PDF-лекции (1134113), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Åñëè áû ìû âçÿëèñüïðîãíîçèðîâàòü íà 2 øàãà, òî ïîëó÷èëè áû, ÷òîσ 2 (2) = 2π(c20 + c2−1 ) = 10π = Dξ(0),÷òî ïîäòâåðæäàåò ðåãóëÿðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåâîçìîæíî äàòü ïðîãíîç òî÷íåå, ÷åì ñ òî÷íîñòüþ äî äèñïåðñèè. Òàêèìîáðàçîì, ïðè ïðîãíîçå íà äâà è áîëåå øàãîâ íàèëó÷øèì ïðîãíîçîì ñëåäóåò ïðèçíàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ(t), èëè åãî îöåíêóm∗ =5.5.4ξ(−N ) + ... + ξ(0).N +1Çàäà÷à ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèÈç ïðåäûäóùèõ ïîäðàçäåëîâ ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî çíàíèå ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòè íàáëþäàåìîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ êðàéíå âàæíûìäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðîãíîçà. Ñ ïîìîùüþ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ðåøàþòñÿ òàêæå ìíîãèå äðóãèå èíòåðåñíûå çàäà÷è (íàïðèìåð, çàäà÷à ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èç ÷èñëà ðàññìîòðåííûõ íàìè).
Ïîýòîìó äàäèì ðåêîìåíäàöèè ïî åå îöåíêå ïî äàííûìíàáëþäåíèé íàä ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì.Âàæíîå çíà÷åíèå ïðè ýòîì èìååò ñòàòèñòèêàXẑT (X) =eisk ξ(s),|s|≤Têîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåẑT (X) =Zπ−πgT (x − y)dµ(y),5.5.37Ðåãóëÿðíûé ïðîãíîçãäå µ îðòîãîíàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìåðà èç ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ(t), àgT (u) =X−isue−iT u sin= e|s|≤TÑòàòèñòèêàϕT (X) =(2T +1)u2sin u2.1|ẑT (X)|22π(2T + 1)íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîãðàììîé è îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ çà îöåíêó ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè.Ïîêàæåì, ÷òî ïðè t → +∞ ïåðèîäîãðàììà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèíåñìåùåííîé îöåíêîé, åñëè òîëüêî f (λ) íåïðåðûâíà.
Çàìåòèì, ÷òîMϕT (X) =ZπηT (X − Y )f (Y )dY,−πãäåηT (u) =gT2 (u)−2π(2T + 1)ÿäðî Ôåéåðà. Î÷åâèäíî, ÷òîZπ−π2Zπ X1−isu ηT (u)du =e du = 1.2π(2T + 1) |s|≤T−π êóðñå ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f â âèäå èíòåãðàëà ñ ÿäðîì Ôåéåðà èìååòìåñòî MϕT (X) → f (X) ïðè T → +∞.38Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÃëàâà 6Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ èãèáåëè6.1Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿÏóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè èìåþòñÿ ÷àñòèöû.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èõ êîëè÷åñòâî â ýòîé îáëàñòè ñëó÷àéíî è îáîçíà÷èì pn (t) âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t èìåëîñòü ðîâíî n ÷àñòèö. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü,÷òî êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â îáëàñòè îáðàçóåò öåïü Ìàðêîâà ñ ñîñòîÿíèÿìè0,1, ... à âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì1. Pn,n+1 (∆t) = λn ∆t + o(∆t);2.
Pn,n−1 (∆t) = µn ∆t + o(∆t);3. Pn,n (∆t) = 1 − (λn + µn )∆t + o(∆t);4. Pi,j (0) = δi,j , ãäå δi,j − ñèìâîë Êðîíåêåðà, ðàâíûé íóëþ ïðè íåñîâïàäåíèè èíäåêñîâ è åäèíèöå ïðè ñîâïàäåíèè.Èçâåñòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë λn åñòåñòâåííî íàçâàòü èíòåíñèâíîñòÿìè ðàçìíîæåíèÿ, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü µn èíòåíñèâíîñòÿìè ãèáåëè. Åñëè (∀n)µn = 0, òî ãîâîðÿò î ÷èñòîì ðàçìíîæåíèè, åñëè æå (∀n)λn =0, òî î ÷èñòîé ãèáåëè. Çàìåòèì, ÷òî èç ñôîðìóëèðîâàííûõ äîïóùåíèéñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ èëè ãèáåëè çà âðåìÿ ∆t îäíîâðåìåííîäâóõ èëè áîëåå ÷àñòèö åñòü o(∆t).Óêàæåì îäèí íàáîð äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëè ñïðàâåäëèâû âñå ôîðìóëû, âûïèñàííûå âûøå. Ïóñòü ÷àñòèöû ðàçìíîæàþòñÿ3940Ãëàâà 6.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèè ãèáíóò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ïðè÷åì êàæäàÿ èç íèõ çà ïðîìåæóòîê ∆t ïîðîæäàåò íîâóþ ñ âåðîÿòíîñòüþ b èëè ãèáíåò ñ âåðîÿòíîñòüþd (b + d ≤ 1).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîb = λ∆t + o(∆t),d = µ∆t + o(∆t).Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü çà âðåìÿ ∆t ðîäèòüñÿ èëè ïîãèáíóòüäâóì èëè áîëüøåìó êîëè÷åñòâó ÷àñòèö áóäåò ðàâíà o(∆t) íåçàâèñèìîîò òîãî, ñêîëüêî â îáëàñòè èìåëîñü ê ýòîìó ìîìåíòó ÷àñòèö.
Òåïåðü,îáîçíà÷àÿ bn (∆t), dn (∆t) ÷èñëà ðîäèâøèõñÿ è ïîãèáøèõ ÷àñòèö, ïîëó÷èìP(bn (∆t) = 1) = nλ∆t + o(∆t), P(dn (∆t) = 1) = nµ∆t + o(∆t),à çíà÷èò,Pn,n+1 (∆t) = P(bn (∆t) = 1, dn (∆t) = 0) + o(∆t) == (nλ∆t + o(∆t))(1 − nµ∆t + o(∆t)) + o(∆t) = nλ∆t + o(∆t);Pn,n−1 (∆t) = nµ∆t + o(∆t);Pn,n (∆t) = P(bn (∆t) = 0, dn (∆t) = 0) + P(bn (∆t) = 1, dn (∆t) = 1)++o(∆t) = = 1 − (λ + µ)∆t + o(∆t).Òåì ñàìûì, â ýòîì ñëó÷àå âñå ïðåäïîëîæåíèÿ îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè.6.2Îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿÏîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè.
Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòèpn (t + ∆t) = pn (t)(1 − nλ∆t + o(∆t))(1 − nµ∆t + o(∆t))++pn−1 (t)((n − 1)λ∆t + o(∆t))(1 − (n − 1)µ∆t + o(∆t))++pn+1 (t)((n + 1)µ∆t + o(∆t))(1 − (n + 1)λ∆t + o(∆t)).Îòñþäà íåòðóäíî ïîëó÷èòüpn (t + ∆t) − pn (t)= −n(λ + µ)pn (t) + (n − 1)λp( n − 1)(t)+∆t+(n + 1)µpn+1 (t) + o(1).6.2.41Îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, èìååìp0n (t) = −n(λ + µ)pn (t) + (n − 1)λpn−1 (t) + (n + 1)µpn+1 (t).Çäåñü ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî n ≥ 1. Åñëè æå n = 0, òî àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè âûâîäèìp00 (t) = µp1 (t).Óìíîæèì n-íîå óðàâíåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû íà xn è, ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì∞Xn=0p0n (t)xn = µ∞Xpn (t)xn−1 n + λx2n=1∞Xpn (t)xn−1 n−n=1−(λ + µ)∞Xpn (t)xn n.n=0Åñëè ìû òåïåðü îáîçíà÷èìF (x, t) =∞Xpn (t)xn ,n=0òî ïîëó÷åííîå âûøå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå∂F∂F= (µ − (λ + µ)x + λx2 ).∂t∂xÏðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî p1 (0) = 1, ò.å.
â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â îáëàñòè íàõîäèëàñü îäíà ÷àñòèöà. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò,÷òî pn (0) = 0 ïðè n > 1. ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ñîñòàâèì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå.dt =−dx,µ − (λ + µ)x + λx2îòêóäàc−t=Zdx1 Z1λ=(−)dx =2µ − (λ + µ)x + λxµ−λ1 − x µ − λx µ − λx 1=ln .µ−λ1−x 42Ãëàâà 6.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèÎáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ò.î., áóäåò! µ − λx 1F (t, x) = Rln +tµ−λ 1−x ,ãäå R - ïðîèçâîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðè t = 0x, èëè! µ − λx 1Rln + t = x,µ−λ 1−x è R åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ u =R(u) =1µ−λln µ−λx . Ñëåäîâàòåëüíî,1−xµ − e(µ−λ)u.λ − e(µ−λ)uÏîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå âìåñòî u àðãóìåíò R, èìååìF (x, t) =µ(1 − e(µ−λ)t ) + x(λe(µ−λ)t − µ).λ − µe(µ−λ)t + λx(e(µ−λ)u − 1)Ðàçëàãàÿ F â ðÿä ïî ñòåïåíÿì x, íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òîpn (t) =(µ − λ)2 e(µ−λ)t 1 − e(µ−λ)tp0 (t) =n−1λn−1(λ − µe(µ−λ)t )n+1µ 1 − e(µ−λ)tλ − µe(µ−λ)t, p1 (λ) =µ,λp1 (t) −→ 1 −à åñëè, íàîáîðîò, µ > λ, òîp0 (t) → 1,Âûâîäû ñäåëàéòå ñàìè!, n ≥ 1,λ−µ.λ − µe(µ−λ)tÏóñòü µ < λ. Òîãäà ïðè t → ∞p0 (t) −→F (x, t) =p1 (t) → 0.µ,λ6.3.43Óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà6.3Âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ è óðàâíåíèÿ ÊîëìîãîðîâàÎáîçíà÷èì ÷åðåç Tn âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî îáùåå ÷èñëî ÷àñòèö âîáëàñòè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è ðàâíûì n (âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ ïðîöåññàâ ñîñòîÿíèè n), Fn (T ) = P(TN ≥ t).
Òîãäà ìîæíî ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõðàíåå ïðåäïîëîæåíèé ñ÷èòàòü, ÷òîFn (t + ∆t) = Fn (t)Pn,n (∆t) + o(∆t) = Fn (t) − Fn (t)(λn + µn ) + o(∆t),îòêóäàFn (t + ∆t) − Fn (t)= (λn + µn )Fn (t) + o(1).∆tÏåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè ∆t → 0 è ðåøèì ïîëó÷èâøååñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ Fn (0) = 1 ïîëó÷èìFn (t) = exp{−(λn + µn )t},÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λn + µn :P(Tn < t) = 1 − e−((λn +µn )t ,t ≥ 0.Âûâåäåì òàêæå è óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðîöåññà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòèPn,k (t + h) = Pn,n−1 (h)Pn−1,k (t) + Pn,n (h)Pn,k (t)++Pn,n+1 (h)Pn+1,k (t) + o(h),n > 0,P0,k (t + h) = P0,0 (h)P0,k (t) + P0,1 (h)P1,k (t) + o(h).Äåëÿ íà h è óñòðåìëÿÿ åãî ê 0, ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé:0P0,k(t) = λ0 P0,k (t),0Pn,k (t) = µn Pn−1,k (t) − (λn + µn )Pn,k (t) + λn Pn+1,k (t), n > 0.Ýòà ñèñòåìà íîñèò íàçâàíèå ñèñòåìû îáðàòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà .
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü ñèñòåìóïðÿìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà :0(t) = −λ0 Pn,0 (t) + µ1 Pn,1 (t),Pn,00Pn,k (t) = µk+1 Pn,k+1 (t) − (λk + µk )Pn,k (t) + λk−1 Pn,k−1 (t), n > 0.44Ãëàâà 6.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèÐàçíèöà â íàçâàíèÿõ è ñïîñîáàõ ïîëó÷åíèÿ ýòèõ ñèñòåì îáúÿñíÿåòñÿ òåì,÷òî äëÿ îáðàòíîé ñèñòåìû ó íàñ èçó÷àåòñÿ êàê áû "ïðåäûñòîðèÿ"ïîïàäàíèÿâ ñîñòîÿíèå k , à äëÿ ïðÿìîé ñèñòåìû íàñ èíòåðåñóþò "ïîñëåäñòâèÿ"âûõîäàñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ n.Åñëè, íåçàâèñèìî îò âûáîðà i äëÿ êàæäîãî j îïðåäåëåíûpj = lim Pi,j (t),t→∞ïðè÷åì j pj = 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëà p0 , p1 , ... îáðàçóþò ñòàöèîíàðíîåðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîöåññà ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè.
Ýòè÷èñëà, î÷åâèäíî, ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü, êàê âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòüâ îáëàñòè j ÷àñòèö ÷åðåç äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ.Åñëè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñóùåñòâóåò, òî èç ñèñòåìû ïðÿìûõóðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà, ïåðåõîäÿ â íèõ ê ïðåäåëó ïðè t → ∞, ïîëó÷èìñèñòåìó äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ:P−λ0 p0 + µ1 p1 = 0,λk+1 pk+1 − (λk + µk )pk + µk+1 pk+1 = 0, k > 0.(6.1)Ïóñòüλ0 ...λj−1, j ≥ 1.µ1 ...µjÏîêàæåì ïðè ïîìîùè ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû(6.1) èìåþò âèäπjpj = P, j ≥ 0.(6.2)k πkÄåéñòâèòåëüíî, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (6.1) ñëåäóåòπ0 = 1,πj =p1 =λ0p0 = π1 p0 .µ1Ïóñòü ïðè k ≤ j äîêàçàíà ôîðìóëà pk = πk p0 .
Òîãäà, âíîâü ïðèâëåêàÿñèñòåìó, ïîëó÷àåìλj π jp0 ,pj+1 =µj+1îòêóäà ñðàçó æå èìååì pj+1 = πj+1 p0 . Ñëîæèì âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ñîîòíîPøåíèÿ è ó÷òåì, ÷òî k pk = 1. ÒîãäàXπ01 = p0πk ⇒ p0 = P.πkkkÎòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ôîðìóëà (6.2).6.4.45Ïðèìåðû6.46.4.1ÏðèìåðûËèíåéíûé ðîñò ñ èììèãðàöèåéÏóñòü â ìîäåëè ïðîöåññà ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè λn = λn + a, µn = µn,÷òî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê íàëè÷èå ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè ðîñòà è ãèáåëè ïðè íàëè÷èè íåèçìåííîé îòíîñèòåëüíî îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèöñîñòàâëÿþùåé ðîñòà a.
Ýòó ñîñòàâëÿþùóþ óäîáíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàêèììèãðàöèþ, íå ñâÿçàííóþ ñ êîëè÷åñòâîì ÷àñòèö â îáëàñòè. Ïðèâëåêàÿñèñòåìó ïðÿìûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà, ïîëó÷èì0Pn,0(t) = −aP1,0 + µP1,1 (t),0Pi,j (t) = (a + λ(j − 1))Pi,j (t)−−((λ + µ)j + a)Pi,j (t) + µ(j + 1)Pi,j+1 (t), j ≥ 1.Óìíîæèì j -å óðàâíåíèå íà j è ñóììèðóåì. Îáîçíà÷èì M (t) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîöåññà è äîïóñòèì, ÷òî ξ(0) = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.Òîãäà ïîëó÷èìM 0 (t) = a + (λ − µ)M (t).Åñëè λ 6= µ, òî, ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷èìln c(a + (λ − µ)M )= t.λ−µÏîäñòàâëÿÿ ñþäà t = 0, íàõîäèìc =1.a + (λ − µ)Îêîí÷àòåëüíî,M (t) =a (λ−µ)te− 1 + ie(λ−µ)t .λ−µÎòìåòèì, ÷òî ïðè λ > µ M (t) íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåìâðåìåíè, åñëè æå λ < µ, òî, ìîíîòîííî óáûâàÿ, ñòðåìèòñÿ ê λ/(µ − λ).Åñëè æå λ = µ, òîM (t) = at + i,M (t) −→ ∞.466.4.2Ãëàâà 6.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèÎáðàçîâàíèå î÷åðåäè â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿÐàññìîòðèì îáñëóæèâàíèå êëèåíòîâ íåêîòîðîé ñèñòåìîé íàïðèìåð, âûáèâàíèå ÷åêîâ êàññîé èëè ñòðèæêà â ïàðèêìàõåðñêîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
