Том 2 (1134464), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так, коэффициент а был найден, когда мы удостоверились, что п1+ и, +...= Ф" (а не какому-либо другому числу), а коэффициент р — иа более поздней стадии прн расчете р!/ и приравнивапин его к известной величине (/ЖТ). Приложение 20.6. Квантовая статистика Возможность приведения Я к д" '!уравнение (20.2,0)1 зависит от различилосги частиц.
Соответствующее уравнение можно получить, рассматривая молекулы как имеющие доступные энергетические уровни ль е~, ..., а обшее состояние системы как состояшее из п~ частиц в состоянии еь нз лз частиц в состоянии а» и т. д. Тогда суммирование по состояниям системы будет эквивалентно суммированию по числам занятости каждого молекулярного уровня, допуская условие и, +л»+...=№ Обшее число способов получения определенного распределения, в котором й! частиц распределены так, что л~ из них занимают уровень зь и» вЂ” уровень е и т. д., будет !«!/п,(л~! (это как раз является выражением сортировки по ларям, использованным при обсуждении распределения энергии среди различимых членов ансамбля, свр, 173), Поэтому каноническая функция распределения для системы из М различимых молекул имеет вид Я='Я (А!!уа„!л,!...) ехр( — б(а,е,+паса+ ° .
)), (2О.В.!) в«е ь где сумма берется по всем пь пм..., а «штрих» указывает, что Хл/ № Это выражение представляет собой точное разложение в / 20. Статиетичеенан тераадинаяика. ееаниенаии ряд (е аее+е аее+'...)н, что можно еще раз проверить, используя разложение бинома (к+у)~ аа~ Я ~ ~ л~рет и поэтому для различимых частиц я=( .""+ -""+" )м=»'. (20.Б.2) Однако идентичпыс частицы неразличимы, если они свободно меняют свое местоположение, н тогда только что выведенное выражение непригодно. Когда частицы являются обычными молекулами, они подчиняются определенному виду статистики, известной как статистика Бозе — Эйнштейна, которую можно представить следующим образом.
Когда л~ молекул занимают энергетическое состояние еь не имеет значения, какие это молекулы из общего числа А'; поскольку молекулы неразличимы, существует только один индивидуальный способ получить п1 молекул в еь пе — в а' и т. д. Поэтому каноническая функция распределения имеет вид явв(у)=ч~~ ехр( — ()(п,з,-+паве+, ° .)), (20.Б.З) еее н где ВЕ озиачает Бозе — Эйнштейн, и сумма ограничена так, что Хп;=Л'. Это то же самое выражение, что и уравнение (20.Б.1), за ,исключением отсутствия весового множителя. Величина Я очень сильно зависит от Ж, так как при увеличении ЛГ на очень нсбольшую величину в сумму входит гораздо больше слагаемых.
Это дает ключ к искусному способу ее вычисления. Если Я(М) умножить на резко уменьшающуюся функцию Ф, то произведение будет функцией с резким пиком. Поэтому записываем произведение Я(Л")в — ая', где в — ач' — резко уменьшающаяся функция, Если искусно выбрать п (функцию й), то это произведение даст резкий пик прн Л"=Л'. Если произвести суммирование по всем А', то существенный вклад в сумму дадут только слагаемые вблизи Л"=Л', 2 = 'Я(;)(М') е — "' жд (й() е яу~, бФ представляет собой пнтсриал величин М', которые вносят су. щественный вклад в сумму, Следовательно, 1п Е= 1и 11 (М) — аЮ+ 1п бЛ1, (20.Б.4) н в сравнении с другими, много большими члеиамн последним слагаемым можно пренебречь.
Величина 2 (главная 4рнкция рас- Часть 2. Стр ктера !ва лределетсая) выражается следующей формулой: Я='~~ '«~ е ."ехр( — р(псе,+лтес+. )) = Л ьььп =Е р( — 0( + .+" )1= = ~ ехр ! 1(а+Ряс) п1+(а+Рат) и + ' ' И ° (20.Б.5) вьь п Первая строчка получается из уравнения (20.Б.З). Вторая строчка означает, что, поскольку теперь берется сумма ио ееедс величинам Ж, ограничение Хл!=М можно отбросить; суммирование по неогра/ ниченпым величинам пь яь, ... охватывает все значения, полученные суммированием по ограниченным величинам с последующим суммированием по ограничениям. Последняя строка — это просто Я=~~~~е-Сп+аьнп1) ~'уе — (а+асс«пс)...
пс пс (2О.Б.О) (2О.Б.В) Комбинации этого выражения с условием предыдущего уравнения дает (д !и ЕЩ+йс =О. так что )п Е = — ~ч~~ ~)п (1 — е ("+аст! ) (20.Б.7) т Следовательно, 1п !е е — аМ вЂ” ~ 1п ! ! — е ~"+~5т!) . — ! Теперь мы должны связать а с каким-го свойством. Эта величина была выбрана так, чтобы Я(№)е ~' имела резкий пик при Ж'=У. Берем логарифмы и ищем максимум (д!д№) !)п!2(№) — Ю ) =О и Л =Х. Отсюда (заметим, что а есть функция Ф) (д1п !е(У)(дЮ) — сс(Ф) =О. Поскольку 1пЯ(Ю)=1пЛ(а)+а%, получаем д (п Я(дйс=а+ (да(дсс() (д(!п Л ! аЛс!(дскб) =а.с-(дскб(дУ) ((д1п Я(да)+йс!. !99 20. Статистические теяиддииаииеа. К еи ии Но 1пЛ= — ~~'1п (1 — е (+В'т!).
г поэтому после небольших преобразований получаем е-2'(,.и',, ). (20.Б.9) это условие можно использовать для определения и. Хотя эти выражения можно преобразовывать и дальше, мы имеем возможность проверить только их высокотемпературный, классический предел, Когда доступны многие состояния, в уравнение (20.5.9) входит мкого слагаемых, поэтому каждое из них должно быть мало, Это значит, что е"+Вет,з !. Когда это так, ! ) -ъ — а — В» й( ~ч) +, — е т=де —, ее(е' т) Именно таким путем мы получаем тождество ЯждЧЮ1, использованное в тексте. Статистика Бозе в Эйнштейна — не единственный вид статистики, применяемой и квантовой теории.
Мы знасм, что такие частицы, как электроны, подчини!отея принципу Паули (т. 1, разд. 14.2), который запрещает в каждом состоянии находиться более чем одному электрону. Ясно, что в этом случае статистика Бозе — Эйнштейна не подходит, поскольку она позволяет любому числу электронов занимать данное состояние. В статистике Ферми — Лирика уровень может быть пустым илн он может содержать одну частицу (например, один электрон). Каноническая фУикпиа РаспРеделениЯ бУдет такой же, как в УРавнении (20.Б.З), поскольку электроны неразличимы, но здесь появляется еще одно ограничение, а именно: подобно всем другим ль п~ =0 или !.
Мож- Таким ооразом, в данном пределе «е = !п (дуй!). (20,Б.10) Далее, в этом же пределе с применением приближения Стирлинга, ! и !) ии ай!+ ~ч", е ! ни Лг!п(9~В()+У ж )у!пд — М!ну+!т' аи ж !пда' — 1п Лт! (20,Б.11) г(аагв 2.
Сгрузтура иго по использовать приведенный выше метод и показать, что уравне- ние (20,6.0) просто заменяется на Л вЂ” (~~~~ СГ-и+рег! аг) (~ Š— Га4рсзгаз), „, ы-зд аз=а,! — () .] Л-!а+бег!) (1+Ь Го+Раз!)..., так что !и Ьр=пй+'Я )п (1+е (а+"з!)). у Можно легко проверить, что в классическом пределе (гго=9"ЧАг), т. е. для неразличимых частиц сиона получается фактор Аг!, Квантовая статистика существенна при обсуждении низкотемпературных явлений, таких, как сверхпроводимость н сверхтекучесть; интерпретация электрических и термических свойств электронов металлов основана на статистике Ферми — Дирака.
(20.Б.)2) Литература Саыег )т. Р. и., Жсйагг(з )р. С., Еп(гору апб епегку !ече!з, С!агепдоп Ргеы, Охьагб, ! 974. ВгаГ 7(. А„ТЬе зссопб !аь, Ок!огб 1)пгтегзиу Ргеы, Нем Уог)г, !965. МсС!знати) В. Д, 51а11ь1!са1 1Ьспнобупага!сз, Ф!!су, Иеъ Уогй, !973. МазЬ !., К., Е!еюеп1ату з1а1Ы)ММ гьстпгобупагй!сз, Аббгзоп.%'ез(еу, мезб(пи, 5(азз., 1968. Ие!!' Д, Гппдагпеп(а)з о! з(а11зг!са1 апб 1йеппа! рьузгсз, л)сОгам-Н!!1, Ыем Уогй, 1965 гг!Н Т.
Е., Ап !п)гобасноп (о Ыапм1са! птесьап1сз, Ао61зоп-%сз!еу, Квасили, Мазз., !960. 97!!аз У., ТЬе Вйгб !аз; о1 Нюппобупапг1сз, С!агепбоп Ргеы, Ох!опй 196!. СиддеаЬе!га Е. А., Воитгаапп'з 4!з(г!Ьп((оп !ам, 1п1сгзс!епсе, 14ем уогй, 1955, Мауег У, Е., Марет М. О., 51з1га!сз( пгесЬап!сз, Ж!су, Нем Уогм 1940. уо!гааа )7. С., ТЬе рг1пс!р1ез о! з!а1!зиса! гаесЬапкз, С!згепбоп Ргезз, Ох1огд, 1938. Мйазтег А., 5!а(!з11са) гпесьагйсз, Ярг(пяег, Вег11п, !974.
Задачи тол. Ансамбль из 5 членов имеет среднюю знергвю ев+е. Каждый член может обладать вяергисй е,+!е, где ! — целое число. Сколько имеется распределений, соответствующих равномерному рассредоточенню энергии по всем членам ансзмбляу 9КК В первой задаче мы рассчитали вес одного вида распределения, ао имеется нескольхо других, более важных распределений. Составьте таблицу, озаглавив ее колонки энергией членов (от ес до ав 45з), и напишите под ними все распределения, совместимые со средней энергией ев+е. Начните например, с. 4, О, О, О, О, ! (только один член может иметь ввергаю е,+5е, а остальные четыре должны тогда иметь энергию ев). Найдите вес каждого раснрелеления (!используя уравнение (20.!.5)].
Какое распределение наиболее вероятно? 20, Сгогисгнчес«ая термодинамика, Концеп ии 20.3. В случае ансамбля с 9 членами мы достигаем области, когда средние чзг. ла как раз начинают иметь термодинамнческий сиысл, но еще могут быть точно ВЫЧИСЗЕНЫ. СОСтаВЬтЕ таба|ну раСПрсделсинй дпя Л =9 СО Срсдисй ЭнсрШГЕй Ее.Ь +е, как и ныне. 20А. Перед теи «ак определить веса распределя««й в аисамбке с Л' 9, взгляни- те не составленную вами таблицу и догадайтесь (найдя «экспонеицказьяую» форму), какое иэ распределении окажется наиболее вероятным (с наибольшим несо»~). Теперь рассчитайте веса всех распределений [это не такая уж продол- жптеаьная задача. как могло бы показаться с первого взгляда) и найдите нзи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
