В.В. Ерёмин, С.И. Каргов, И.А. Успенская, Н.Е. Кузьменко, В.В. Лунин - Основы физической химии. Теория и задачи (1134487), страница 68

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 68)

Такие системы способны проявлять качественно разные типы поведения: от строго регулярного, периодического и предсказчемого до полностью хаотического. Переход от одного типа поведения к другому происходит при изменении управляющих параметров или начальных условий. Такое поведение характерно для сильно неравновесных систем, где большую роль играет нелинейная зависимость потоков от сил. Простейшим примером, демонстрирующим зависимость поведения нелинейной системы от управляющих параметров, служит логисгпическое отображение х„,~ = гх,(1-х„), которое описывает динамику биологической популяции в замкнутой среде.

Здесь х„— численность популяции за п-й год наблюдения (значения х„обычно нормируют на единичный интервал), г — параметр, зави- Гл а е а 6. Элементы неравновесной термодинамики сящий от условий жизни. В зависимости от значения г, возможны раз- личные сценарии поведения системы (рис. 28.1). 0.0 06 в м 0.4 02 2 3 4 1. При г < 1 популяция исчезает: х„=- О. 2. При 1 < г < 3 численность популяции стремится к единственному 1 предельному значению х„=1 — —, которое устойчиво. г 3. При 3 < г < г„ = 3.569945б...

предельного значения нет: численность популяции, независимо от начального значения хо, колеблется между несколькими значениями, число которых равно 2~, й = 1, 2„... со в зависимости от г. Такой режим называют периодическим. 4. При г„< г < 4 поведение системы становится полностью хаотическим н непредсказуемым. Прн увеличении и численность популяции может принимать любые значения в интервале от О до 1, а набор 1х„) имеет свойства случайной последовательности чисел. Таким образом, при изменении параметра г, который определяет роль нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до хаотического: Повеление о М и ы о х т 1= о о н а о и и Ь о Х Равновесное 4 Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную рис 28 4 Предельные значения логистичесного отобразюенил (2В.З) при различных значенилх упраеллюи1его параметра г Гл в е а 6.

Элементы неравновесной термодинамики 405 структуру; процесс образования таких состояний называют саиоорга- низа>(ией. Многочисленные исследования в области нелинейной дина- мики показали, что ьз Сзмооргаиизаиия возможна в натинейиых, сильно иеривиовесиых систеках в определенном диалазоне изменения управляю- и(их лараиетров.

а)Я й«иБ а 6)Лв св в Рис.28.2 жидкости в «койка«бекона Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между двумя горизонтальными плоскостями. Когда температуры верхней и нижней границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жидкость является совершенно однородной.

Вывести жидкость из состояния равновесия можно путем небольшого подогрева нижнего слоя. При постоянном подводе теплоты в системе установится стационарное состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнего слоя к верхнему, а свойства >кидкости — температура и плотность — будут линейно изменяться от теплой а) области к холодной. Такое явление называют теплопроводностью. Оно описывается уравнениями линейной неравновесной термодинамики.

При увеличении разности температур между нижним и верхним слоями наблюдается новое явление: при ЬТ, превышающем некоторое критическое значение ЬТ„жидкость структурируется в виде небольших ячеек — так называемых ячеек Бенара (рис. 28.2.а). Жидкость в зтих ячейках находится в движении — такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно (рис. 28.2.6). Образование ячеек Бенара — пример самоорганизации в сильно неравновесной системе. Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства: 1) нарушение симметрии системы — при образовании ячеек Бенара жидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается; 2) бистабильность — в организованной системе возможно несколько устойчивых стационарных состояний (в ячейках Бенара — с левым или правым вращением потока жидкости), причем выбор между ними происходит случайным образом.

Гл а в а 6. Элементы неравновесной термодинамики 488 Зависимость стационарных свойств системы от управляющих параметров назыяают бифуркацианной диаераммой. Типичная бифуркационная диаграмма представлена на рис. 28.3. Прн ) < 2, существует единствен- 3 ное устойчивое стационарное состояние.

Эту область изменения ). называют термодина.нической ветвью. При переходе через критическое значение Х, происходит бифуркаиия — устойчивое стационарное состояние становится неустойчивым (показано пунктиром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния (бистабильность). К какому из этих двух состояний перейдет система из неустойчивого состояния, определяется случайными флуктуациямн. Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенара приведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когда свойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мере отклонения от равновесия жидкость проходит через последовательность режимов: Рис.

28.3 Влияние управляющего параметра 2 на стационарное сеайства Х системы Линейный режим Само- организация Равно- в не Хаос Эта последовательность является довольно общей для многих видов систем — физических, химических, биологических, социальных. Устойчивость стационарных состояний ах — — Лх, у) ей — = 8(х, У) ау ей' (28 ей) Пусть стационарное состояние описывается координатами х = у = О. Вблизи этого состояния система уравнений (28.4) является линейной: Принципы анализа устойчивости продемонстрируем на примере двумерной динамической системы: Гл а и а 6.

Элементы неравновесной термодинамики Представив решение в виде х = ехр()ь~г), у = ехр().з!), сведем систему дифференциальных уравнений (28.5) к системе линейных алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существует при условии; ~ д1'1 ~дх), „ Это — квадратное уравнение вида 2.'-Ь2.+у=О, оно имеет два корня: Ь+ /~' — 4у с1 2 Стационарное состояние будет устойчивым, если действительные части обоих корней отрицательны: Ве(2чл) < О. В этом случае любое отклонение от стационарного состояния со временем экспоненциально затухает. Когда хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, Ве()ь,) > О, стационарное состояние неустойчиво, малые отклонения со временем экспоненциально растут.

Если оба корня— чисто мнимые, то система имеет нейтральную устойчивость и совершает периодическое движение по замкнугой траектории вокруг стационарного состояния. Линейный анализ устойчивости не позволяет описать динамику системы при удалении от неустойчивого стационарною состояния. Для полного понимания надо исследовать нелинейные эффекты (пример 28-2). В нелинейных системах устойчивые стационариыс состояния могут представлять собой не только отдельные точки. как в линейном режиме, но и целые траектории или поверхности. Такие состояния называют аттрактораии, так как они «притягивают» к себе все близлежащие траектории в фазовом пространстве.

В системах с тремя и более измерениями аттракторы могут представлягь собой фрактальные объекты дробной размерности, их называют странлыии аттракглораии. Первый странный аттрактор был открыт Э. Лоренцем в 1963 году при исследовании нелинейной системы уравнений, описывающих динамику атмосферы: сгХ вЂ” = о)'- аХ сО Л' — = -У+ гХ вЂ” ХУ. й ЫУ вЂ” = -Ы е ХУ Ы1 То есть действительная часть равна О. Гл а е а 6. Элементы неравновесной термодинамики Эта система обладает очень богатым репертуаром различных сценариев поведения, зависящих от управляющих параметров г, и, Ь. Один из странных аттракторов для этой системы изображен на рис.

28А. При увеличении размерности сложность динамических систем стремительно возрастает. Общей теории нелинейных динамических систем, находящихся вдали от положения равновесия, не существует. Сочетание нелинейности и неравновесности может приводить к невероятно сложному динамическому поведению, в котором большую роль играют флуктуации и неустойчивость к начальным условиям. Именно такие системы являются типичными в нашей жизни, и именно поэтому изучение окружающего мира представляет огромный интерес для исследователей.

рис 28 4 Аттрактор Поркала при к=го, о=10,Ь=8/3 ~ ПРИМЕРЫ 1 Пример 28-1. Модель «хищник-жертва», предложенная Лоткой и Вольтеррой, включает следующие реакции: А-~Х вЂ” ~ 2Х кг Х+У вЂ” з 2т У вЂ” ~ О, lсз — = lс)АХ вЂ” Й,ХУ ссХ с3с 2 3 Л' Приравнивая нулю правые части этой системы, находим два стационарных состояния: ))Х =О, У =О; 2)Хо=lсз3/сг Уо=1А /Ьг. где концентрация А — управляющий параметр.

Найдите стационарные состояния этой системы и определите их устойчивость в линейном приближении. с".енсение. Система кинетических уравнений для Х н У имеет внд: Гл а е а 6. Элементы неравновесной термодинамики Определим их устойчивость. 1) Вблизи Хя = О, Ка = 0 система уравнений в линейном приближении имеет тривиальный вид: Л' 3 Й и решение, которое является неустойчивым по координате Х: с Х(/) =Х(0)ехр(/~,А// У(/) = У(0) ехр( — ~г,/) Любая небольшая флуктуация числа «жертв» -Х- будет экспоненцнально возрастать со временем, поэтому данное стационарное состояние неустойчиво.

Характеристики

Список файлов книги