Том 2 (1134464), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Сумма всех объемных элементов гуо г!пас|па, получающаяся при движении точки (и, и, о,) по всей поверхности сферы постоянного радиуса о, представ- . ляет собой объем сферической оболочки радиусом и и толщиной г(п (рис. 24.3). Этот объем составляет 4позг(о. Поэтому вероятность ' того, что скорость лежит в интервале от о до п+г(о (кезависимая от направления движения), равняется 343 24, Кинетическая глория газов а аь о гс съ эм о ез и Ф аэ гз тс о ОО 800 1200 Р300 гООО Скорость,ы)о Рис.
24.4. Распределспие скоростей по Максвеллу и его зависимость от температуры. Ответ. Из пос.чеднего выражения в = ~ ор (и) йо = 4я Оп72яйТ) а ~ оа сир( — «тоа/2йТ) йе Ъ а — 4я (аййяйТ) '* 2 (22Т)тя)а = (82Т(гаа) га. Дла пегая ври БОО С Г вх(1,381 10- 'Дж(К)х(773 К))тг яХ(!32,9)Х1,6803 10-з' кг) Комментарий, Заметьте, что зта средняя величина значительно вын!е скорости одномерного атомного пучка в последнем примере. Некоторые свойства распределения Максвелла были рассмотрены в главе «Введение» (т. !).
Основные особенностк показаны на рис. 24.4; онн состоят в том, что при более высоких температурах интервал скоростей увечнчивается н самая вероятная скорость, отмеченная на рисунке как с*, по мере повышения темпеатуры сдвигается в сторону более высоких значений. (См. рнс, 1 иа стр. 24 в т. 1, нз которого также очевидно следует, что прн одной н той же температуре скорость более легких молекул выше, чем у более тяжелых.) Часть 3. Илмсиемие Детектор Рнс. 24.5.
Онрелсленпе молскуляримх скоростей. "спектор Необходимо очень точно различать несколько путей нахождения средней скорости молекул Среднеквадратичная скорость с представляет собой квадратный корень из средней величины о': с =(3яТ,'т)чт (24.1.14) Средняя скорость с — это среднее из скоростей, рассчитанных с использованием распределения Максвелла по уравнению (24.1.13) с = (о) =. ~ сг (о) с(с — — (8яТ(ягп)чя, (24 1.15) с Не 1264 Ат 396 Нх 1766 74 474 0а 443 С1я 286 Н О 69! Ийь 608 - СО 378 СьН 284 На 170 Воздух 466 Наиболее вероятная скорость си представляет собой скорость, при которой кривая распределения Максвелла проходит через максимум: си =(2йТ/т)ття.
Оин различаются небольшими числовыми =1,225 с*, сж1,128 с*). Распределенис Максвелла наблюдалось в многочисленных прямых и косвенных экспериментах, так что можно считать, что уравнсние (24,!.13) действительно справедливо, Скорости молекул непосредственно могут быть измерены с помощью селектора скоростеи типа показанного на рис. 24.5. Вращающиеся лиски имеют щели, которые позволяют проходить только молекулам, движущимся через пих с определенной скоростью, и число молекул м жет быть определено подсчетом их в детекторе.
В косвенном мет де используется эффект Доплера па длины волн света, нспуска мого движущимся объектом; этот эффект рассматривался в раз 17.!. Типичные средние скорости для некоторых молекул прив дены в табл. 24,2, табляиа ?4.? Срсхиис молекулярные скорости с (м(с) ири 25'С г4. Кинетическая теории газов 24.2. Столкновения Теперь мы рассчитаем частоту межмолекулярных столкновений. Основныс особенности расчета были намечены в общих чертах во введении. Здесь мы резюмируем этот расчет н затем улучшим его. ййежмолекуляриые столкновения.
Мы считаем, что произошел «удар» всякий раз, когда центры двух молекул находятся в пределах некоторого расстояния и' друг от друга, где й можно рассматривать как нх диаметры (рис. 24.6). Проще всего считать, что все атомы, кроме того, который нас интересует, неподвижны, а затем исследовать, что происходит, когда подвижный атом перемещается в газе со средней скоростью с в течение времени М. Во время этого перемещения подвижный атом движется в «трубке столкновения» с се ~ением о=нйт, длинои сЫ и, следовательно, объемом осМ.
Величина о называется сечением столкновения. Число молекул, центры которых расположены внутри этого объема, равно асМА, где.Ф" — число молекул в единице объема, и, таким образом, число регистрируемых ударов составляет осМА". Следовательно, число ударов и единицу времени (частота столкновений) равно а С.Ф'. Неточность такого расчета возникает из-за сделанного предположения, что все молекулы, кроме одной, неподвижны.
В этом уравнения с на самом деле должна быть средней относительной скоростью сталкивающихся молекул. Если припять это в расчет, то с необходимо заменить на т2:, н тогда частота столкновений выразится следующим образом: г=--$" 2осЖ/(г. (24.2.!) Это число столкновений, которое претерпевает одна молекула. Рке. 24.6, Сечение столкновения я трубка столкновения. Часть 3. )!аиеаепие Ллн определения общего числа столкновений молекул необходимо л 1 1 умножить на — г)7 (множитель — получается вследствие тога, что 2 2 столкновения А.„А' я А'...А надо рассматривать только как одно сточкновенне). Поэтому число столкновений в единице объема в единицу времени равно — сА'! =ос()гг!У) Д' 2. (24,2.2) Значение с, которое нужно здесь использовать, уже было рассчитано по уравнению (24,1ЛБ), и поэтому можно написать, что Ллл — — жР (4л7/лт)ча (г)77У)я. (24.2.3)' Пример (вопрос 6).
Мы продолжаем исследовать свойства атомиолучевой аппа. ратуры, рассмотренной в двух последних примерах. Сколько столкновений в се. кунау совершает один атом Са внутри печИ Сколько столкновений в секунду соверщают все атомы внутри печи объемом 50 см'? Метод. Используем уравнение (24 2.1) для столкновений одного атома и уравнение (24.2.2) для общего числа столквовсний. Соотнесем Ф(р с давлением следующим образом: 74)р=пЦ)г р)йТ.
1(авлеаие паров Сь прн 500 'С равно 60 мм рт. ст. для поперечного сечения используем г(=540 пм (5,40 )(); с возьмем г~з ггоследнего примера. Г)гагг. Из уравнении (24,2Л) а = 2пзос(р)йт), о = лне = лХ(540 1О-там)а = 9,2 10 "ма, р = (60!760) Х(1,0133 1Оа)1!ме) = 1, о7 10' Н)мз. Позтом) 2иах(0,2.10"га ма)Х(351 м!с) Х(1,07 104 И)м~) (1,361 10 м Дж)К)Х(773 К) ! Из уравнения (24.2.2), написанного длн Лс,с~= 2 а(р(йт), имеем 1 — Х(4,6 1Озс"г)х(1,07Х10а11)мз) Л( зев = 2,3! ° !Оазс-г м-а, (1,361 10-'з Дж!К) х!773 к) Таким образом, в печи объемом 50 см' число столкновений в секунду равняется 1,1 6-10м.
Комментарий Столкновения будут продолжаться в атомном пучке, н зто приводггт к его расширению; за селектором скорости столкновения приводят к тому, что распределение скорости будет соответствовать распределению Бальпмана, если только пучок не слипгком слаб. Если нас интересует частота столкновений молекул разных веществ, анализ следует несколько видоизменить. В первую очередь относительная скорость равняется (8 'и г)гг)а)'а, где )а — принедем- 347 24. Кинетическая теория газов ная масса сталкивающихся частиц с массами тя н тв соответст- венно: 1/»д 1/тд+1/тв или )д=тятв/(та+та). Если имеется Агя и Агв молекул каждого вида, общая скорость столкновений в единице объема равняется 2 в — — пд (6/гТ/п)г)нт (Л'д!»/в!)г~, (24.2.5)' Численные величины частот столкновений могут быть очень большими.
Например, при комнатной температуре для азота, используя значение д — 280 пм, получим 2 ж 5 10з' с-'.м-', илн 5Х Х)0" с-'.см — '. Некоторые типичные сечении столкновений приведены в табл. 24.3. (24.2.4) Таблица 24.3 . Сечения столкновений о(им*) Не О,!3 Ме О,!7 Аг 0,26 Кг 0,32 СО О,66 НзО 0,23 Воздух 0,30 Нн 0,4! Н О,!Б Н 0,3! О 0,27 Ое 0,43 Расчет частоты столкновений позволяет определить выражение для средней длины свободного пробега д. Если молекула двигается с относительной скоростью с и ее частота столкновений равна з, то время свободного пробега мсжду столкновениями равняется 1/г и мемгду столкновениями молекула проходит расстояние с/г, Следовательно, средняя длина свободного пробега выражается просто: )и = с/г = 1/)г 2)у(!(! /7)ч.
(24.2.6)' Ее можно выразить через давление газа. р/=и/., где п — число мо'лей газа; используя уравнение идеального газа и/)г=р//гТ, полу',: чаем й=(1/)г2Ь) ЯТ»ур)=( )(йТ/р). (24.2.7)' Видно, что средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению. Пример (вопрос 6). Рассчитайте среднюю длину свободного пробега атомов Са и печи прн о00чС из последнего примера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
