Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков (1990) (1135786), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Радиус кривизны А' и длина отрезка нормали уч плос- кой кривой выражаются соответственно формулами и уу' ~)ут") * у — уу-у (о) ( гак как для искомой кривой к>/>гг и уя>С>, то диФФеренциаль- ное уравнение имеет вид >г у/>> К' или, сократив на (//~~' , приходим к уравнению ,Д/' - ~' " » (1.22) в которое нв входит явно кезазиоимая переменная шт . Поникни порядок уразкения подстановкой~' /гф, ~" /)Ир)~/г/~)). Получаем диЩеренцизльнсе уравнение Вернулли первого пордцка; ~/> г.. ггг / или -~".- — =— к/гг >г> (1.24) ~Рс/~ >гг - > сф у г/р ' При делении на ро не теряем решение, так как у О, у с . не являются решениями уравнения (1.22).
Подставляя к уравнение (1.24) ру~ - и~/ >/~/, — ~ - ~" — а и— оки гх кг сф ф ф приведем его к виду к/и и к/ь' / ьк( — — — /' и— кксу / кк у />и г> (1.25) Для определения и ( у) к кг (у) решение уравнения (1.2П) сводим к решенмв двух уравнений; с6» и к/г> ф ~ ' ф риФ Из первого находим чаотное решенно и =р и, подстааиз его ао второе уравнение: «/гг у 7- — у — или ОЫт '— р~ р> г>» ' ~7 находим1//6 Уг -//фг)> с /е или общее рещение >ь /яг-/ф . Так как,о=и гя > получим/ф)/>"гК>г/ /С,уг- / ' .
Используя начельнь>е условия т/ ~ 1„ // = О, имеем 0 /с/-./ > тогда с~ 1. Из уравнения иф)/Гк/ж ) (/б г~/, или /к/У)//кУг-/ = а>.ж, находим >бт )У " >фр-T ),х ~с ', используя начальные условия пргк.ж. О, 1, имеем 6т /-с, чг с, - гт . Найдено неявное уравнение хриаой бч(у>фг-/ ( .х или р+ф~:/ * ел', И з неявного уразкения, пр ведя преобразозания: 1б л' г г~. ~'-/ /е ~), илие(>-/ е -фе ~, или ~ = находим явное уравнение кривой ф ~к)/ = с/г.» . е .е~ к' Решим задачу о кйПабании груза поодцепживаемогопружиной. Допустим, что восстанавливающая сила прукины пропорциональна увеличенао ее длины с козКициентои пропорциональности А =/г»у)/>гг ( »>- масса груза, подзешенного к пружине," кр - усхореиие силы ткквсти; и - удлинение пружины).
» ч»>,» .»»»> "» шины. Найти уравнение движения одного из стих грузов, осли вто- рой груз будет опят (беа толчка). Решение. Пусть под действием одного груза массой ». увели- чение дликы,прукикы в состоянии равновесия разно кг . Обоанзчиы черве л координату центра тяжести етого грузе, отсчитываемую по вертикали (от положения равновесия), в состоянии движения, обусловленного удалением второго груза танке массой » (без на- чального импульса).
Применяя второй закон Ньютона, приравниваем произведение массы нв ускорение»>//кк> к')/Гг/бг// сумме сил, г. действующих на груз, т.е. сумме (алгебраической) силы тяжести тела и восстанавливающей силы пружины >г >//кк' гк )//г// г)/ = = »у — />/-х' гг) при д'-/т>ф>)/кг . Следователь>го, l » г =>гг» 'глг /7>я Ж* >/ сг или диКеренциальное уравнение движзкия гк,л — 'у >" -а". к'=к> ккб ' гг не содержит к', Общее решение ураанения имеет вид х -4ш © — ' / ~Ю ) ° /,р где >) и О - произвольные постоянные; — =. — 4)г.>у- щ>г(Я б >бг/ ° Используя начальные условия при / = О,гс >г,/а.х)//гкб): /), получим а =Нссггж г).---дфа /г>г кг, следовательно, бг = О, >г =-гг. Находим решение задачи к' - ш кг'х ф/>г г> 17 ддшддд.дд. «дыщ* «жду д тд „,) д д .
делить наименьшуо скорость, с какой нукно бросить тело вертикально вверх, чтобы она не вернулось на Землю. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Решение. Па закону Ньютона, сила / притяжения, действующая на тело массой сп, будет / АГГ«т«д«)/т » ( «д~ - масса Земли; у - расстояние между центром Земли и центром тяжести брошенного тела; «с — гравитационная постоянная), Но,/ л«ГГ«д«»т)/Г«ГР 4 и дид)ференцкэльное уравнение движения имеет вид «т« — = -А — у или — ж = — 4'— и«г Л+и иГ х М с«с» сГб с (1.
26) В уравнении знак "минус" взят потому, что, и силу постановки задачи, ускорение определяет уменьшение х . Это уравнение второго порядка, в котором не содержится явно й . Будем его решать при следующих начальных условиях Р О, с' * Р д -~ ° ьг ( ФсФ с радиус Земли( М" - скорость бросания).
Обозначим через ь«' скорость движения, "д» Гсут«/Ги«с), тогда сйгх сб«» «/х сЫ' с — — = дУ' сааб сГх сбб «~к Уравнение (1,26) приводим к виду ь«д-7- = -А' — у Гс«Г« Разделяя переменные и интегрируя, получим «д'« (1,27) х подставляя начальные условия, находим с~ - «ь'Г«дГ/Р) ' дг,,"/2 Подет»звим найденное аначенне С» в уравнение (1.27): — 2 — -,(' — е — ««или — =,(- — (à — и -4 — / По условию'задачи тело должно двигаться твк, чтобы акорасть всегда была положительной; следовательно, ьь /Р > б , При неограниченном возрастании х величина Ф ГМ/х) может сделаться как угодно малой. Следовательно, условие ьг»/Р 'О будет выполняться при любам Т только в случае зя l/Г -,Ф ГЛ~/,Р )е Г«, или ч «««дд«д«д .
д. ° ° ч ~ ' *. ддд "д д д венатзом /7~й (1,28) 18 Заыетим, что этот результат следует из закона сохранения вне~ гии; кинетическая энергия Г«д««Г )/ ' равна эне гни притяжения (яотенциальной) Г("М«г«)/ Р , откуда тг.- ГРА-«дГ)/О, Пусть А' ~ б,бб 10 смз/г.а , Р бЗ 10 ом на паверкхнос- -8 з г, 7 ти Земли при щ Яа, ускорение силы тяжести ф 981 ам/с . Пазтому из равенства (1.26) получаем р=,(Г«дГ/Р») или «д« = Гас Р»)/Я . Подставляя значение «'"Г з формулу (1.28), находим ~" - /»гT = /З ж~ Вз И' -" 'l а т»«/с, о шддддд,дд«фддддд и определить закон и период малых колебаний математического ма- ятника длиной Р : а) пад действием силы тяжести (ускорение сво- бодного падения р )Р 6) з либте, движущемся вниз с ускоренкем и и т ; в) в вагоне, движущемся горивонтельнс с ускорением «ц ; г) в вагоне, скатывающемся по рельсам под углом ос , Решение. Уравнение второго закона механики для вращательно- го деления г» ~ Хр ( (»- угол отклонения от положения равнове- сия; У :»Р - момент инерции; «дГ - момент результирующей силы): а) уравнение движения -л«РР»б«з («д -«д«Р"'Р яли у«Га/Р) »д«т(» О, з случае малых колебаний »Г«з 7«з «/« и «Р- )Ф со»Г///Р.б««с), Период колебаний Т ,%/Р/ф 6) в случае ли$та, движущегося вниз, уравнение движения -«««Ги сОРу«Г«тР»д«д и период колебаний Т 4У /Р/у-д), в слу ае и у маятник не совершает колебательного движения; в) з случае нагона, движущегося горизонтально с уакарением и , уравнение зижени -«т«фУ«и УР(» - ««~Р («) и период коле- баний «"- с?Х Р/Д+аУ г) з случае вагона, скатывающегося под углом а« с ускорением г«и«х, уравнение двикения - сипи Р(» = «ттР~(Ф и период к лебаний у ,оу РРГ «дауд д,дд, д р д а~д которой в 207 рзз больше пассы электрона.
При торможении в ве- ществе.«с -мезон может быть захвачен ядром какого-либо атома и заместить один иэ электронов, Такая система называется мезаато- мом. Определить частоту колебаний и -мезона массой д« с зарядом -са в мезоатоые, при этом атом считать заряженным шарам с полным зарядом Й и радиусом Р - Ф «« ~~ ( <о - радиус боровской ор- биты; А - атомный вес данногс атома). Согласно теореме Реусса, нзпрякенность электрического поля 19 внутри равномерно зарякенного шара с зарядом 4 и ради со Р //, 0 радиусом есть ~-.-~ — — у ~, т»»~', где ~о - а салютйая диэлектрическая постоянная; ш - расстояние от центра шара. Решение, Сила, действующая са оторопи атома на с/ -мезон, есть = /ч Е . Записав второй закон Ньютона в проекции на направление радиуса векторе 1", получим диФФеренциальное уравОткуда нейдем частоту колебаний с»/ „/с/ -меэана.
Решение диФФеренциальнога уравнения аналогично прццшествующим з ачам. Частота колебаний и -мезона в мезоатоме есть с/« //Сфб)//'час» / а /!) . ~~ .в. с .др.; ~ ц-.р- -рщ ° П 1.1. а«/' » найти уравнение Ирбиты электрона, вращающегося с постоянной угловой скоростью, исходя иэ закона сохранения энергии !' /~/~/Р/и 6 ( с/ - потенциальная энергия системьц А» - полная энергия системы). Использовать цилиндрические координаты э х/л/х)//,,~ $Л/Р//«, Р=Л, Решение. В цилиндрической системе координат потенциальная энергия системы равна -Г »' А« с , а кинетическая -~»л«/ !. гй « х '(/' ~/ .
Закон сохранения энергии в цилиндрических координатах: /7/ ° л «. л «'Р Р('х ' ьь«у- — -Г-, (1,29) Так как постоянен кинетичесний момент вращения электрона на о бите, обозначим //тт (я р "а»/л6 , тогда « р" аб (Х.ЗО) /лб сну~ с~Е л/гу сбр Подставляя (1»ЗО) в уравнение (1.29), получим ° Введя новую переменную р «у'х, й~«о«/йфу/! = — /'//к «( (Ыю)//(а/у»/, приводим уравнение (1.31) к виду ~у1 р ЛиФФеренпируем ега по /г , тогда »$р / фф /77Г Р /7ф( сс'а~' "/ ру так как (д~]~(Я) ф //, та и/«/« ///л е« 20 , «+р — г — — О' Интегрируя, находим '"»э~ ы (солт/~ //Зл.'п/У/, р где А , 8 - настоянные интегрирования, Так как положение начального угла отсчета произвольно, то будем отсчитывать его от минимального значения радиуса траектории ф' , тогда получим условно //ш// ///ая Ыб/ !/у д и уравнение траектории будет иметь вид г7'/ л 8 „Р= — г- «/((пав, /о Э2 „ЛИНЕИНЫЕ ДИИЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1, Линейным неоднороддым диФФеренциальным уравнением ч -го порядка называется уравнение„ линейное относительно неизвестной Функции и ее производных: ~' р/ж~ „, р ~му'р„( 'у=3< !.
(2') Линейным однородныи диФФеренциальныи уравнением наэываетоя уравнение ~ ™,Р«(Я ~ , /Р// /АЯЩ~ Ри(Я)$= О, (2 2) Р/(Я),..., Р (~! и 6( ) ре резке (а, 6' 1, то для любых начальных условий а//гл' ! - ф а/«'Гх'! =~„',„. ~~" (я;! = ф ' диФФервнциальное уравнение (2,1) имеет адийственноа решение для Мх е [/х, 6 1 Множество всех частных решений линейнога однородного дифФеренцкального уравнения (2,2) л-го порядка с непрерывными козФФкциентаии образует линейное пространство размерности л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
