Том 2 (1134464), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Средний свободный пробег является также мерой среднего расстояния между частицами, и его можно использовать в качестве критерия применимости кинетической теории к реальным системам. Например, если мы знаем, что молекула реального газа имеет диаметр «2, то кинетическая теория даст хорошее описание его свойств, если «2~х мало (е1/Х<<11, ио оиа ие будет применима, если это пе так. Совокупность частиц постоянно также сталкивается со стенками содержащего их сосуда, и столкновения происходят так часто, что степки практически подвергаются действию постоянной силы. Сила па единицу площади — это давление, и, таким образом, с помощью кинетической теории можно качественно объяснить давление газов.
Теперь покажем, что с помощью кинетической теории все этн свойства можно также рассчитать количественно. 24.1. Основные расчеты Перевод кинетической теории газов на количественную основу включает два основных типа расчетов. Первый приводит к выражению для давления, а второй состоит в выводе детальной картины распределения скоростей молекул. Давление, оказываемое газом. Рассмотрим систему, представленную на рис, 24.1.
Когда молекула с массой т сталкивается со стенкой, перпендикулярной оси х, составлщощая ее количества движения вдоль оси х изменяется от тп„до — гпо другие составляющие остаются неизменными. Общее изменение количества движения при каждом столкновении составляет величину ~2лгп„~. Число столкновений за промежуток времени Ы равно числу мо- лекул, способных достичь РезУныноУюыан степки за это время. Расстояние, которое может пройти молекула, дпнга|о. щаяся со скоростью и„, за время Л1, равно ~ и„! М, н, таким, образом, все молекулы, находящиеся в Ркс. 24 К К расчету даалеккк, окааыааемого гаком. Часть 3. Изменение 334 пределах расстояния>о„(Ы от стенки, натолкнутся на стенку, если овн будут двигаться по оаправлениго к ней. Если поперечное сечение сосуда имеет площадь А, все молекулы, находящиеся в объеме А(о„1Ы, достигнут стенки (если онн перемещаются по направлению к ней).
Если,4 — число молекул в единице объема, то число молекул в интсресующем яас объеме равно-ь"А1о„-1Л!. Около половины из нх числа движется вправо, другая половина— влево, так что среднее число столкновений в интервале времени М равно —.4"А1о„(Ы. Общее изменение количества движения за ! 2 этот промежуток времени равно изменение количества движения = (чнсло столкновений) Х(изменение количества движения при столкновении) = ~ — !"А ) о„>М) ~ 2т > о„> ) = ! и скорость изменения количества движения равна т !"Ао„'.
Согласно закону Ньютона, скорость изменения количества движения есть сила, и, таким образом, сила, действующая иа стенку со стороны газа, равна тЛ Ао'. Давление — это сила, действующая иа слипнцу площади, поэтому давление равно тЛ"о'„(поскольку площадь стенки равна А). Не все молекулы движутся с одинаковой скоростью, и поэтому определяемое давление является средним значением только что рассчитанной величины. Если среднее значение о' записать как ( о„'>, то придем к выражению р !"т(о ), Поскольку движение молекул беспорядочно, средняя величина о'. будет такой же, как в направлениях д и г. (о,'> =(о'> = (о,'>. Скорость одной молекулы определяется следующим выражением: о'=о,'+о„+о, поэтому среднюю скорость о' можно записать как (о'> =(о') +(оь>+(о!) =-3 (о„'>.
Мы будем записывать среднее значение о' как с'. сз =(оь) (24.1.1) и называть с' средним квадратом скорости молекул. Квадратный корень из этой величины называется среднеквадратичной скоро- ВВ Кинетииееяоя теория еиеое стью, с=у(~Р ) . учитывая высказанные замечания, получим конечное выражение для давления р = — — )'тпст, ! =з (24,1,2)" Это одно из ключевых уравнений кинетической теории. (Кружок над номером уравнения, как н в части 1, означает, что применение уравнения ограничивается идеальным газом, причем в этой главе уравнения для идеального газа получаются вз кинетической теории.) Плотность .4" (число молекул в единице объема» можно заменить на ЛЧт', где А' — истинное число имеющихся молекул и У вЂ” общий объем системы.
Выражая А' через число Авогадро Ь (Аг=пЦ, получим (24.1.3)' Мтдт+ 'ттРт+ ° ° + яххг )т' (Х)— (24.1.4) С 1 В главе «Введение» (т. 1) было показано, что это выражение переходит в уравнение идеального газа, если припять, что с' пропорциональна абсолютной температуре Т, Теперь мы встанем иа альтернативную точку зрения и выведем это уравнение, рассматривая распределение скоростей согласно кинетической теории.
Сначала мы рассмотрим средние величины свойств, а затем специально обратимся к случаю средних значений компонентов скоростей. В таком случае для описания средних значений молекулярных скоростей (и любых других свойств) необходимо знать только одни неизвестный параметр р, и можно вывести, что рУ Щ. Поскольку нз эксперимента известно, что р)т=пКТ, мы можем получить значение этого единственного неизвестного параметра»». Определив его, мы сможем испольэовать этот метод для получения средних значений целого ряда свойств и развить кинетическую теорию с учетом столкновении и транспортных процессов. Средние значения и распределения. Предположим, что мы хотим найти среднее значение свойства Х, которое может принимать любые значения Хп Хт, ..., Х, (их мы назовем возможными исходамн наблюдений), н вот в серии из У измерений мы находим, что Х, встречается А", раз, Хт встречается Ут раз и т.
д. Среднее значение ( Х ) свойства Х является взвешенной суммой всех результатов, деленной на общее число наблюдений: Часть 3. Илл»еиеиие ч»»з=ь События: х ь» Рис. 24зп Последовательность собнтий. Формула для средней величины может быть выражена другим путем, если ввести вероятность получения результата Х» в эксперименте, В данном примере вероятность того, чта исходом наблюдения является Х», равна У»/Ф, и та же можно сказать для всех других исходов. Обозначим эти вероятности Р, (так что Р, =Л',!У и т.
д., и в общем виде Р =1т'.(1т'), Тогда средняя величина мажет быть записана как (24.1.5) где суммируются все возможные исходы. Заметим, чта из определения Р» (24,1.6) Теперь допустим, что исход эксперимента может принять адно из значений ненргрывного ряда величии. Например, эта справед-, лива в случае, когда иас интересует средний рост индивидов населения нли средняя скорость молекул газа. Тогда определение среднего значения должно быть видаизменено. Разделим на части непрерывный ряд возможных исходов (рис 24.2). Ьудем считать за 1 каждый исход, который попадает в пределы данного отрезка. Например, рассмотрим отрезок длниай ЛХ, начинающийся ат Х. Если в серии из 300 экспериментов какой-та исход, лежащий в этом отрезке, получается в 6 экспериментах, мы напишем У(Х)=6, Если общее число экспериментов равно»т', вероятность того, что исход, полученный в любом одном эксперименте, лежит в нйтервзле от Х да Х+ЛХ, определяется как Р(Х) = =Л'(Х)»»М, что в данном случае составляет 1/50.
Значение»т'(Х), и поэтому значение Р(Х), пропарц»»о»»алька длине отрезка от Х до Х+ЛХ (если АХ мало). Яы определим это, написав Р(Х)= =1(Х) ЛХ. Итак, мы перевели непрерывную задачу в дискретную с помащыа приближения, которое группирует вместе различные исходы экспериментан, как описано выше. Эта приближение в санам 24. Кияетикеекоя теория еаэов ззт (24.1.8а) деле справедливо, и сейчас мы будем продолжать изложение так же, как и выше. Так же как при рассмотрении настоятцего дискретного случая, мы можем рассчитать приближенное среднее значение Х, взяв его значение для каждого отрезка, умкожив его на вероятность Р(Х) того, что наблюдения лежат в этом отрезке, и затем суммируя по всем отрезкам; (Х>т че', ХР(Х)= ~я~~ ~Х)(Х)ЛХ.
отреекк отрезки На данном этапе это является лишь приближением, поскольку Х может значительно изменяться по ширине отрезка. Это соотноше- ние может быть сделано точным, если каждый отрезок будет бес- конечно малым, так что Х можно будет считать нвизмеппым в пределах этого отрезка. Поэтому заменим конечный отрезок ЛХ бесконечно малым отрезком пеХ. Это даст возможность выразить сумму через интеграл (Х>=~ Х)(Х) ЫХ.
(24.1,7) Это очень важное выражение: оно лежит в основе изложения ма- териала этой главы. Интервал интегрирования в последнем уравнении охватывает все возможные значения наблюдаемого своиства Х. Например, ес. ли необходимо определить средний рост й индивидов популяции, ' его пределы будут от 0 до о: <й>=- ~)т)(И) йй, о потому что рост может быть только положительным. Если бы мы рассматривали среднюю скорость частицы, соответствующий ин- тсграл выразился бы следуюшнм образом; (.>= ~ пЛ.,) ок (24. 1. 8б) поскольку х-составлявшая скорости может иметь любой знак не- зависимо от направления частицы, Функцию ~(Х) называют распределением свойства Х, Из его определения Р(Х)-((Х)ЛХ мы видим, что оно дает вероятность того, что исход лежит в иптервюте от Х до Х+ЛХ В границах бес- конечно малого отрезка е(Х функция (('Х) дает вероятность того, что исход лезкит в бесконечно малом интервале от Х до Х+е(Х Например, функция ((Й) характеризует вероятность того, что из- меренный рост лежит в интервале от Ь до те+е(Ь, а распределение Чаете 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
