Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 2
Текст из файла (страница 2)
так как Р=идх) ьг(х), нзходимР=бгх с(/х, илиас("=с:гх ~с(/х; используя начальныз условия прил ~ 1, с)' О получим б 6г/ь с,, С( б Интегрируя ~» х йахадим у'=/бгхс(х, или с('= л'6гх-Хя С,; 'используя начзль-(--(сг => с' -с). Интег- рируя у'=л с"гх- х, подучим ~ „/(х(лх-х)с(х . Интегрируя „й 6~ хсг'л -/сл с х -/. ( (х(сг)6гх-х)(с(-~фсСу находим ф (х/д)~гз..
1 -(3 с г)/4' ~ сп ,' используя начальные условия прим. ф 1/4, получим (/с( -(У/т) с с) 4й сг ( , получаем частное '(Бис:*- сЗ '*г п сл. ъ.. -...с;,,~.„„, "РЭ АДВ Ю 6 * без начальной скорости. Сопротивление зидкости прямо пропорцио- нальна скорости тела с коэКипизнтом пропорциональности А . Най- ти закон дзиаения тело и скорость установившегося двикения. Решение.
Пусть б ( С') - пройденный телом путь за время б , его скарооть кл =/ср/у)//сс»а), а ускорение с ~=/с/"Ъ)//с/С ). На тело действуют сила тяжеоти сру (по направлению движения) и оапротивление жидкооти А"ст- А'/Мл!///сс/б!) (против направления движени ).
По л о второму закону Ньютона дифференциальное уравнение движения тела имеет вид /р уа'/~!/ к»ба!) /ру-А/Сс/у!//ссб! . Найден решение диКеренциального уравнения /сс б)/с'с/б ) ф— (А)/срр) С<дл!//асб!), удовлетворяющее начальным уолавиям при б ~ О, ю ~ О, ьг /ср/л)(ЫС!" О. дифференциальное уравнение не содержит иокомой амуниции я . Так как сс/к!//сссб! - сг/И! и /с/ л)///сс/С )-/сМ//с/б) получим дифкреренциальное уравнение первого / г порядка о разделяющимися переменными: с/ср А- сс/сг у~- =р — — „сг, или — д.— сс/6 .
с) - — ыр интегрируя, полу»гик — — 6т~р- — „Ф~ С с, но при С = О, с» » позтому находим с/ ~ //ррр//» ) ~ск с) ) Функцию сг( С ) определим из урзвнег)ия срр А »7'7 с/ »77 - — с/к ~ а - — ск ~ г — — Ссссо /» и после преобразований получим срр лз»С ~~ -йс А с- —.С вЂ” ~- л — ~„— -е или г-..-д4/-е "') тогда /с/л///оЮ-6 у)(А </-е с ), Интегрируя, найдем си» с '»р з/б)=-~.5'-е к)сИ =ьлб)- ' 26т А',,!уе ' / С, При б О, у= 0 получим сд -/у/ррр~)/А ), Найдены,' а) закон погружения тела под действием оаботвенного веое при сопротивлении жидкости пропорциональной окорооти".
у/б) А/КИС- — )КАК» 'ч -/Р)! б) акорооть двкженияс кт с//7/!//с)(/-С " //А/гп)б! ) . Найдем скорость уотановившегооя движения: с'п 6» т 0 -,й)~ — С/-Е '"' ) = "У. с»р р * р , р,* р,, „,р рр,„ „ ,„,р, П име 1Я, Пл 200,.„/о м/ , а вылетает из доски, пробив ее, оо окораотью 50 м/о. Найти в мя вижения ре д пули через доску, если оапротивление доски 10 движению пули пропорционально квадрату ее окороети. Решение.
Пуатырр - ивова пули; б - путь, пройденный ею за время Е ат момента входа ее в дооку. Дифференциальное уравнение второго порядке движения пули через дооку: с(са сй — =- ('уг) При /ср/л)/сс'с/а) = сг получим уравнение первого порядка о разделяющимиоя переменныыи: ср/с/' " /Ы' ср/сг * /р/ — = -А" су или — „- — — кя или =- — ср/б, с/б ' сСб /'О р кя Интегрируя находим / /» =- — С "С К!Р /77 / ' А — / С/ Падотввляя начальные условия б О, с/' 200, находим 200 = 1/С кли С/ ~ 1/200, Найдена завиоииооть окорооти двикения пули через доску от времени.
> ~' г0//0 или (полагая А/»"' "-с!): (1,10) 100 / р '00юб О/ = --. 0»с//ргс/С/срС!. / су ОПрЕдЕЛИВ Ив ПюрВОГО ураВНЕНИя /'»РС!0»НА Е И' ПОдетаВИВ Зта ва второе находим О/ //!с~)'/р'с / =р "' с 0к '/, Падотзьив ь/ г00 г00б / Заменив в равенстве (1, 1б) ьк М5)//скб), имеем /сЮ//ссрб) " 200//200ссб //) ° Разделяя переменные и интегрируя, получим — Ото/гс!Оаб)с- сл, (1.1./) Подотзвив начальные условия с ~ О, 5. 0 в равенатво (1.
1/), получим сг = О, Находим вевиоимооть пути пули в доске ат времени //!сс!0тс//рг00срб), Полагая ьг бО е равенотве Ц.16) и б = 0,1 в равенотве (1,17), получим оиотему уравнений с неизвеотныьвг С и ю . значение сс в первое уравнение системы, определим искомое время полета пули через доску: Об,или ~ „-б лгО00) (с200 (ОСпссг 0000 6г сс 4. Порядок дифференциального уравнения Гу,,)",„,, устм)= 0 не содераешего явно независимую переменную сс., подстановкой у'=~~ у"=~Ф Иа-~ )' 'М понииается на единицу. Ди4Ференциальное уравнение сф ~ ', ф ' ) - 0 , не содержащее явно независимую переменную и , подстановкой у -)оф) у' )о((сф>)/(ф) приводим к уравнению пераого порядке: ~(и, р, р((Мр~(с~)) -О.
.сиз. на ью ° р а а.р ~ » э пения Ф сг о-к'- „ рещение. Дизшеренциальнов уравнение не содерзит явно незввисииую переменную .х , т.е. уравнение допускает панииение порядка, Подставив ас)' /зс)с), ~е=)з((сс)з)/(ф)), преобразуем : уравнение к виду: К)аа )з = Разделив уравнение на рс , получим уравнение Пврнулли первого порядка МР/(с~)-/сс ~~) - (Р~~~ ) . Подставки в уравнение /зсц)-ис~) у~) -Р =сг — си —, сЫ с1и с1 ьг сф и~ сф~ приводим его к виду сХ~ ~ с~~ фу Для определения функций и( и ) и 0 (ф ) сводим решение уравнения (1.18) к реаению двух уравнений ии и с(Р- и 'г.У ' — — — - О > и .у- = — у- 7 1 При этом мошно потерять решение У О ( у' = 0 не является решением данного диФФврвнциальногс урълдения) и (2 = О, т.с.
л' = с'э:0 0, у'- О,,у" = б обращает данное урвзцскис г стссс- дество,. следовательно, является решениеям. Из первого уравнения находим астнов решение и (р ): — 6т(и1-бт)ф >сф=у, ссси Ы и Подставляя и ~ во второе уравнение: сЯ уг ~" сЫ с)с) — -~-, или — г сг находим общее решение )У(~ ),' — Ос(~(сс„или сг =- сп! ф ~' С/ так как рй) иле)) Уф -~/(бт асс" ) или (ф/(с(и ) ®(бт(ч( асс) ) . Интегрируя ((бс у(сс))/зт)(ф)-- с(.х', находим ббший интеграл(с/с)бзл~у(~с~бг (т( - и ~с, даннага уравнения, ~,,ДЬ Э.
Н.И,,- 1 Э Д,И РЮЦВ мнения оу'хспс/ -я' гсзф я у' б , удоалетворяющий начальным условиям)гй „з/3, ~'(О) - ~, Решение. В ди((Ференциальное уравнение нв входит явна незави- симая переменная и , т.е. уравнение допускает пониквние порядка. Подстановкой у',аф,у)» са((сс))а)/(ф)) преобразуем уравнение к иилуря(о)/сс(~))кф-р сов~а)з 0 .
Сократив нв р (теряем решение /з * О кли ~ с ), получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка ((сф4/ф)ассар-)асс'лф 'у " О, Ре- шая уравнение методом подстановки: /азу')- сс~) се~), -~- = У вЂ” г и— ир, Ос,() стс) ф сф приладим уравнение к виду сс(т —,ьу- саста)~ сг — лсп~с( О. сС сс у (1.1й) Для определения $ункций сг(,у') и и (ф ) решение уравнения (1. 19) сводим к решению двух ураЪнений сссг — гсп е - ьгссц О сг — лсп гс* О, с(и сс сс б с ф Из первого уравнения находим ыаотнае решение с)(у ): с(с)' ~Я вЂ” ф, А(сг) =Ос (5сп~) и А~) =.
лс'г~~, Подставляя юс- лсьь~ во второе уравнение; — ламп ~~l= б или с(и - —,~ —, с(и г сс с Лс'и 'с) находки общее решение; и(() - сну с 0 Г, Так как 13 , скорость ша- имеем ! й !1', 2' м 14 10 Рф и~/ ~» находим 2222' )л~) Ярусу) Ууууу Или ~2" сарзс ялу . (1 20) Используя начальные условия я/у р ' ' у Р=ссууЗ'- ~"у;, бу,или г Уравнение (1.20) можем записать в виде — ' "- — ' — у у+ — ~~'~+ — ~М~ сох р-мому)у ууут ум'уз ч со г)у- — ) нтегрируя гсф)/гну~ -,)у/з)),Ы~, получим Ы,~уф-ф ф~Ъ.~или 6з)б~(4-) — )~-~д з ю ьзул начальные условии х у О,р .,Уу/з, получим убт (Ьз иу- ~ =2202~ или с - б. оу Нейден частный интеграл, л ( У „у у~ „,,1 2.2 ° 2 ~ ~ 2 22 у нениях.
Решение, Пусть л - Ог ) длина пройденного шерияом М криволинейного пути у)' л/Су . Разложим силу тяжести уу~ф шарика на две составлявшие: ~~ = -ууууул 2у (~о касательной к траектории); ,~~(по направлению нити), Сила ~» уравновешивается сопротивлесила нием нити, Так как при малых отклонениях уу'ч'л/2~~ /(У а,/ -(ууууу)/~') у ) , По второцу закону динамикй получим диур)еренциельное уравнение двишения; суй пу л (1,21) ДИ2р)эренциальное уравнение второго порядка не содержит лвно независимую переменную б . Подотавив уел с~ "х 49 2 ' С~ ЫХ вЂ” уз~'), — я =,Π— у получаем уравнение Ро) =-~ луизи ууз~фу--флаул, сф~ интэгРиРУЯ, полУчаемОо/~г) -фей/У)~~й'/2)) .
находим )ю ууууу- 'у'- у ил — () -Х или — -()с- ил Используя начальные условия: 1 ~ О, б Х ДИКИ й"2Ы/(Сй)) ~ ~У=У„ су=,~~ — -Ку" или с ~-у —,)) с' о Получаем дийуйеренциальное уравнение 2(У )2У С~ У 2ХУ ) — () ф "Х;или — =()-ух- схг' ГЮ ь5 ). л — -=ш -()22 О ° Интегрируя, находим )Ы ~ ~ нли У ~„', и)~ЯС С) у )Х »,', ))б (,у Используя начальные условия при 1 ~ О, у - у , получим б22 Уьх г С или Луз Су lу с4УЛС 22, Так как -'У„(»'22'г )" -б са~с У скУУУ„у »2 У222ч с*„) находим закон движения математического маятника г -,, са;„-~ ~ с ууу (1 22) Шарик УУ~ совершает гармонические колебания о периодом г .лу Ф~'фу . Предполагаем, что у + 5; ; непосредствен- ной подстановкой убелдземсяу что шункция (1,22) является раве- ннам уравнения (1.21) при любом б .
Поэтому рассматривать слу- чай, когда перед знаком радикела берется знак "минус", не надо. Ш 22 2 22, 2.2 УУ,.„,,У 2 ЩУ 2,2, У рой радиус кривизны з любой точке М (,х'у ч ) равен длине отрезка нормали, заключенного иэаду этой точкой и осью абсцисс, если кривая проходит через точку Л(0, 1) и касательная к ней з этой точке параллельна оси абсцисс, Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
