PDF-лекции (1134113), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïóñòü ϕt (λ) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿPt,0 .  ñèëó ïðåäñòàâëåíèÿξ(t) − ξ(0) =nXi=1it(i − 1)tξ−ξnn!!è ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå(∀t, n, λ) ϕt (λ) = ϕnt (λ).n(3.1)Ïîêàæåì äàëåå, ÷òî íè ïðè îäíîì λ ϕt (λ) íå îáðàùàåòñÿ â 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè n → ∞ ñïðàâåäëèâîξtn P− ξ(0) −→ 0,îòêóäà, ïî îñíîâíîé òåîðåìå î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ, ϕt/n (λ)ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê òîæäåñòâåííîé åäèíèöå.
Òåïåðü òðåáóåìîå ñëåäóåò èç (3.1).Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Ψt (λ) ñ óñëîâèåìϕt (λ) = exp {Ψt (λ)} .Ñëåäóþùåé íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî(∀t, λ) Ψt (λ) = tΨ1 (λ) ≡ tΨ(λ).Ïóñòü ñíà÷àëà t = n1 . Âûáåðåì â (3.1) t = 1, îòêóäàϕ1 (λ) = ϕn1/n (λ) =⇒ exp Ψ(λ) = exp{nΨ1/n (λ)},÷òî îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü (3.2) äëÿ t = n1 . Çàìåòèì äàëåå, ÷òîm Xmjj−1ξ− ξ(0) =ξ−ξ,nnnj=1(3.2)11à çíà÷èò, ϕm/n (λ) = ϕm1/n (λ), ÷òî âëå÷åò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâàmΨ(λ).nnÅñëè, íàêîíåö, t > 0 ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ðàññìîòðèìïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñõîäÿùóþñÿ ê t.  ñèëó ñòîõàñòè÷åñêîé íåïðåðûâíîñòèΨ mn (λ) = mΨ 1 (λ) =Pξ(xn ) − ξ(0) −→ ξ(t) − ξ(0),îòêóäà ϕxn (λ) → ϕt (λ), è xn Ψ(λ) → Ψt (λ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, xn Ψ(λ) →tΨ(λ), è äîêàçûâàåìîå ñîîòíîøåíèå (3.2) íåìåäëåííî ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà.Èòàê, ïóñòü ìû çíàåì P0,1 . Òîãäà ìû çíàåì åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêóþôóíêöèþ, à çíà÷èò è Ψ(λ). Ïî ôîðìóëå (3.2) è t âîññòàíàâëèâàåì Ψt ,çàòåì ϕt , à çíà÷èò, è ïðîèçâîëüíîå P0,t .
Òåîðåìà äîêàçàíà. çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ôîðìóëó äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà ξt̄ = (ξ(t1 ), ..., ξ(tn )), âûâîä êîòîðîé îñòàâëÿåì÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ, ïîëåçíîãî äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ íàâûêîââ èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.nXϕt̄ (~λ) = ϕa (Λn ) · exp j=1ãäåΛk =kX(tj − tj−1 )Ψ(Λn − Λn−1 ) ,λj ,Λ0 = 0,j=1ϕa õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Pa .Îäíèì èç ÷àñòî ïðèìåíÿåìûõ îáîáùåíèé ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Çäåñü ìû äàäèìòîëüêî îïðåäåëåíèå, çà ôîðìóëèðîâêàìè è äîêàçàòåëüñòâàìè ñâîéñòâìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ è èõ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ äèñêðåòíûõ îäíîðîäíûõöåïåé Ìàðêîâà îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê êíèãå À.À.Áîðîâêîâà.Ïóñòü ξ(t) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, îáîçíà÷èìF≤t = σ({ξ(s), s ≤ t}), F=t = σ(ξ(t)), F≥t = σ({ξ(s), s ≥ t}).Ïðîöåññ ξ(t) íàçûâàþò ìàðêîâñêèì , åñëè(∀t)(∀B ∈ F≥t ) P(B/F≤t ) = P(B/F=t ).12Ãëàâà 3.Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìèÃëàâà 4Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ4.1Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìèÏóñòü < Ω, F, P > âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ξ : Ω → C êîìïëåêñíîçíà÷íûé ñëó÷àéíûé ýëåìåíò, ò.å.
Reξ, Imξ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. ÂâåäåìL2 = L2 (Ω, F, P) = {ξ| M|ξ|2 < ∞}.Íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó:< ξ, η > = Mξ η̄,kξk2L2 =< ξ, ξ > = M|ξ|2 .Îáîçíà÷èì m(t) = Mξ(t), ξ∗ (t) = ξ(t) − m(t). Î÷åâèäíî, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà äîëæíà áûòü â ýòîé ñèòóàöèè îïðåäåëåíàñëåäóþùèì îáðàçîìK(t, s) ≡ Mξ∗ (t)ξ¯∗ (s),à ñâîéñòâî íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè (1.1) ïðèìåò âèä(∀k)(∀ c1 , ..., ck ∈ C) (∀t1 , ..., tk ∈ T )k XkXci c̄j K(ti , tj ) ≥ 0.i=1 j=1Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò(∀s, t) K(t, s) = K(s, t).13(4.1)14Ãëàâà 4.Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâÏîëíîòà ïîñòðîåííîãî ïðîñòðàíñòâà âî ââåäåííîé íîðìå ïðîâåðÿåòñÿ òåìè æå ìåòîäàìè, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõñ êâàäðàòîì ôóíêöèé â ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå.
Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé äîâîëüíî ïðîñòîé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà:Ëåììà 2  ïðîñòðàíñòâå L2 ñóùåñòâóåò ïðåäåë ξ(t) ïðè t → t0 òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà (∃m) m(t) → m è(∃K) lim K(t, s) = K.s,t→t0L2Äîêàçàòåëüñòâî . Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ξ(t) −→ ξ. Òîãäà, âûáðàâ m =Mξ, K = Mξ∗ ξ¯∗ , ãäå ξ∗ = ξ − m, ïîëó÷èìqM|ξ(t) − ξ|2 → 0,|m(t) − m| ≤ M|ξ(t) − ξ| ≤à òàêæå|K(t, s) − K| ≤ |Mξ∗ (t)ξ¯∗ (s) − Mξ∗ (t)ξ¯∗ | + |Mξ∗ (t)ξ¯∗ − Mξ∗ ξ¯∗ | ≤≤qM|ξ∗ (t)|2 M|ξ∗ (s) − ξ∗ |2 +qM|ξ∗ |2 M|ξ∗ (t) − ξ∗ |2 ≤+c(kξ∗ (s) − ξ∗ k + kξ∗ (t) − ξ∗ k),÷òî ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè s, t → t0 .Äîñòàòî÷íîñòü. Çàìåòèì, ÷òîkξ(t) − ξ(s)k2 = |m(t) − m(s)|2 + kξ∗ (t) − ξ∗ (s)k2 .Íîkξ∗ (t) − ξ∗ (s)k2L2 = K(t, t) + K(s, s) − 2ReK(t, s),îòêóäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ëåììû ñëåäóåò, ÷òîkξ( t) − ξ( s)k2L2 −→ 0ïðè (t − s) → 0, ÷òî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå íóæíîãî ïðåäåëà â ñèëóïîëíîòû ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ëåììà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè ξ(t) ê ξ â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà L2èìååò ìåñòî òàêæå ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè è ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Ýòîíåìåäëåííî ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è íåðàâåíñòâà Ï.Ë.×åáûøåâà:M|ξ(t) − ξ|P(|ξ(t) − ξ| ≥ ε) ≤≤εäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0.qkξ(t) − ξkε4.2.4.215Ïðîèçâîäíàÿ è èíòåãðàëÄèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå âñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîìL2 äàëüíåéøåì, åñëè ξ(t) −→ξ , ïðè t → a, óñëîâèìñÿ ïèñàòül.i.m.t→a ξ(t) = ξè íàçûâàòü ýòîò ïðåäåë ïðåäåëîì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì .
Ïîëîæèìïðè h, a ∈ Rξ(a + h) − ξ(a)∆h ξ(a) =.hÅñëè(∃z ∈ L2 ) z = l.i.m.h→0 ∆h ξ(a),òî ξ(t) íàçûâàþò äèôôåðåíöèðóåìûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êåa, à z ïðîèçâîäíîé ïðîöåññà â ýòîé òî÷êå. Îáîçíà÷åíèå z = dξ(a). Èçdtëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì:Ëåììà 3 Ïðîöåññ ξ(t) áóäåò äèôôåðåíöèðóåìûì â ñðåäíåì êâàäðàòè-÷åñêîì â òî÷êå a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:• â ýòîé òî÷êå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ m(t) = Mξ(t) â îáû÷íîìñìûñëå;• êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà èìååò â ýòîé òî÷êå îáîáùåííóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, ò.å.Ds Dt K(t, s)|t=s=a =limh,q→0K(a+h,a+q)−K(a,a+q)−K(a+h,a)+K(a,a)nq< ∞.Òåîðåìà 4 Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî a ∈ [A, B] îïðåäåëåíà îáîáùåííàÿâòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ Ds Dt K(t, s)|t=s=a , òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ∗ (t) äèôôåðåíöèðóåì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì íà [A, B], ñóùåñòâóþò îáû÷íûå∂2K÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂K, ∂Kè ∂t∂s, ïðè÷åì äëÿ õàðàêòåðèñòèê ïðî∂t∂sèçâîäíîé ïðîöåññà èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿMξ∗ (t)dξ∂K(s) =(t, s),ds∂sMdξ dξ∂2K(t) (s) =(t, s).dt ds∂t∂s16Ãëàâà 4.Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâÄîêàçàòåëüñòâî .
ñðàçó æå ñëåäóåò èç óñëîâèé òåîðåìû è äîêàçàííûõâûøå ëåìì.Ïóñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) çàäàí íà [A, B], A = t0 < t1 < ... <tm = B , ∆tj = tj − tj−1 . ÐàññìîòðèìSm =mXξ(θj )∆tj ,θj ∈ [tj−1 , tj ], j = 1, ..., m.j=1Ãîâîðÿò, ÷òî ïðîöåññ ξ(t) èíòåãðèðóåì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì , åñëèíàéäåòñÿ ýëåìåíò I ∈ L2 òàêîé, ÷òî íåçàâèñèìî îò âûáîðà òî÷åê tj , θjñïðàâåäëèâîI = l.i.m.∆→0 Sm , ∆ = max ∆tj .jÎáîçíà÷åíèå, ïðèíÿòîå äëÿ èíòåãðàëà I îò ïðîöåññà â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì ñîâïàäàåò ñ îáîçíà÷åíèåì îáû÷íîãî èíòåãðàëà:I =ZBξ(t) dt.AÏðè ýòîì, êîíå÷íî æå, íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî I ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ñ êâàäðàòîì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.
Ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 5 Ïóñòü m(t) èíòåãðèðóåìà íà [A, B] è îïðåäåëåí äâîéíîé èíRB RBòåãðàëK(t, s)dtds, òîãäà ïðîöåññ ξ(t) èíòåãðèðóåì â ñðåäíåì êâà-AAäðàòè÷åñêîì, ïðè÷åìZBZBAAMξ∗ (t) ξ∗ (t)dt =4.3K(t, s)ds, MZBAZBZB ZBAA Aξ∗ (t)dt ξ∗ (t)dt =K(t, s)dtds.Ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë îò íåñëó÷àéíîéôóíêöèèÏóñòü U ìíîæåñòâî, A íåêîòîðûé ïîäêëàññ P(U ) (ñèñòåìû ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà U ), m̂ êîíå÷íàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà íà σ(A).µ : A → L2 (< Ω, F, P >) íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé îðòîãîíàëüíîéñòîõàñòè÷åñêîé ìåðîé ñî ñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé m̂, åñëè:4.3.17Ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë1.
µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) ïðè A1 ∩ A2 = ∅;2. (∀A) Mµ(A) = 0, M|µ(A)|2 = m̂(A);3. Mµ(A)µ(B) = 0 ïðè AB = ∅ (óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè).Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîL2 (m̂) =ψ : U → C|ZU|ψ(t)|2 dm̂ < ∞ .Ïóñòü A1 , ..., Ak ∈ A îáðàçóþò êîíå÷íîå ðàçáèåíèå U . Òîãäàϕ(t) =kXcj 1Aj (t) ∈ L2 (m̂)−j=1ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà êîíñòàíò c1 , ..., ck (çäåñü 1A èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A.) Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèìZϕ(t)dµ =UkXcj µ(Aj ).j=1Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ϕ ∈ L2 (m̂) ìîæíî îáû÷íûìè ñïîñîáàìè ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùèõñÿ ê ϕ â ïîòî÷å÷íîì ñìûñëå. Äëÿ òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëàãàåìZZϕ(t)dµ = l.i.m. ϕn (t)dµ.UU îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèå çàâåðøàåòñÿ ðàçáèåíèåì íåñëó÷àéíîé ôóíêöèè èç L2 (m̂) íà ïîëîæèòåëüíóþ è îòðèöàòåëüíóþ ÷àñòè.Ïóñòü ϕ(t), ψ(t) ïðîñòûå ôóíêöèè.
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîϕ(t) =Xfj 1Aj ,ψ(t) =jXgj 1Ajjäëÿ îäíîãî íàáîðà Aj , j = 1, ..., n. Òîãäàϕ(t)dµ, U ψ(t)dµ >L2 = M U ϕ(t)dµ · U ψ(t)dµ =PP= j,k fj ḡk Mµ(Aj )µ(Ak ) = k fk g¯k m̂(Ak ) = < ϕ, ψ >L2 (m̂) .<RURRR18Ãëàâà 4.Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâÅñëè ôóíêöèè ϕ, ψ ∈ L2 (m̂) íå áûëè ïðîñòûìè, òî ïðè ïîìîùè î÷åâèäíûì îáðàçîì îðãàíèçîâàííîãî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñîîòíîøåíèå<ZUϕ(t)dµ,ZUψ(t)dµ >L2 (Ω,F ,P) = < ϕ, ψ >L2 (m̂) .Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíàÒåîðåìà 6 Ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë îñóùåñòâëÿåò èçîìåòðè÷åñêîåñîîòâåòñòâèå ìåæäó L2 (< Ω, F, P >) è L2 (m̂).Ãëàâà 5Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ èçàäà÷à ïðîãíîçèðîâàíèÿñëó÷àéíîãî ïðîöåññà5.1Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿÏóñòü ξ(t) ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, çàäàííûé íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, èëè íà êàêîì-òî åå îòðåçêå [A, B], Mξ(t) = 0.
Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé ñèòóàöèè èìååò âèäK(t, s) = Mξ(t)ξ(s) = Mξ(t − s + A)ξ(A) = K(t − s),òî åñòü ìîæåò áûòü çàìåíåíà ôóíêöèåé îäíîãî àðãóìåíòà. Óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè (4.1) ïåðåïèøåòñÿ òåïåðü â âèäå(∀k)(∀ c1 , ..., ck ∈ C) (∀t1 , ..., tk ∈ [A, B])k XkXci c̄j K(ti − tj ) ≥ 0. (5.1)i=1 j=1Âûâåäåì èç ýòîãî óñëîâèÿ íåêîòîðûå íåñëîæíûå ñëåäñòâèÿ.Ëåììà 41.
K(0) íåîòðèöàòåëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî;2. (∀t) K(t) = K(−t);3. (∀t) |K(t)| ≤ K(0).1920Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÄîêàçàòåëüñòâî . 1). Âçÿâ â (5.1) k = 1, c1 = 1, t1 = 0, ïîëó÷èì K(0 −0) ≥ 0.2). Ïîëàãàÿ â óñëîâèè íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè k = 2, t1 =t, t2 = 0, âèäèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñíûõ êîíñòàíò c1 , c2âûïîëíåíî(|c1 |2 + |c2 |2 )K(0) + c1 c̄2 K(t) + c̄1 c2 K(−t) ≥ 0.(5.2) ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè êîíñòàíò è ïóíêòà 1 ëåììû îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî(∀a ∈ C) aK(t) + āK(−t) ∈ R.Ïóñòü a = a1 +ia2 , K(t) = K1 +iK2 , K(−t) = K3 +iK4 . Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿýòè âûðàæåíèÿ â ôîðìóëóIm(aK(t) + āK(−t)) = 0,ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a1 , a2 äîëæíîâûïîëíÿòüñÿa1 (K2 + K4 ) + a2 (K1 − K3 ) = 0,îòêóäà K2 = −K4 , K1 = K3 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
