л.уравнения (2,6). Комплексно оопркпенному корню ог .". /г/ кратнооти гзп Харпктериоти2В чвокого уравнения (2Л) соответствует 2/гг линейно независимых решенийг е сеул; л.е сей,вл'„„, л е ссл/ел', осл осл', сцг-д' сп л', Г л/г,ул; л е гссг,сул „, „л е лцсг бцх*, ссл' / ...ссл /гг "/ асл' Коли ,ус,..., ф - Фундаментальная системе решений уравнения (2.6), то общее решение зрого уравнения имеет вид (2,Э) фгбх/ =~~~~ ~ " см 1/г .
В некоторык задачах приходится искать ранение дифреренциального урввнения не по начальным условиям, а юо условиям, заданным на концах интервале. Такие задачи называются краевыии (граничными) задачами. При решении краевой вадачи находим общее решение данного диг)г)еренциального уравнения и, используя граничные условия, получаем систеиу для определения значений постоянных С/,..., С , подставляя которые в общее решение,находим решение данной краевой задачи. Ьв~~ ц,в п,в„,ц „ц „, в/ни,ц~ц„„,.„вц ф~-ф-ф=б, (2,9) , Решение. Решение диг($еренциального уравнения второго порядка с постоянными коэ$гйициэнтами будем искеть в виде у' е Фл ( д - постоянное). Подставив /~ =елли его производные и' /гг/' ' л лл.
гг о / ф =М' е з диф)геренциальнсе уравнение (2,9), получим для определения А" характеристическое уравнение: ед (с/(' - б'(-Ф=б/ или РА -~"~'-.гг =б. лл. г-- Решая квадратное уравнение, находим его корни М) * Э, А.', = - 1/2. Корни характеристического уравнения действительные и не равные. Этим корням соотвэтстэуей два частных линейно независимых решения: ,~ = Е л, ф, = Е Ус .
Эти решения образуют Фундаментальную систеиу, поэтому общее регпение данного диг(гйерзнциалгвного уравне» ния имеет зид л' сх>-с.,е с,е ц'л а // / Эплдд,п в ц вц в -«/ /ц=./! удовлетворяющее краевым условиям ~вс/Р.†:/, ~ бу/'Х .†.е " 24 Решенке. Характериотическое уравнение 1с -//л'а~= б имеет комплексные сопрякенные корни *с/в = уэ с' .
Этим корням соответ- / Гл. ствуют два частных линейно неэависииых решения: у - е снгсл', = е"л~,мл- . Эти решения образуют г)гундаментельную сгистег4у, г(н следовательно общее решение данного диф1еренциельного уравнения имеет эил,/гсх се с/пах с,е сц/гх,Подставив краевые условия з об- ах гл'.
шее решение, находим с/ =1 ~,е е , или с" I . Искомое а с' у' а честное Решение имеет виД о - Е'пл~сссгл -сцлл Х а пцц,цццц днцц ~ вцф /Уф Ф( б, Решений, Характеристическое уравнение д~бК//ац~Д,ВК=б или Ф Рс~У) -б, .3 .л л имеет два действительных корня: г) ~ О кратности х/ 2 и /ц -2 кратности Хг ~ 3. Фннламентальная система решений 2 =~л, -пл г -ал имеет вид ~ = с р =.х; ~ =Е ~; ~„=ле ', ф =х е Общее репгеггйе денного диДеренциель)гого уравнения запишем в виде -пл, -Ел" „г -ал слг- е /е.л, е е а еале;с~.л е с1с У 2 .с г/ /// / цп ац,ц.пц ц вц вц ~„„г /ц и -д Решение.
Характеристическое уравнение А'а/ 6/с ц Ул- - 0 г или И/с га31 б, имеет действительный корень А/ а О кратности с = 1 и комплексно сопрякенные корни Алз = +/Э с' крат- / ности Х 2. Фундаментальная система (гашений ймеет зид у, 1, ссцлц/я.~ в )/ ус/г в/Зл; у = л" сюлсЗ л' ф . л'сс/гв/и л', Общее решение данного дифгеренциаг(экого уравнения зайишем в виде // (л/=С /С сюл/Эл /.С лц/гв/Тл'/С, хссгл/ ул С лшцсг /7х а и г ' 3 ш д2ц ццд „„д „„,, а„, ц массой /гг, на которую действует сила, направленная к началу координат и пропорциональная расстоянию точки от начала координат, Оопротлвлением среды пренебречь.
Решение. Пусть л'( б ) полокение точки в момент времени б на оси ОХ, тогда /сдлг/ссг'б1 - скорость точки,ссв/хл'1/Мб ) ее ускорение, гг = - сгл - восстанавливающая силе. По второму закону Ньютона находим дибн)ерэнциальное уравнение двшпения сс'л цв/'л сг /пг — а: =-сгл или 7ст . — л.-б .
с~6 й д)1 'ф Н дй, ';Н 'ф ,Н ,:,! ' л' 6 (2,11) 2У Получили линейное однородное диКеренциельное урввнение второго порядке о постоянными ковКициентвми. Состветствуюшее еиу хврвктеристическое даэненне /с ссс/сдс =- О имеет мнииые корни А/,, = л ~а/л » ' с' . Обшее решение имеет вид „хсу/=с ам~ — 1+с удпс~ — б или хус/ -/(ссдт! уддчх ссг/ ' / г 1 .д где А (/С~~ Сд",' усдсс/д - С//с); сюлсг= с,//( Получили гармонические колебания с змплитудой 4 , нзчзльной сразой уд и периодом . /а д /д д'д Н '- --Гбд ТЬ(/д=)/ — „сд ' ссд«дд Ф, или 7 ссдд(/а Поимей 2.6, К вертикальной пружине жесткости Л , весси ко- торой пгвнеорегзем, подвешен шарик мвосой сп , удлинявший пружи- ну но /д .
'ттянуз шарик нв длину а вниз, предоставим еыу сво- бодно двигаться. Найти закон ззтухвющих колебаний шарика, если сопротивление среды пропорционзльно скорости шерике, Рмзение. Ось ОХ нвпрззим вертикально вниз, начало О возьмем там, где .ерик находился в положении ствтическсго равновесия, Нв шарик действуют: сила тяжести /с~~ =сдср ) ; упругвя вооствнввлн- эаашая сила пружиньц пропорционвльнвя увеличению длины пружины с ксзд(Фицидднтом пропорционвльности я сбт7р//б' с' //, - -//сдду /б / /,х д с" ) , и сила сопротивления среды Гу - с'/ /х)// /И, По второьуу закону Ньютона получим ди4$еренциальнов урзэне- ние движения Яи.,„г,или — ',.
—,,--О /г,г ~ д~о сс'сх' Ы .х б с~я' К вЂ” /~ 'д - с(б д,./б: 7тс сЫ Введя обозначения Гвд сд/~ ~, ас ф/с, получвем линей- ное однородное диФФеренцивльное уравнение с постоянными козс)сэи- ционтвми ,л а' л. «дсс л — ~ гс) — ' ь сс"'.х' О Ы/. Р Ыб Соотзвтствуюшее ему хэрзктернисстическсе уравнение 4 с /Нд'+с ' О г имеет корни А; —..-/)гф"-с д... Необходимо найти зеком звтухввс" юих колебзний, з зто будет, когда /У '- ссд О , слвдоввтельио «ории Ас, =-ду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
