Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786)
Текст из файла
Бесплатно о Из~цлельетао МГТУ , 1990 1 1 ! Государстаснный наннтот СССР по аародооыу образованное 4о А, Ф. ПЕЛЕВИНА, А. А. ГРЕШИЛОВ, Т. И, БЕЛОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬН1т1Е УРАВИЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С> '~ ~~//,-~ Государственный комитет СССР по народному оораеованив А.Ф.Пелевина, А.А.Грешилов, Т,И.Белова ДИФФЕРЕНЦИЙЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПСРЯДКОВ Методические указании по курсу "Вмсияк математика" Под редакцией А.Ф,Пелевиной Иодательстяо ИГРУ 1989 ББК 22.ЗП П24 ПРА Пелевина А.Ф., Г'ре~эилов А.А., Белова Т,И, Дифференциальные уравнения высших порядков: Метод, указания / Под ред.
А.Ф.Белавиной. - М.: Изд-во МГТУ, 1989. - 58 с, Х5сЗУ 5-7038-0227-Х Рассмотрены методы составления по (Гиэическим условиям задачи и способы решения различных дибберэнциельных уравнений высших пордлдрз. Мвтодйчвские указания предназначены для студентов ьктуй йм,Н.Э,йаумана всех специальностей. Рецензент П.О.Громова ББК 22,311 СО ) МГТ» им.Н.Э.Баумана, ай . 13л ГУ ИРБНЦИАИЦ(НБ УРАБНИНИН БМОИИИ ППРННКОБ, ДОПУПИА(НИИИ ПОНИМБНИБ ПОРНДКА 1.ДиЦеренциальным уравнением л-го порядка называется уряв- н ние г"~Г;сО м ' ~с"...
м ' ~/ б , зависящее от независимой пение ж;сО /,' м",„,, м'"' Ф переменной ж, искомого ре~пенил ~Гжу н его производных ), или дифференциалов, Дифференциальное уравнение .т -го порядка, рвшаеиое относительно старшей производной, имеет вид ~""=~~-;~,У,'~,"...,Р'" "), (1.1) Проинтегрировать ди48еренциальное уравнение - значит найти Функцию )' (э(х'>, после подстановки которой и ее производных у ГФлд ...,сИ~" я (г Гяув уравнение (1,1) получаем тождество относительно л : Рээ (эм-/1 Ах~ = — Гьх Ртяу (яАжр „, )я Гх)), Звуча Нови, Найти решение диЦеренпивльного уравнения удовлетворяющее начальним условиям". (Г' с) с~ сх ~ с~ "ф ф А с~ '.ю выз".л.зэлз.~ эзжв и' Коши, Если в уравнении (1,1)бункция.д.х; с~у ' „ф от л ) и ее частные производные Щ~(~) Щ)(«~ 1,..., Щ)/('~ ' ' ~~~ непрерывны в (щ+ 1) мерной облвсти, содержащей точку ( ж;„~Г, ~ ',...,ф'~ч ), то существует в окрестности точки х„единствен- ное решенйе уравнения Ц.1), удовлетворяющее начальным услови- ям (1.2), Решением (частным реюениеи) дибх)еренцизльного уравнения а -го порядка называется любая бункция от = Ит-я ) , обращающая в тождество ди~Ференцнальное урввненне.
Общим рсшеяием диб()е- реициального уравнения л -го порядка называется функция у = = утл, с;,„ , с, ) , еввисяшал от х , а темке от г произволь- ных постоянных с'„ ..., Г', которая для любых с' . .. Г' является /~' ! ) ~с решением етого уравнения и из которого можно найти частное реше- ние, удовлетворяющее заданным условиям, Общим решением диКеренцивльного уравнения является иноше- ство частных, Если известно общее решение )'= у'г:х; с,, с ) l»'''р рг уравнения (1.1), то для решения задачи Коши постоянныв с,..., с определяем из системы уравнеимй р 'ф, .=- (я('.ж;, с~„, г с„), рр (1.6) ' ) /( ) ср)о(~ — ь)/),я:)-ф.с ° с,,х+с, г »5ьж 9~х' с.х" фгг~д ~)т.х)= й(сг5х(»ру "х Общим интегралом дифференциального уравнения называвтоя уравнение рОг=-х„ ~, с „ , С„ ) - С) , определяющее общее решение' дкр(фзренциальноФо уравнения (1.1) как неявную функцию лги рг произвольных постоянных с5, „ с .
рг' Дифференциальные уравнения второго порядка (при ~ ~ 2) могу иметь д Кс,у у'ц') О, ф' = ~(х;д ), Згс)ача )(ошн, Найфн решение дифференциального уравнения ~"= /).х;ф,ф~ ') (1. З) удовлетворяющее начальным условиям Кгх )=с~~, Ф г'.х' )=у (1,4) )(ля дифференциального уравнения второго порядка общее решение у = уг»'.х; с~ с, )зависит от,х и двух произвольных постоянных с5, г,; . наиболее йросто проводится интегрирование дифференциальных уравнений рх -го порядка„ допускающих понижение порядка. 2, Общее решение уравнения р 'Р'~ = у"рд-) находим последовательным кнтегрнрованиемг г.-д ' --Р) = Ц<х135с+с, ф' =Я/)(х)с(х~с,)дхр.с„„,, "'(1'6) ~~ху /о~у~ ° ~~~ )сух,, с~,'гх с.
рг.я нн""'и»». н,»„,», =С5»''чрх)/р'гь5'.т) н частное решение, удовлетворяющее нчальным услоаиямро)= Сг, уЫ) =- У, о~ )О) ), Рвпение. Последовательно интегрируя, найдем общее решениег р» р подставляя начальные условия ж сг уГ0)= ) ,,уЮ . у ,)тй"0 в (1.6), получим у=)г.С5, ) С... С) С ; следова- тельно с с( с ), с = с) . Находим чаотное решение х", Х= ' =.х'-бг (сп»5.х (, ~г».»,'рр. » н» р н ти со скоростью Зб км/ч. Через какое время и на каном рассто- пут внии он будет остановлен тормозом, если сила сопротивления д ви- жению после начала торможения составляет 0,2 силы тяаести траы- ваи7 Решение, По второму закону Ньютона дифференциальное урав- нение движения центра тяжести трамвая будет ргр = - Сгпоргргр р у р где 5 - путь, пройденный за вреия Г ! ррр - масса трамвая; у- ускорение силы тяжести. Интегрируя последовательно, получим (гг51ыб) = -у с 5, 5(б) --С/У~б "с,~ с,, (1.8) ПОдотавпяя НаЧЗЛЬНЫЕ уСЛОВИя С -б, 5=0 Ф5)/Ссгс)- або/т =lд Ч/С в равенства (1."р) и Ц .8), находим с = Уб, с = »'.) ; следовательно, Б=йгХ))рр'сМ Ю-дфоп, 5 -бф р/Сг' .
В момент остановки г"=О, т.с. Н=)%с.рр) = э,lс . Из соследнвй ф рму 5=)О Р-б) Рб'.гКС))-25;5 нр д»,»,»~ри» р» р»пп скоростью Ю по плоскости тзк, что он вначале скользит без кач ния (участвует только в поступательном, но не во врещательном движении). Спредалить время, через которое движение шара превратится в качение без скольжения, если коэфрицизнт трения схользения равен„и . Использовать второй закон механики для вращательного движения Мсуцг/ггЕЕ/-г'г(,У - момент инерции. Лля кара ,У =(О/ЯгггХО ; аы - угловая скорость; М вЂ” момент действуг пщих сил). Рещение. Согласно второму закону механики для вращательного движения: Жи у —,Е = Рр тгу, Интегрируя (1.9) с начальным условием сиЕЮ Ег , получаем е г=ЕЕирггтлг)/У)Е (фр) ф<ф/лО)Е, Шар начинает катиться без сйолЪкения, когда скорость его вращения в месте соприхоснсвения с плоскостьщ будет равна скорости двикения шаре, т,е, когда скорость щзра равна скорости центра масс: ьг„„с,с л'ч „, - ,".,'„, ,„ и4 Для центра масс уравнение второго закона механики следувшеег гуг я = ии тг~ аьОг (1, 10) Интегрируя (1.10) с начальным условием к',„Фг' = ьт и подевавляя з решение юс„, =-,иуЕ г гг значения х,„мгг, с ~ ч,и (Л/г) ((ирЕ)/4, получим (я) Ег.
уЕ ) - - иггг Е+ ьг или искомое врем% Е = ЕР13) ("'~4 ~). З1гд!,4. г ~ 'д „щ О ростьп гЕ относительно системы А и системы координат Л' и Л ориентированы тзк, что направления осей Е(я и Е1я ', б(у и ф Ол и Ог совпадещт, то координаты и время в систамах А и овязвны преобразованием Лоренцаг 7 "я н'~ мс г е ,/- -,' /Е- --, с" с* Какое ускорение требуетсл сообщить ракете, чтобы пролететь расстояние 5 за время Е в' неподвианой системе отсчета А" (на Земле), Ускорение а постоянно в системе отсчета, связанной с ракетой. Р~ение. Ив преобразований Лоренца; Ф гЕЕ'+ тсгл' а о ' 1- --у с" с (1.12) чиы Пренебрегая з ( 1.
12) бесконечно малым второго порядка, эолу с(и':.(У~(Е-/3 ))4Еи,,гр "~г/с. Так кзк из Ц.п) прсмелутхи йЕ и гЕЕ'связаны соотн кием сЕЕ '- УЕ-фг ОЕЕ, следовательно, ускорения в системах и я''связаны следующим образом: Ысс У сЕгг ГЕ-Ду:Г'4' О(Е По условию задачи Г Егг )/(ОЕЕ! Сг г.г гтОЕ подо глэхяя а з получаем г --.—,'-' . Ег(Е-, У") '-гг~1-(-' —,'.~3 ~ суЕ" ггг1 Интегрируя гчзжго (1.14) с начальнымя условиями игсг) Е( яг и обозначая луЕ) = у , получаем выражение, определявшее у ниа ракеты: гг .тсгг'~Еу%l-((сЕ)/у ) ', Из этого вырезе следует: чтобы получить скорость ракеты, блиэкув к скорост света О , т.е.
г уг'Е г'-- С , требуется бесконечно большая чино ускорения. Но, о другой стороны, з обычных скоростях Скорость на Земле (пс Оси бх )г + гг а'.я' а'л ОЕЕ и 'г г.г и ОЕŠ— 3У сГл- и ьг ' — — /ж— с" ОЕЕ с Пусть в системе А', связанной с Землей, з момент времени Е системз координат А' , связанная с ракетой, имеет скорость гг В следувщкй момент вреиени Е г гхЕ скорость ракеты на Земле: и г гЕи и гсЕи= —, иа и' гг г- с б «сб и сг ~(гхУ6, Это вырвпение для ускорения известно из курос общей Физики.
3. Порядок диФ3еренциального уравнения ( (х,ус ',„,, ф / -й, не содерквшего явно искомой бункции ас( и ее производных у ', заменой ф - Р(х) понииаетоя на (с . Если для уравнения ((с )) (с') (-(х г Р' Р(" "~)-.,днайдено общее решение р уг(х, с(, ...,с „ ), по из уравнения у( (с'(л; с(,„„ с ) последовательнлм интегрированием нахЪдим общее решение ~ - ссг(-'~;с;,...,';,) данного уравнения. ДнсП$ерзнцквльное уравнение Р(я;~',,у ) = с) , не содераащее явно искомуш Функцию у , заменой ~' (г(х) приводим к уравнению первого порядка: "7х; Р, Р') (). Шг с с.
н,с,,с„, р ....,„ы,р, „„с „,а, ы Ф хс/"= у'г~'()г Х- Решение. Данное уравнение второго яарядка не содеркит явна искомую 4уащю у; следовательно, уравнение допускает поншпзние порядка. Подстановка ф' )гссп), ф"" Р (х) приводит данное Р УРзвнение к одноРодномУ УРавнению пеРвого поРнакв;хР ' "Р 'Рсагсг или й.Р)/(с()с) /г/х сссоl"~ ~г()у'гс),Приняв Р/з = и(я), Р и х :Со с~и †'„ -,х †, ~ и , получим ди((ггеренциальное уравнение с раодзляющйнися переменными .л((с(с%с(,х)) *- и (рс сс или ссссс)/(и (ли) (сгх)/х, Интегрируя, находим сгг (с" с ()г 1.х(+6г(с' й или слсс с ж, тогда и -6"' .
Получаем /)-хгс~~ Ялиф'-.хг~с~=а У-.. /хг ~с~(х . ИнтегРиРУЯ по частям, получимг ссх (, сгщ' х ггх ) с(.г лг с' но с с' л ~~--У гя = — Р --,- /Сг ( =:-. ~ ' --га .„' ( с' с сг.я', . с;л Общее решение данного уравнения) гсс =як/( )с' '" - с ((с,. )с я с,, аеасс "'~ ~ аыс ~ ° гонения Ф' ч лф с / =(ггг с/ удовлетворявшее начальным условиям уО) = -,), г( с)) = - (, / ((~ =(г. /с Решение, В данное уравнение третьего порядка не входят явно искомая бункция ф и ее производная ,/ '; следовательно, уравнение допускает поникение порядка.
ы ПРимвм У =Р(ос), тогда с(::((гг).'т,ПолУчаем линейное ((с(ч )' неоднородное диКзренциальное уравнение первого порядка: сФ Р сл.х, ( Р Р ,' , ияи — + х ~ +Р =слх г(, а(х х х гх Решая уравнение метадон подстаяовки р и(х) гу(х),или — =ьг — ти приведем вга к Виду (1,1Ь) Лля определения и(х) и ~'(х) решение уравнения (1.15) к решению двух урзвязнийс с(и и сЫ бл х;( И первого уравнения находим частное решение и(х)г з с(и с(х, (л)и ! Эх! и-х и сводим Подставляя и = ( во второе уравнение, находим общее решение ) гг' асх ) с( ~ ((' я ()~(х °,>ся /(Г х () (~ х о(х или ОРл=хь х -с(.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
