Том 2 (1134464), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Изменение т(он) — вероятность того, что х-составляющая скорости находится в интервале от вн до о„+е)и„. Так, если !'(180 см) =0,12 см-', то это значит, что вероятность того, что индивиды имеют Рост В интервале 180 — 181 см, будет приблизительно 0,12, а для иитерва.ча !80 — 182 см вероятность будет приблизительно 0,24 (отметим, что этот иптерва.ч в действительности не бесконечно мал, но приблизительно это так». Наоборот, если 1(200 см) =0,001 см — ', это означает, что вероятность роста в интервале 200 — 20! см будет только около 0,001, Лругое свойство вероятностных распределений, которое нас интересует связано с вопросом одновременного рассмотрения нескольких типов свойств. Например, может возникнуть необходимость определения всроятиости того, что система имеет как значение Х, некоторого дискретного свойства Х, гам и значение У: некоторого другого дискретного свойства У.
Если зги свойства независимы друг от друга, то вероятность того, что система имеет как зна1енне Х; свойства Х, гак и значение У, свойства У, будет Р(Х,. Уе) =Р(хе) Р(У,). где Р(Х;) и Р(У„) — отдельные вероятности. Например, если вероятность для человека родиться мужчиной состав.част 0,495, а вероятность человека (мувкчяны или женщины) быть левшай равняется О,!10, то вероятность того, что при случайном выборе из группы людей попадается мужчина леваеа, равна 0,110 0,495 = =0,054, или 1 из 18,5. Однако этот расчет оказался бы неправичьным, если бы лев~пой мог быть только мужчина.
Те же приемы можно применить к непрерывным свойствам. Если вероятность того, что Х лежит в интервале е(Х от Х, есть )(Х)АХ, н вероятность того, что независимое своиство находится в интервале от У до У+е(У, равняется 1(У)е(У, тогда оба)ая вероятность того, что Х лежит в интервале от Х до е(Х и У попадает и интервал от У до У+е!У, будет произведением вероятностей: )(Х))(У)е(Хе(У.
Например, вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости он в нпптервале от о до ан ! е(о, и компоненту скорости о„в интервале от о„до от+еЬ„, будет равна 1(О,))(О„)Еео Е1П, ПОтОМу ЧтО Зтн СКОрОСтИ НЕЗаВИСИМЫ друт От дру. га (за исключепием некоторых сложных случаев), Распределение молекулярных скоростей. Теперь мы в состоянии перейти к рассмотрению функции распределения для компонент скорости частиц в идеальном газе с точки зрения кинетической теории, Три компоненты скорости не зависят одна от другой, и поэтому вероятность Р(о„, ин, э„) еЬ,еЬндое того, что молекула будет иметь скорость с компонентами соответственно в интервалах от гн до о„+е(о от о„до он+Не„и от о, до и,+е)о„является произведением отдельных вероятностей для каждой компоненты: Р(о„, пм о,) Й),й„еЬ, =1(о,))'(и ) 1(о,) еЬ„аЬ еЬ,.
з4. Кинегыческоз творил газов Теперь допустим, что вероятность того, чта компоненты скорости молекулы будут расположены в определенном интервале, не зависит ат ориентации направления ее полета, но зависит от скорости. Так, например, вероятность того, что компоненты скорости имеют значения о,= ! км/с, о„ 2 км/с, а,-3 км/с (и поэтому скорость, равную 714 км/с), будет такой же, как вероятность того, чта эти компоненты скорости имеют значение 2, 3 и 1 км/с соответственно (скорость та же) илн имеют любые другие направления движения, нрн которых скорость равна !'14 км/с. Это означает, что функция распределения Г(о и„, а,) может зависеть только от скорости о, где аз=о„'+аз+о,'~, на не от индивидуальных кампо.
цент. Поэтому Р можно записать как функцию Р(о', +о', +аз), и тогда последнее уравнение будет выглядеть следующим образом: р (а~+ М+ Ф=/(а.) /(о,) /(а.). Эгому уравнению удовлстваряет только экспоненцнальпая функция (так как е'э'=е'е'), и поэтому запишем /(а,) =К ехр (~ ~а„'), где К и ь — константы. Это единственная функция, удовлетворяющая уравнению, и поэтому можно записать /(О„) /(Оз) 1(а) =Кзехр (»- ь 1о„+ о„+ о,)).— г (О„+о„+ о2), что и требовалось доказать. Двойственность знака ~ в показателе экспоненты можно ликвидировать, руководствуясь физическим смыслом. Вероятность очень больших скоростей должна быть крайне мала, поэтому необходимо брать отрицательный знак. Значение констант К н ~ можно установить на основании следующих двух доводов. Во-первых, общая вероятность того, что компонента скорости лежит в интервале — со~о,~ ! оо, должна равняться 1 (должна же быть некоторая скорость в этом интервале).
Поэтому ~ /(о„) Йо„=1. Подстановка экспоыевциальной формы /(х) приводит к -~" ОЪ ~. М /(о„) Ыо =К ~ехр ( — ьо') с!о„=К(п/ь)чь Поэтому К- Д~п)чз. Значение ~т может быть получено расчетом среднеквадратичной скорости молекул с последующим использованием уравнения (24.1,3), чтобы приравнять ее к величине рг', которую можно из. мерить.
Мы сканцентрируем внимание на расчете ( о„*), зная, чта 22' Часть 8. Изменение другие компоненты имеют то же среднеквадратичное значение. Из общего выражения для средней величины (прн Х=их) можно написать (и„') =- ~ о„'Т (ох) й, =- (©гт)'1а ~ ца ехр ( — ьо',) с(о„. Интеграл с правой стороны является стандартным (табл, 24.); он может быть очень просто получен пз интеграла, входящего в вышеприведенный расчет Л) и имеет значение — (п1ьа)'1а.
2 Следовательно, 40„') =- — (~Ттс)'1а (пДа)'1а --— Поэтому среднеквадратичная скорость с'= ( иа ) = ( ох+ох + оа > равна т 3 с = —— 2ь (24.! 9) Объединяя этот важный результат с уравнением (24Л.З), получим ф'= —, п1.тса = — п1.тд.
3 2 Таблица 24Л Интегралы х"ехр( — ах') !х = ~ ха ехр( — ахе) Нх о 1 2 — (н1аа) ",! 4 3 3 г1 аа — (н1аа)'1а а  — (х7а) 1а 1 2 хг ег! х 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,2227 0,4284 0,6039 0,7421 0,7969 х ~ 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1,9 ег! и = 0,8427 0,9!03 0„9523 0,9763 0,9891 0,9928 интеграл (2(рн) !' ехр( — ха)ох нааыиается Фуцхциен ошибок и обоанаяается ег1 х.
Зта функция имеется а миогояисленаых таблицах; ниже аавгся некоторые ее анаяениа: уа Кыягтичггяая теория газов Но известно, что идеальный газ подчиняется уравнению р(г=п(хТ =палТ. Приравнивая эти два уравнения, можно найти ~, связанную с тем- пературой системы: — п1.пЯ=п/йТ, где ь= — пт/ЙТ. у (и„) .= (пт/2хйТ)'/з ехр ( — лтп~//гТ ), (24. 1, 11)' Как видно нз последнего уравнения, его правая часть имеет форму распределения Больцмана [см. уравнение (1.2) в т. 11 для частиц с кинетической энергией — п1тр, двигающихся вдоль оси х, н, 2 таким образом, это уравнение можно вывести также через выражение Больпмана. По этой причине распределение Яп / называют раепределениелз молекулярных скоростей Максвелла — Бодьцмака, отмечая как вклад Максвелла (он первым получил его), так и Больцмана (он строго его доказал).
Пример (вопрос 5). Наввска цезия нагрета в псчн до 500 С. В одной нз станок имеется звболыиос отварстнс, н атомы выходят нз неа н виде атомного пучка. Какова нз средняя скоростьу Метод. Это одномерная задача. Йоскольку только атомы, дввгавнпнесн вправо (я О), будут попадать в пучок, можно написать 0<о,<го, Срадвян скорость равна ( о„ ), н позтону можно использовать ураавенне (24,1,85), но ннтстрнРовать только от о„ 0 До о„ 1.
ИспользУем УРавнение (24.1,11) дла /(оя), вядонзманнв его тзк, чтобы стало [ /(о,)ао = 1; для втого просто умяожим д правую часть ураввення (24,1,11) на 2. Ответ. Из ураавенпй (24.1.85) н (24.1.11) (оя) в ~оя/(оя)авл = а 2 (т/2лят) /з ~ и, аз р ( — то„'/2яТ) ~Ь . = о 2 (т/2пФТ) 1а (яТ/т) = д'(2ЙТ/лт). Лля казня прн 500'С )'= 2/л)Х(1 381 ° 1О-тДж/К)м(773 К) )г/з (132,9)М(1,б605 10амкг) Поэтому полная форма распределения скоростей выразится сле- дующим образом: Часть 3. Изменена« Рнс. 24.3.
Распределенне молеку- лярных скоростей. Комм«нгорлб. Это ср«дняя ско. рость выходяпгнх атомов: дпапа. зон скоростей может быть очень болыпнм, к в атомполученой аппа. оатуре обычно нспользуют с«лектор СКОПОСтн |СМ. рпе. 24,5). Перед обсуждением сущности распрсделсиня Максвелла — Больцмапа мы закончим в|явод рассмотрением трехмерной задачи. Вероятность того, что скорость имеет компоненты, лежащие в элементе объема г!о„г!пзг!и, в точке (оя, и„,. о,), равняется ур(о., „,;) =)(оя) )(и.) ~(п.) ~.
(о„(о.= =-(т(2плТ)з?з ехР ( — тоз?2йТ) г(п г(п,гЬ . (24.1.!2) гуг' (о) = 4п (т)2пйТ)'?з ьл ехр ( — тоз)2лТ) «Ь. (24.1.!3)' Это важное выражение представляет собой раппу?еделеиие скоро- стей Максвелла. Прнмер (вопрос Ь). Какова средняя скорость атомов пезяя внутри пе|н в но. снедаем прнмере? Метод. Средняя скорость получается нз выраягеппя с= ) оГ(о)г|о, где Г(о) з правая часть последнего зыраження. Предположим, что нас в больщей степени интересуют скорости молекулы н ие 'интересует направление их движения. Вероятность того, что молекула имеет скорость и, независиму|о от направления, является суммой всех вероятностей, выраженных последним уравнением по всем ориентациям скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
