Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Частное решение неоднородного уравнв- 7 ния / »» р'~- /6р 3 ос (2.15) ЬГ »л будем иокать в виде ~ Ал с, Подставляя ф "Алж' и р' ЗсгАе~"" Уел с' л в уравнение (2.16), получим после сокращения на Р" тождество 32А ~ 32, или А = 1, Находим чаетиоз решение с/ л с ~Л' уравнения (2.16). с/с Для правой части,/'Фу Лл'лс/гл' имееи ос = О, „с~,, 1, позтомус~ л' 8,с' / с' не является корнем характеристического уравнения, следовательно с» = б, /г, =- б, /»г» =с, ~' /»»сгл(С//7"/', Частное решение неоднородного уравнения ~' -К~ Ллллл (2.16) будем искать в виде 7'=64 л»,У)схглл /брл'~/»г)а'/г л .
Подставив,ф~ и ~' = ссАс~сггл.-гп(»щгт/с/(,л/В)сщсс (р»м>ящлв уравнение (2.16), йолучим тождество (/А хс/гл'-4бсг/лх'-уЯА л'/37схюл -ЛТ/Пщ //У)л/г л" ш Лл хсгг л', ус Сравнивая коаКициенты обеих чаотей тождества, солумим систему с/А - Уб М = б - //,с/ - сб;/) б с/ =РА б, сг = — З=-//, гс б. убА б 7 ' лб' - МЗ -Уб Находим частное решение»у =,///7//б/ сснпл'-л'асг/г л' уравне- »г»» ния (2. 16), а также общее решение диФФеренциельного уравнения (2,1а1; л/СХУ ~~~ХО ф«СС« =О««СС(Х) «с~ссьу2.х «с ус'«г2м'«-х'е" ср//я сруб -„х~ «с~ 2с" .сссссс.уз, э р н ь - ..., а „,„, П соединенных источников тока с эдс ясе) е сс~сьсе , индуктиэ- ностью Ь и емкостью с" , причем сс« -///2 с' (случай резонанса), Найти закон изменения тока с в цепи, если при Е ~ О с' = О ссщ')/ЫЕ) = д, ю Решение, По аакону КирхгоФа с=(Е)-Š— = схс сс'Е с.
где с)« - заряд; с - так, с',./сф)/(с(Е/, ДибФеренцируя обе части равенства по Е , получим диФФерэнциальное уравнение цепи сь' с с Е,,~~,~ „- - - Ес.~г 'д ом( . (2,17) Получаем линейноа неоднородное ди4$эрэнпиальноа уравнение второ- го порядка с постоянными коэбсйицивнтэми. Состветатвуюшее однород- ное уравнение Е((с( с')/(с(Е )/ «с/с" д имеет харахтерис ,г имеет харахтеристичес- кое уравнение ЕЕ./с «/ = д , корнями которого являются /с =г'/)/2с", Общее решение однородного уравнении имеет вид с.' (Е) "С/ шсьл~=-- «ддус«ч/= (, Е ьЯсл " Йд' Ч аатнов решение неоднородного уравнения (2,17) будем искать в виде с' Е(Асюлс Е «д«х««ссс(), так кэх «гс"'=-' с/«сс" явля- ется корнем характеристического уравнения кратности 1, Ди~Фе- ренцирул частное решение, находим: а(с щ =Ассксс Е «Ю)ьггсс Е «с ( Асьь1ссссс Е «Е)с, схщсыб) 4 сс«с с~~' и-2АссьтсггссЕ ««ос%ос'эсс'Е «Е (-Асс сс" Ус< 'Е "Осс ус«пс 'с).
Подставим сч и ссш( сь )((с в неоднородное уравнение (2. Г71 и, гь/ ЫЕ') учитыяая, что Есс'-//д = Е), получим тождество /«(2Ашьс/тсь'Е «2Ьсс'схстсс'Е)ла /"ссуд«ош 'ь.т -',. ' д ='/). Н «т, эшли частное решение неоднородного уравнения Ж ):- -(Е/(2МЕ сьал(Е///,д ) ', Находим абшеэ ращение неоднородного уравнения: !ы с 1 с(6) --с' (Е)«с'(Е) = с сс у = — «с", щ п =.:;. " -,—. с с« т " -: ' '/я..: ' ( сс Аи Й/Ч Вычислим е/Е.
'УЯГМ И 2Ь ГС ЖТГ Подставлял в с' и(ссс)/ЫЕ) начальные условия, получим с/ -д с2/~~С' «Е/(26)=д, или 6' -(Е«2сс)/)(2/.), Находим закон измене- ния тока В цепи с' =(Есм —, - /Ы' хс«т )=,.) /- Е « -."~ 2Е йд ~ЬС Шшчсд, с.,д...„.р. ° . с ь,.р,~ ка с постоянной ЭДС, равной Е , через сопротивление /с и катушку с индуктивностью Е , причем А'е* (тМ/д . Определить изменение зарядного тока конденсатора с' са временем, учить1аея, что ЭД лС самоинлукции: Е,ю - Е,((с(с)/(сс«Е)) Решение. По закону Кирхгофв Е-Л((с(с)/(с(Е)) = /Рс' «~/~; или для заряда, учитывая, что с/ (с/с'~(КЕ), Е с/«Аьу ~с//с" -Е, О(д)=д ~(д) д.
Характеристическое уравнение при соя /Е/д имеет к)ащрв~й корень, Решение ищем э андер-Ед«(с)«аЕ ) . Находим закон изменения зарядного тока; Е Ф гс Е сс.ч.с«м р р,«дсс ц * л .3 г Гх -чх, д.е-схпс/7д. ального УРавнениа с) «2(«-,Рсс/=)-сс «ж с««сл + асах «лт .сс не вычисляя неапрэделб(сник коаИициентов, Решение. Дпя соответствующего однородного уравнения фл«ф'-Уу д составляем характеристическое уравнение л е«2е- б)« д, корнями которого являются д' =-4 А, = 2 . Общее решение однородного ураэненил имеет вид ас/,(Л)-С;Е ~«С,Р ", Гх с Находим частное решение )с (я') неоднараднога уравнения ул 'у ф - ф /-л , Для правой части Я (я) У-.я имеем сс/ О, ,/у = О,' тогда ас « В с' = д не явллется корнем характеристичес« кого уравнения, следовательно 'с/ -д «т, = Е/ - 3, поэтому част- ное решение будэм искать а виде ф"'-Ас ~ы«А«~ '""" ' У.
где А А А, А — неопределенные коэбьУициенты. сю Ур яс 3 Находим частное решение ф ся ) неоднородного дисауэренциэльного ,уравнения ~л«Ру'-ф .п«блс' лс' . для правой части ~~(я) ЗО составляем характеристическое уравнение я »пп/д'/»л =(/. По ко ням а а р характеристического уравнения находим Фу аыенл= тальную систему решений ф, Гх') и у~ Гх) и общее решение о но ого уравнения (3.2): 1гГХ) С/о)/ГХ')» С (/ ГХ)» „»~~»» (3.3) где с/, с - произвольные постоянные. Общее ршпение неоднородного уравнения (3.
1) методом Лвгрвнка (вариации произвольных постоянных) будем искать в виде уГх') = с/Гх'Ц Гх')+с,/х')»/ Гх), (3,4) гдеСГ.) СГх) н г - еиэвестпые Функции, производные которых опрвделяеи из системы алгебраических уравнений: С/'ГщгфГХ)»С'ГХ)/ Гх) =/) С ГХ') ыу/ГХ')»С ГХ;)»/, ГСС) Г)ЬС) '(Г» (3.6) р д итель системы есть отличающийся от нуля определитель Оп в'ел Вронского Фундььвнтьльной системы решений ы Гх)»/, Г-'г) и система имеет инс ы/ ~, '/, х', поэтому ет единственное решение, которве мошно найти по Формлам Крамера; У) ' Г ) $ ~л,,ФЖ ~~ ~М) г е '»ь/ г М' ф/ »Г/г ~ ; ~ - определитель Вронского решений $~ Глс) н ы,/х ), Интегрируя, получим с/Гх') -/)-' — — Их+с/, с Гх)-~» и'ы сь»х»с » где с/, с - пронввольные постоянные.
Подставляя С/ГХ') и С,Гх ) в решение (3.4), находим общее решение неоднородного уравнения (3,1): ~/~х) =- Ц Гх')»с ~~Гх ~ Гх')/ — ~ — сГл" ~„Гх~ ь ~ Г/х; ~',))х) ф./Ь') где Уо(х')~сф/х)» с~ф Гх')- общее Решение одноРодного УРавнения .2),ц(хп--~Д~я,, ~Гх))/ыд сГх»,~,,~ИДЯ(хИ(ьГ) Гх. частное решение неоднородно~о уравнения (3, 1)'.
Заиечвние. Если при отысканик с;Гх) и с,Гх ) проиавольные постоянн~е С/ и С, равны нулю, то найдем частное ршпение Ух) неоднородного уравнекия (3. 1) и по теореме о структуре общего ре- ЗВ кения неоднородного уравнения ФГх7 Э'х)»'УГ»" ) где ~ ~м)- общее решение (3.3) однородного уравнения (3,2).
»л, ».» .»1».в . ~»к,», „, » (3,6) Решение. Имеем неоднородное линейное диФФеренциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэФФициентами и правой частью, ке допускающей подбор частного решения, поэтому общее решение уравнения (3.6) будем искать методои вариации произвольных постоянных. ))ля соответствующего.однородного уравнения ч-+у ».у и) Ссотаапявы ХараКтврнотИЧЕСКОЕ урааивинв Л' -~Л" У'-Г) , опстсрсе имеет хомплвксные сопРЯкенныв коРни )г/ г)гб; дг г-г»'. Им соответствуют частные линейно независимые решения (Фуудаментальквя система решений) однородного уравнения ~ Гж)-С ~~лгх, Гх )=,о ~;дгх поэтоыу общее резание однородйого уравнения гх, г — ж глс, гх' Гх) с/е сп»л'.т+с.,е л,'лгх, и где С/, С, - произзольныв постоянные. Общее решение неоднородного уравнения (3.6) методом вариации произвольных постояннььх будам искать в виде .
гл' ~ГХ) ~ С/ГХ)П» бЮгХ' ' С,ГХ")Щ Х»ЬП гХ'» (3.7) где с/Гх), с Гх ) - неизвестные Функции, производные которых определяем иэ системы алгеб аических уравненийл р гт, », гх ф .Ф" » ° п»~х х»»» ') / с Глс)Гп л/и ~х ) 84'лух с г, гх, „с'Гхбе~ ЯР/пгх' " »т г„. г. » гх' гх' с Гх)Ггс ппыгх Л» .г»/и гх)/~~Гх)(гс .я/и Г» "лог / Фг с»плг» ) гх. гх лп/ь г Сокращая на е и ге и вычитая иэ второго уравнения первое, получим: с ~х)сс»згх -с'Гх)л»и гт Г) ,» -с'Гх')сьс»т гх»с'Гх)июэ»х' /' '' " л'»пгх удовлетворяющее начальным условиям р'а/ /26з 2 и(сч 6г ?. ф (3.9) 1'ешение, Уравнение (3 8) являвтоя неоднородным линвйиым диКе~~енциальнмм уравнением 2-го порядка с постоянными козбфчци- ентами и правой частью, не допускающей подбор частного решения, повтому найдем общее решение уравнения (3.8) методом вариации произвольных постолнных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
