PDF-лекции (1134113)
Текст из файла
Ãëàâà 1ÂâåäåíèåÏî ìåðå íàøåãî ïðîäâèæåíèÿ ïî êóðñó òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïåðåä íàìèâîçíèêàþò âñå áîëåå è áîëåå ñëîæíûå ñëó÷àéíûå îáúåêòû. Ñíà÷àëà ýòîñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, êîòîðûå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ èõ èíäèêàòîðàìè,ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ 0 è 1. Çàòåì (äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ìîãóò ñâîèìè çíà÷åíèÿìè îõâàòûâàòü âñþ äåéñòâèòåëüíóþ ïðÿìóþ. Ñëåäîì ïîÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû, êîíå÷íîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû. Íàêîíåö, ïðè èçó÷åíèè îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ìû äîõîäèìäî ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (âûáîðêè áåñêîíå÷íîãî îáúåìà, êàê ñëó÷àéíûå âåêòîðû).
Åñòåñòâåííî, ÷òî âñå ýòè îáúåêòû âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå êàêèõ-òî ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå òàêîéýêñïåðèìåíò, ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî áóäåò îïðåäåëåííàÿ êðèâàÿ ëèíèÿèëè ñîáñòâåííî ôóíêöèÿ. Òàê ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñëó÷àéíûé ýëåìåíò,ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, èëèñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ïåðåä íàìè ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Âñòðå÷àþòñÿ â ëèòåðàòóðå òàêæå íàçâàíèÿ âåðîÿòíîñòíûé ïðîöåññ, ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ, à èíîãäà è ïðîñòî ïðîöåññ, åñëèçàðàíåå ÿñíî, î ÷åì ðå÷ü. Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå.Ïóñòü T - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî.
A(T ) - ïðîñòðàíñòâî äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà T . Ðàññìîòðèì òàêæå âåðîÿòíîñòíîåïðîñòðàíñòâî < Ω, F, P >. Îòîáðàæåíèå ξ : T × Ω → A(T ) íàçîâåì ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé åñëè ∀t ∈ T ξ(t) = ξ(t, ·) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Òî÷êàâìåñòî âòîðîãî àðãóìåíòà îçíà÷àåò çäåñü è äàëåå, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåìξ(t) êàê ôóíêöèþ ω ∈ Ω â ýòîì êîíòåêñòå. Åñëè T ⊂ R è ïàðàìåòð t èí12Ãëàâà 1.Ââåäåíèåòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âðåìÿ, òî ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ñëó÷àéíûìïðîöåññîì. Ïðè çàïèñè ôîðìóë, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì, êàêè ïðè çàïèñè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñëó÷àéíûé àðãóìåíò ω îáû÷íî îïóñêàåòñÿ. Åñëè T ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëàññ öåëûõ ÷èñåëZ èëè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, òî ãîâîðÿò î ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáúåêò äëÿíàñ îòíîñèòåëüíî çíàêîìûé, ïîýòîìó ìû áóäåì ÷àñòî ïðèâëåêàòü åãî âêà÷åñòâå ïðèìåðà.Åñëè ìû ôèêñèðóåì ω ∈ Ω, òî ïîëó÷åííàÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿξ(ω, ·) íàçûâàåòñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Íàðÿäó ñ ýòèì òåðìèíîì óïîòðåáëÿþòñÿ òàêæå íàçâàíèÿ òðàåêòîðèÿ, âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ.
ÔóíêöèÿK(t, s) = cov(ξ(t), ξ(s)) = Mξ(t)ξ(s) − Mξ(t) Mξ(s)íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ .Ëåììà 1 Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáëàäà-åò ñâîéñòâîì íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè:(∀k)(∀ c1 , ..., ck ∈ R) (∀t1 , ..., tk ∈ T )k XkXci cj K(ti , tj ) ≥ 0.(1.1)i=1 j=1Äîêàçàòåëüñòâî . Ïóñòü m(t) = Mξ(t). ÒîãäàPk PkPi=1j=1 ci cj K(ti , tj )=Pk=2j=1 cj M(ξ(tj )i,jci cj M((ξ(ti ) − m(ti ))(ξ(tj ) − m(tj ))) =− m(tj ))2 = DPkj=1 cj ξ(tj )≥ 0.Óñëîâèìñÿ ÷åðåç t̄ = t̄(n) îáîçíà÷àòü êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà T , íàïðèìåð, t̄ = {t1 , t2 , ..., tn } ⊂ T . Åñëè ïîäìíîæåñòâî t̄(n) çàôèêñèðîâàíî,òî ÷åðåç Rt̄ óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Âñåòàêèå ïðîñòðàíñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ñîäåðæàùèìèñÿ â RT = {f |f : T →R} è äîãîâîðèìñÿ ïðåäïîëàãàòü Rs̄ ⊂ Rt̄ ïðè s̄ ⊂ t̄. Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèå ξt̄ = (ξ(t1 ), ..., ξ(tn )) äëÿ çàäàííîãî t̄ è ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿξ : T → R.Ïóñòü ξ(t) - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.
Ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ ξt̄ , êîãäà t̄ïðîáåãàåò âñå êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà T , íàçûâàþò êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ . Êàê âû ïîìíèòå èçêóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè∀B ∈ B(Rt̄ ) Pt̄ (B) = P(ξt̄ ∈ B).3Ïóñòü t̄ ⊂ s̄, πt̄,s̄ - åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ Rt̄ íà Rs̄ .
Òîãäà âî ââåäåííûõîáîçíà÷åíèÿõ ñïðàâåäëèâî(∀A ∈ B(Rt̄ )) Pt̄ (A) = Pt̄ (πt̄,s̄ (A)).(1.2)Ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé Pt̄ , êîãäà t̄ ïðîáåãàåò êëàññ âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ T .Òåîðåìà 1 (À.Í.Êîëìîãîðîâ ) Ïóñòü ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé óäî-âëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè (1.2 ). Òîãäà íàéäåòñÿ íåêîòîðîåâåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî < Ω, F, P > è ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) íàíåì, òàêîé, ÷òî Pt̄ åñòü ðàñïðåäåëåíèå ξt̄ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãît̄ ⊂ T .Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþñîãëàñîâàííîñòè, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.Èçëîæèì çäåñü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà.
Ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíîíàéòè â êíèãå Áîðîâêîâà À.À. "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé", ïðèëîæåíèå 2.Ïîëîæèì Ω = RT , ξ(t, ω) = ω(t). Ìíîæåñòâî B ⊂ RT íàçîâåì öèëèíäðè÷åñêèì, åñëè îíî èìååò âèä {ω|(ω(t1 ), ..., ω(tn )) ∈ A} äëÿ íåêîòîðîãîíàáîðà t1 , ..., tn òî÷åê T è êàêîãî-íèáóäü A ∈ B(Rn ). Ïóñòü C - êëàññ âñåõöèëèíäðè÷åñêèõ ïîäìíîæåñòâ RT , F = σ(C). Äëÿ B ∈ C çàäàäèìP(B) = Pt̄ (A).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïðîâåðèòü óñëîâèÿ òåîðåìûÊàðàòåîäîðè î ïðîäîëæåíèè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû. Òîãäà, ïðîäîëæàÿ ïîñòðîåííóþ âåðîÿòíîñòü íà σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ RT , ìûïîëó÷èì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå < Ω, F, P > ïðîöåññ ξ(t)îáëàäàåò íóæíûì íàì ñåìåéñòâîì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Èíîãäà ïîëåçíûì ÿâëÿåòñÿ âàðèàíò óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè (1.2) âòåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, t̄ - êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî T . Îïðåäåëèì< λ, x >t̄ =Xλ(tk )x(tk ),λ, x ∈ RT .{k:tk ∈t̄}Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Pt̄ - ýòîϕt̄ (λ) =ZRTexp{i < λ, x >t̄ }dPt̄ .4Ãëàâà 1.ÂâåäåíèåÓñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè ðàñïðåäåëåíèé âî ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ýêâèâàëåíòíî ïðè ýòîì(s̄ ⊂ t̄) ⇒ (ϕs̄ (λ) = ϕt̄ (πt̄,s̄ (λ)) .(1.3)Ãëàâà 2Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûåïðîöåññûÑëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì , åñëè âñå åãî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíû.
Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ ëþáîãî êîíå÷íîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññàèìååò âèä1ϕ(~λ) = exp{i < ~λ, ~a > − < B~λ, ~λ >},2ãäå ~a - âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, à B - êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðà. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà òåîðèèâåðîÿòíîñòåé (è ñëåäóåò èç ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëû), äëÿ çàäàíèÿíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî çàäàòü~a è ìàòðèöó êîâàðèàöèé B . Îêàçûâàåòñÿ, äëÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ (ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèÿì â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ) èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 2 Äëÿ ïðîèçâîëüíî çàäàííîé ôóíêöèè a(t) è ëþáîé ôóíêöèèK(t, s), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè èçëåììû 1, ñóùåñòâóåò ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a(t) è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé K(t, s).Äîêàçàòåëüñòâî .
Çàìåòèì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðîöåññ ñ òîæäå-ñòâåííî íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, à çàòåì ïðèáàâèòü ê íåìóíåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ a(t). Çàôèêñèðóåì t̄ = {t1 , ..., tn }, è ïóñòü Pt̄- íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â Rn ñ íóëåâûì ñðåäíèì è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé B = Bt̄ , ýëåìåíòû êîòîðîé âû÷èñëåíû ïî ïðàâèëó Bi,j =56Ãëàâà 2.Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññûK(ti , tj ). Ïîëó÷èâøàÿñÿ ìàòðèöà áóäåò íåîòðèöàòåëüíà îïðåäåëåíà, ÷òîñëåäóåò èç ëåììû 1. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííîå ïîñòðîåíèå âîçìîæíî.×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî1ϕt̄ (~λ) = exp{− < B~λ, ~λ >} −2õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïîñòðîåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîâåðèòüóñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè ïîëó÷èâøèõñÿ ðàñïðåäåëåíèé (íàïðèìåð, â ôîðìå (1.3)).Î÷åíü âàæíûì ïðèìåðîì äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèé ïðîöåññ , êîòîðûé ñëóæèò ìîäåëüþ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ. Âèíåðîâñêèì ïðîöåññîìw(t, ω) ìû áóäåì íàçûâàòü ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè òàêîé, ÷òî w(0) = 0, w(t) − w(s) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, t − s) ïðè t > sÂûïèøåì êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðóåì t1 , ..., tn òàê, ÷òî 0 < t1 < ...
< tn è ðàññìîòðèì→âåêòîð −w = (w1 , ...wn ), ãäå wj = w(tj ), j = 1, 2...n. Çàìåòèì, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X = (w1 , w2 − w1 , ..., wn − wn−1 ) ëåãêî âû÷èñëèòü, ò.ê. åãî êîîðäèíàòû - íåçàâèñèìûå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû:PX (x1 , ..., xn ) =nY([2π(ti − ti−1 )]−1/2 exp{−x2i /2(ti − ti−1) )}),i=1−ãäå t0 = 0. Ïðè ýòîì →w = AX , ãäåA=11...101...100...1............00...1 .Êàê èçâåñòíî, â ýòîì ñëó÷àå−1−1P−→w (X) = | det A| PX (A X).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî det A = 1,A−1=10 0 ... 0−1 1 0 ... 00 −1 1 ...
0... ... ... ... ...00 0 ... −1000...1,7îòêóäà A−1 X = (x1 , x2 − x1 , ..., xn − xn−1 ), èP−→w (x1 , ..., xn ) =nY([2π(ti − ti−1 )]−1/2 exp{−(xi − xi−1 )2 /2(ti − ti−1 )}),i=1ãäå x0 = 0. Èòàê, êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññàÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè (ãàóññîâñêèìè).Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ (áðîóíîâñêîå äâèæåíèå) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèìïðîöåññîì, âûõîäÿùèì èç 0.  ïðèëîæåíèÿõ èíîãäà âñòðå÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìûé áðîóíîâñêèé ìîñò - ïðîöåññ, çàäàâàåìûé ðàâåíñòâîìw0 (t) = w(t) − tw(t),t ∈ [0, 1].Î÷åâèäíî, ÷òî w0 (0) = w0 (1) = 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Âû÷èñëèì êîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ áðîóíîâñêîãî ìîñòà.
Ïóñòü t ≥ s.K(t, s) = M(w(t) − tw(1))(w(s) − sw(1)) = Mw(t)w(s) −− tMw(1)w(s) − sMw(1)w(t) + stMw2 (1).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî a Mw2 (a) = a, à ïðè h > uMw(h)w(u) = M(w(h) − w(u))w(u) + Mw2 (u) = u,îòêóäàK(t, s) = s − ts − st + st = s(1 − t), t ≥ s.8Ãëàâà 2.Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÃëàâà 3Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìèÏóñòü T = [a, b]. Ïðîöåññ ξ(t), t ∈ T íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ëþáîãî k è ëþáûõ t1 , ..., tk ∈ T ) ïðèðàùåíèÿ ξ(t1 ) − ξ(a), ξ(t2 ) − ξ(t1 ), ..., ξ(b) − ξ(tk ) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìèñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.Îáîçíà÷èì Pa ðàñïðåäåëåíèå ξ(a), ÷åðåç Ps,t ðàñïðåäåëåíèå ξ(t) −ξ(s), t > s.
Çíàÿ óêàçàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ìû ìîæåì âîññòàíîâèòü âñåêîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà:ξ(tj ) =jX(ξ(ti ) − ξ(ti−1 )),(t0 = a),i=1à çíà÷èò, ðàñïðåäåëåíèå ξt̄ - ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ0 + ξ1 , ξ2 + ξ1 + ξ0 , ..., ξj + ... + ξ0 , ãäå ξ0 = ξ(a), ξi = ξ(ti ) − ξ(ti−1 ) ïðèi ≥ 1. Íî îêàçûâàåòñÿ, ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äëÿ çàäàíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìè äîñòàòî÷íî çíàòü ãîðàçäî ìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàñïðåäåëåíèé.Ãîâîðÿò, ÷òî ξ(t) - ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ , åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõs, t, h ðàñïðåäåëåíèÿ ξ(t)−ξ(s) è ξ(t+h)−ξ(s+h) ñîâïàäàþò.
Ïðîöåññ ξ(t)íàçûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûì , åñëè ïðè s → t ñïðàâåäëèâîPξ(s) −→ ξ(t).Òåîðåìà 3 Ïóñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâåí,ñòàöèîíàðåí è èìååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ. Òîãäà äëÿ çàäàíèÿ åãî910Ãëàâà 3.Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìèêîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîñòàòî÷íî, êðîìå Pa , çàäàòü òîëüêîîäíî ðàñïðåäåëåíèå. Ýòèì ðàñïðåäåëåíèåì ìîæåò áûòü ëþáîå èç ðàñïðåäåëåíèé Pt,s .Äîêàçàòåëüñòâî . Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü,÷òî a = 0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
