Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Йдсь//ддс характеристического уравнения будут комнлоисслсе 'сопряженные. Обшее решение ди4ференцизльного уравнения Гб/- е "//~(с,ж Я-Г~ ' ггу~™ГК~~,~ В самом нижнем оттянутом положении шерика 8 О, .х = а , — с О, ДшЩ еренцируем общее решение: -8Р" /~с' слс'сой:рУ л с,хс'«суссм"'-„Ю~ б)" сбб ~сд Рс~~сЛ~~лссъ/а/-ф ~ с/Раею -Я сОЗГш-~ У, Подставляя ~ = О, х' а , /сКя //с с~б„) 0 вдешение и его производную, получвем с/ а, - а 8 с; /ссс -„с/' или с, =/а/////м' -яУ .
Находим злкон движения шерика: куб/-а е ' (ссж~ш9 дс~ +~ Йпдсо' — Яд б ). дд. сд д, д р д„„...р,.д т .,д ~ .,д ятникз массой дне пружине жесткостью д', если сопротивление пропорпионзльно' скорое~и с козКициентом пропорциональности ж Решение. Уравнение движения, согласно второму закону мзхв- ники, есть ддд.х - - /ся - х л' ( л' - смешение от положения рав- новесия). Введен обозначения о/с - 'с/ат, а/" Ф/дд~ . Тогдз урав- нение двккения примет вид .хс сум д а.„ л" О, Это линейное однородное уравнение второго порядке, его решение есть -/уб .Ш- -.Х Е СОГ/Сс» ° // где ссд = с . -/у ; о( - начальная суазэ., ,д дд Перно к колебаний с Прим р 2.В. Определить о, кон затухсния свободных коле. зний гока к клоссд техьного контура о ин: уктив остью л , емкое"ью с" и оопоотивлонием /дд , если в нэч льмсй момент времени весь в- ред с находится нз обкладкзх ко денсвтора, Рассмотреть слу сзй малнс ,зтуханий; Лд /сддс /<' l,'/ / Ршсение.
По ззкону Нирхгод(з; сс дсс дсс -"О или / — +,~;~ — )/ О. сбу 'с, л с с/. (2,10) Учитчьв. что с' /ссс))/(сд//, диФ)еренпивльное уравнение (2,10) приводим к виду '//тК б )'= О ~'О/-ус, // / сс ' / "о» /„7т«' корень хратности т (2.1у; Ф (2.13) г' = О, если ' с/т«'не корейь 7»»х» х»Асх. Ах „, А хА) и /г/ /а»хр с/х' Л. х ГА х- '/А»х- /ц /А .*/А)Г о»Х' I »хй»~"' Ассах сВд««/флс„ А/х«/у/3х", Влга х' ' "«7 х "ГА»саг,/)/ю /фу/'а„Фх;г х.с~Ах Ах "/„, А»«,х А.) о /(ях /«г х «»+ Я х / У )цг/г /7«л'~ /77 Р»хуссо»»л ©х/лага;гг 7 7/сх»77 7 Г х(АсОуЗ.л'Вл«/гуХ!, ««Л Ас с«зарх; Вс д«с/рулл х "» х ГА саух/'В/ ' ~~-'~) л« /,В« ..г~'7/х"Ятс/А х "; А .г 7 л 7/" са /А,)с«ш/д«с .гВсх" +Ь,/с ч/...
... / В» х В» 75«//Ае Л бФх»А7»х/гаглоьс/б,'„»х/ г«/грх), »77»х17 с«ш//глг Ц «тг/7-' Х Дггл//Х' 7/г//с»/(7777 ,"а 4 Решая однородное уравнение (2. 10) с постояннь7ми коефгициентами, находим -жб ~ - ~~ Р аЮ«7Л"., - был-77/7. 7. Ток в контуре Р, — б, б=»«»ф/Г/Гб~,или с'=г', 7' 2/ь сал»с«/а "7/7/, где бо =а/ ~7 ; угол (»/ определяется.соотношениями ФРЬ РС Са« скю)7/=- — — — У«/гу' — = с«/бс . у/» Г г»у а С 3. Ди7)7(еренциальное уравнение у»~)~а ~» ~~~ а р~а ь«= с»х», где а/... аа - действительные постоянньге),7»»х)ф- а, нввыввется лйнейным неоднородным ди47реренциальнь7м уравнениеи а -го порядка с постоянными коз»)7(7ициентами, )(аректеристическое уравнение соответствующего однородного дш(гверенциального уравнения имеет вид А /а,/с / а Р а Г/, (2,13) /7-/ а Общее решение неоднородного ди7(7(еренг)иального уравнения (2.12) имеет вид ~»х,/ »7,7 Гх')/~/х/ где ф»хт= аЩ *'...
"»а,Ц- общее решение соответствующего однородного уравнения; у (х') - частное решение неоднородного урав.-. нения (2.12). Для отыскания ф(х) в общем случае применяем метод /«агранка - вариации произвольных постоянных. 3 частных случаях, когда у" (х) имеет определенный вид, допускающий подбор частного решения, частное решение ~ (хс) находим методом неопределенньщ кое717(ициентов - методом подбора. Метод подбора (метод неопределенных коебг)и77иентов) частного ршления состоит в том, что осли правая часть / (х ) имеет определенный вид, то среди частных решений ди«)7(7еренпивльного уравиания »аг»/7-// «сх' /а/~, .а «//сг ы= е Г/а»х/ссг/./сс /Г) "-гяп г/ах), /ггк7- /гс /г '/' 3 где Р Гху, Г)„7/х«'Р многочлены степени а и са, ян найдется подобное етой правой части решение ~;х 7,~ ~с ~~ГР Гхчсахфх'+ 5' »худ«/2/ч-~:), Здесь ~ — кратность корней о» с Ю/' характеристического урав- нения (2.13) ( г' = О, если ск е д«' не являются корнями харак- теристического уравнения (2.13); 7/= 77»гх'Г»7, с/г), (' »хр Вс,»х ) - многочлены степени « с неопределенными действитель- ными коэфб7иггиентами, Различные виды правой части 7» (х ) и соответствующие част- ные решения неоднородного ди7)»геренциального уравнения (2.
12) приведены в таблице, 7 Ь1И«си« ОИС/ Ас, А/, ° ° °, Л В В/, ° ° ° 'О«.' - 77ОО77РЕ/7ЕЛЕН ц7«е 7««:.",7 «77«и77«:л7,777/е 77о« то7777777 с'. Ф '4( !' 1', получим систему уравнений пг ')(ля вычисления неопределенных коэт4ициентов находим ,К,,у', „ ,/ н, подставив ~,,~,,~ „ „, у в уравнение (2.Й), получим тождество. Сравнивая коэ44ициенты обеих частей тождества, полу им сиотвму уразнений для нахождения неопределен- ных коэ~фипивнтои. Поли правая часть неоднородного уравнения есть оумма различных 4ункций, то общее решение уравнения (г ггг)~ а г/(ч ( га ч'+а г/=~1х)Г,~(х]имеет зид г/бх) . / ях)+~ (ху+...~~,, где ф (х ) - общее решение соответствующего однородного ураэне- ния; ~ (х ) /г /...аг) - частные решения неоднородных уравнений +а„~гг )и, а ф', сга М - /'(хт /с'=/„, гю), )г, с с аша1 9, н,в..., р,*...р -.~" Ру'-~ (/Рх ~- олп) р Решение, Нмеем линейное неоднородное ди44еренциальное урав- нение с постоянными коэбг)ициентами и правой частью„ допускающей подбор частного решения.
Для соответотэуюшего однородного ди44е- ренциального уравнения ф~ я ф - у' " () соо~гзвляем хзрвктериоти- ческое уравнение 3/ '~ РА -/ .. С), корнями которого будут А, -1, Я„= 1/3. Общее решение соотэетстяуакего однородного уравнения г .х - худ имеет эид г/ (х/ = р р ' г Р Р . Чаотное решение неоднородного о /г уравнения будем искать э видеф/х)--,х'(Аа оя сх'> " )р, так как для Функции //х) =(/Рх"-Рл)г.- имеем с( ° -1, /г = О, следователь- но о(.!.В( = - / яаляется простим корнем характериотического урав- нения, поэтому у = 1, г~ = "' = Я, Находим / ('"') и ф (-х') и, подставляя ~, ф , ф" в данное уравнение, получим, сокращая на р, тождество - /тбх '~(/Рл.РВ)г г ВВ -ФЮ.щ /с'.х' -Гх, Сравнивая коз44зпгиенты обеих частей тождестяа, получим систему уравнений -/РА =: /Р /РА - ХВ =-Р =гА=-/, В=-Р, )) -"З ВВ "В -В о Находим чэотное решение~ =.
-(гг я Рл '~ /х')р и общее резекне ххл Ф ~ У-'' (х ~=~гхыр=гу(х)-с с ','с', р -(хая,г,тх)р данного урззнения. с г/ а ьш. и'Й ~ прей' Р»" уР нияг/ фф РВр ссуд', удовлетворяющее краевым условиям ЗО ~рО>=Р ~а]/) РрР/4 Решение, Для соответствующего однородного ди44еренггиального уравнения ф'~ ~~ я ф ог ооставляем характеристическое ураэне- кив С- . РА- .
~ = б), корнями которого являютоя е/Р = -/г Рг г Общее решение однородного уравнения имеет вид ,ф -- р с ~оауР.х с,Р ~х'г Рх, Частное решение неоднородного ди44еренциольного уравнения будем искать в виде ф~')-Р (АггггР-'~'В~г/г Рх) тяк как для правой чаоти )/(х) РОе са.сРх имеем и = 1, В = 2, слех, довательно о(г В( /д Рс' не является корнем характеристичес- кого уравнения, поэтому т гг, а = г г *. В -- В, )(ля нахождения неопределенных коэ44ипиентов А , В дибг)е- рвнцкруем ф дважды и подотавляем з исходное ди4г)еренциальное уравнение: Я~) — р (Аоалдх Вча Рлг), бП '(хт = р (Асо/Рх'-~ Влггг Рлг)+е ( — РАз'а Рх РВсж'Рх.) ф (ж! р (-Муагрх 'г/ВггггРх)~р (-./АггггРх -ЗВл'а ?х), .х Паоле приведения подобных членов и сокращения 'на 4 Р получим тождество (А ~РВ)гюхРх'~( РА ~В) айаг ' х' †.гсагРх . Приравнивая коз4ггициенты при иВРх и лга Рг в обеих чаотях тождастаа, А "РВ У =РА=/, В-Р, -РА/В =О ое ешвние р х)гюурх охиг Рх') Находим чести р и общее Решение ф(хг С~Р" аглРх Рр $' "л гРх Р ЙгпР~ «Ъ~гРЯУданно„ го неоднородного уравнения.
Подставив в общее решение краеэыв уоловия, получим систему С '/ / —,у /, э о~р ~ >Рр ~ Рр х .г' Находим частное решение =р схгРх»е агщРх >Р/аг Рх ). Эаа 2,П. н ~ я р„д~щр кения у /с = Лл. — 8л', удовлетворяющее начальнь»м условиям /У .Ф а(с»7 - У с )г77 = - б у'Уб7 = - ~б',,~"Сб7 - б. Решение.
Для соответствующего однородного уравне»»ияу~~~р б составляем характеристическое уравнение А' с+ = б, или .» .л З'»'/ //7-' б, корнями которого являются Аур .— - б„яз Гс, Общее решение однородного уравнения имеет вид у'сл'7 с,ссх с ссжл с л/гл Для правой чести,7//л/ -/зл''- бл имеем ск' = О, с/ О, следа- ветельнооС е /У' = б корень характеристического уравнения кратности 2, пазтому х = 2, /г = б' 2, Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде фЛ'7 Л" »Ал' /Пл'/с/,)или у»(х7 Ал'~» с»л' ~~с/л', Подставляя )/ Ь~Ал.~ Гбл- "Л/Р, р/~=.РЬ~ в данное неоднородное уравнение, получим тождество ,осА/срА .,бб.. с„»щ щ Асл -бл . .г Приравнивая козКицие»»ты обеих частей тождества при адинаковьщ степенях л , получим систему 7'аА = Уса бб -- -б' =.~А -с', В=-./, 3 -с/о, соРА /Гд = б — У Нахсдии частное решение ~Сл'7 =Л' - -'"": - /"л' и общее ре- ..» я жение фсл/=фсл7фил7=~~/сс»л'/~~сгггл' с лс»тл л" -л' -/»»Ь"'даннога уравнения.
Находим; к»» Х 7л7 = с» — с-хс/г х' /с сг/ул" /фл'-Зл' -с»/»л" З д',' 'Гл'7 =- С с/г/гл - С Ыгл ../ол' -бл --', зс З ' У с~а»'л'7 = С~ Хс/г л - ~~ сг Лл Фл - 6', Подставляя в общее решение и его производи»»е начальные условия, получим систему уравнений для определения С7, С„, С С+ С;/Ск» У С/С -б =>С .--б, С =б, С -/, С/ ="- б, -с -Гс--:»б с ' с ' у » -С -б =с7 Ф з Находим частное решение у сс/ул" - блс/г л'/.л" — л" — лстл неоднороднога уравнения.
в» » » »», н » »»„ »..... »». . Щ»»3з с' »//)гл, (2,14) Решение. Для соответствующего однородного уравнения /б » с» »7 Нс»7~ л -ф.бсаставляем характеристическое уравнение /Р -/а б или Ф//)й »т7 = б, корнями которого являются 4) -4 Ллт= "Л', Общее ре»гение однородного уравнения имеет вид б//л7 с/с/ "'л~С с "'л'~С' садГл'+с+хслгл', Для правой части Я~бх7=ЗРз( имеем ос/ 2, 7З/ = О, следовательнооС У /Ч с' Сг - пРостой корень характернстического уравнения, ,/ павшему х =с, /г С = б .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
