PDF-лекции (1134113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âûáåðåì â (5.1) k = 2, t1 = 0, t2 = t, c1 = −K(0), c2 = K(t). Òîãäàèç (5.2) âèäèì, ÷òî(K 2 (0) + |K(t)|2 )K(0) − K(0)|K(t)|2 − K(0)|K(t)|2 ≥ 0,÷òî ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïðåâðàùàåòñÿ â íåðàâåíñòâîK 2 (0) − |K(t)|2 ≥ 0.Ëåììà äîêàçàíà.Òåîðåìà 7 (Áîõíåð-Õèí÷èí) Êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâè-òåëüíîãî àðãóìåíòà K(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè (5.1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (λ) òàêàÿ, ÷òîZ∞K(t)=eitλ dF (λ).(∀t)K(0)−∞(5.3)5.1.21Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿÔóíêöèÿ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå, íîñèò íàçâàíèå ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè , à ïðåäñòàâëåíèå (5.3) íàçûâàþò ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áîõíåðà - Õèí÷èíà ìîæíî íàéòè â êíèãå Á.Â. Ãíåäåíêî "Êóðñ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé", ïàðàãðàô 37. Çäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì ïîäîáíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Òåîðåìà 8 K(n), n ∈ Z íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ñìûñëå (5.1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (λ), ñîñðåäîòî÷åííîãî íàèíòåðâàëå [−π, π], ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî öåëîãî n ñïðàâåäëèâîK(n) = K(0)Zπeinλ dF (λ),−πïðè÷åì ýòà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.Äîêàçàòåëüñòâî . Ìîæíî ñ÷èòàòü,÷òî K(0) = 1 (èíà÷å ïåðåéäåì ê ðàñq˜ñìîòðåíèþ ξ(n)èìååòñÿ, òîXj,kξ(n)/ K(0) ). Åñëè ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå=cj c̄k K(nj − nk ) =Zπ X−π j,k2Zπ Xiλ(nj −nk )iλnj cj c̄k edF (λ) =cj e dF (λ) ≥ 0, j−π÷òî îçíà÷àåò çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòè.Îáðàòíî. Ïóñòü ñïðàâåäëèâî (5.1). Âîçüìåì ρ ∈ (0, 1).
Ïðè u ∈ [−π, π]ðàññìîòðèì1 XK(t)ρ|t| e−iut .fρ (u) =2π t∈ZÒàê êàê |K(t)| ≤ K(0) = 1, òî ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà âûïèñàííûéðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî u. Ïðè ýòîì èç îáû÷íûõ ôîðìóë äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå èìååìK(t)ρ|t|=Zπ−πitλe fρ (λ)dλ, 1 =Zπfρ (λ)dλ.−πÈç âòîðîé ÷àñòè âûïèñàííîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè òîãî,÷òî ôóíêöèÿ fρ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, äîñòàòî÷íî22Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿïðîâåðèòü åå íåîòðèöàòåëüíîñòü. Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå ïðåäñòàâëåíèÿâ (5.1).0 ≤==Pn≥0P∞m=0Pn≥0P∞m=n+1P∞n=0ρn eiun ρm e−ium K(n − m) =P∞m=n+1+Pm≥0P+n≥0P∞n=mPnm=0(...) =ρn+m e−iu(m−n) K(n − m).Îáîçíà÷èâ m − n çà z , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî0 ≤=Pz∈ZPn≥0Pz∈Zρ|z|+2n e−iuz K(z) =ρ|z| eiuz K(z) ·P∞n=0ρ2n =2πfρ (u),1−ρ2îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî fρ ïëîòíîñòü.
ÂâåäåìFρ (λ) =Zλfρ (u)du.−πÏîíÿòíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþôóíêöèþ ρ|t| K(t). Ïðè ρ → 1 ýòà ôóíêöèÿ ñõîäèòñÿ ê K(t). Ïî îñíîâíîéòåîðåìå î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ, Fρ → F , ãäå F íåêîòîðàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé K(t), ò.å.K(t) =Zπeitλ dF (λ).−πÒåì ñàìûì òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.Áóäåì äî êîíöà ðàçäåëà, åñëè íå îãîâîðåíî èíîå, ñ÷èòàòü, ÷òî A àëãåáðà îòðåçêîâ [−π, π], åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è â R â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hξ çàìûêàíèå â L2 (< Ω, F, P >) ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âèäàPj αj ξ(tj ), è ïóñòü Pξ ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé, ò.å.ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Òåîðåìà 9 Ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿìåðà µ : A → Hξ ñî ñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé m(A) = K(0)Pξ (A) òàêàÿ,÷òîZ(∀t)ξ(t) =eitu dµ(u),(5.4)ïðè÷åì èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî èíòåðâàëó [−π, π] â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîéñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïî (−∞, ∞) â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå.5.1.23Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî .
Ïîñòðîèì èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå I : L2 (m) →Hξ . Äëÿ íà÷àëà ïîëîæèìIkXj=1kXcj eitj u =cj ξ(tj ).j=1Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèé ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî èçîìåòðè÷íîñòè:¯< I(eitu ), I(eisu ) >L2 (<Ω,F ,P>) = Mξ(t)ξ(s)= K(t − s),< eitu , eisu >L2 (m) =Zeitu eisu dm(u) =Zei(t−s)u dµ(u) = K(t − s).Îòìåòèì òåïåðü, ÷òî êîíå÷íûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ôóíêöèé eitu âñþäó ïëîòíû â L2 (m). Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ïðîñòðàíñòâå âñþäó ïëîòíî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé, â íåì äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ, â ïîñëåäíåì ïåðèîäè÷åñêèõ, â êîòîðîì âñþäó ïëîòíî ìíîæåñòâî÷àñòè÷íûõ ñóìì ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ Ôóðüå, ò.å. èìåííî òàêèõ ëèíåéíûõêîìáèíàöèé.Ïóñòüµ(A) = I(1A ), A ∈ A,òîãäà, ïîñêîëüêó I ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, à äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ A, B ñïðàâåäëèâî 1A∪B = 1A + 1B , òîµ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî2(∀A ∈ A) M|µ(A)| =Z12A dm = m(A).Íàêîíåö, äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ A, B ñïðàâåäëèâîMµ(A)µ(B) = < µ(A), µ(B) >L2 (<Ω,F ,P>) =R= < 1A , 1B >L2 (m) = 1A 1B dm = m(A ∩ B).Òåì ñàìûì, µ ýëåìåíòàðíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìåðà ñîñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé m.
Ñîãëàñíî ñàìîìó îïðåäåëåíèþ I , äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t âûïîëíåíîituξ(t) = I(e ) =Zeitu dµ(u).24Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÒåîðåìà äîêàçàíà.RÑëåäñòâèå . Ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë f (u)dµ(u) îñóùåñòâëÿåòèçîìåòðè÷åñêîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè L2 (m) è Hξ ,ïðè÷åìeiut 7→ ξ(t).Îòìåòèì, ÷òî âìåñòî ñòîõàñòè÷åñêîé ìåðû â ïîñëåäíåì ïðåäñòàâëåíèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññZ(u) = µ((−∞, u)).Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ââåäåííûì ðàíåå ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (5.4) è çàïèñüþξ(t) =Zeitu dZ(u)òàêîå æå, êàê ñîîòíîøåíèå ìåæäó îáû÷íîé çàïèñüþ èíòåãðàëà Ëåáåãà Ñòèëüòüåñà è çàïèñüþ ýòîãî èíòåãðàëà êàê èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòíîéìåðå íà (−∞, ∞).
Ïðîöåññ Z(u) â ïîñëåäíåé çàïèñè îáëàäàåò îðòîãîíàëüíûìè ïðèðàùåíèÿìè , ò.å. ïðè ïðîèçâîëüíîì âûáîðå ÷èñåë a < b < c < dñïðàâåäëèâîM(Z(b) − Z(a))(Z(d) − Z(c)) = 0.Ïðèìåð. Ïóñòü A, η íåîòðèöàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ϕ èìååòðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà [−π, π] è íå çàâèñèò îò A, η . Ðàññìîòðèìñëó÷àéíûé ïðîöåññ11ξ(t) = A cos(ηt + ϕ) = Aeiηt eiϕ + Ae−iηt e−iϕ .22Ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ýòîãî ïðîöåññà. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîöåññ ñ îðòîãîíàëüíûìè ïðèðàùåíèÿìè ïîñòîÿíåí íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (−∞, −η), (−η, η), (η, ∞). òî÷êå −η îí ñîâåðøàåò ñêà÷îê âåëè÷èíû 12 Ae−iϕ , à â òî÷êå η 12 Aeiϕ .Ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà µ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ξ(t) ñîñðåäîòî÷åíà âäâóõ òî÷êàõ ±η .5.2Ôîðìóëà Êîòåëüíèêîâà - Øåííîíà êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèéïîëó÷èì ôîðìóëó, íàõîäÿùóþ ñâîè ïðèëîæåíèÿ ïðè îðãàíèçàöèè ñèñòåì5.3.25Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿñâÿçè.
Ïóñòü ξ(t), t ∈ Z ñòàöèîíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì a íîñèòåëü ñïåêòðàëüíîéìåðû m ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñðåäîòî÷åí â [− πa , πa ]. Òîãäà íà ýòîìíîñèòåëå ðàâíîìåðíî (è àáñîëþòíî) ñõîäèòñÿ ðÿäXαz eizna = eiut ,z∈Zãäåαz =sinπt− πzaπt− πza−êîýôôèöèåíò Ôóðüå. Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò ñõîäèìîñòü âL2 , à çíà÷èò èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèåξ(t) =Zπiute dµ(u) =Xz∈Z−παzZπeizau dµ(u),−πîòêóäà ñëåäóåò, ÷òîξ(t) =Xαz ξ(az).z∈ZÝòà ôîðìóëà è íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Êîòåëüíèêîâà - Øåííîíà.
Îíà,â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîé ñèòóàöèè äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ëþáîãîçíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ äîñòàòî÷íî çíàòü, êàêèå çíà÷åíèÿ îíàïðèíèìàëà â ìîìåíòû âðåìåíè, êðàòíûå a.5.3Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâÇäåñü ìû ðàññìîòðèì îäíî èç ïðèìåíåíèé ñïåêòðàëüíîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ÷òî ïîçâîëèò íàì èçó÷àòü èíòåãðàëû èïðîèçâîäíûå îò ïðîöåññîâ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå.
Ïóñòü A ëèíåéíûé îïåðàòîð, ÿâëÿþùèéñÿ êîìáèíàöèåé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ è èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ÿäðàìè, çàâèñÿùèìèëèøü îò ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ. Ïðèìåíåíèå òàêèõ îïåðàòîðîâ ê ñòàöèîíàðíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì â ðåçóëüòàòå ñíîâà äàåò ñòàöèîíàðíûéïðîöåññ. Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ðåçóëüòèðóþùåãî ïðîöåññà.26Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÑíà÷àëà ðàññìîòðèì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïóñòüξ(t) =Zeitλ dµ(λ),ãäå èíòåãðàë ïî çàêëþ÷åííîìó âûøå ñîãëàøåíèþ áåðåòñÿ ëèáî ïî îòðåçêó [−π, π], ëèáî ïî âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, òîãäàZ i(t+h)λdξξ(t + h) − ξ(t)e− eitλ(t) = l.i.m.h→0= limdµ(λ).h→0dthhÏîñëåäíèé èíòåãðàë ïî ëåììå 2 ïåðåïèøåì â âèäåZZei(t+h)λ − eitλlimdµ(λ) =iλeitλ dµ(λ).h→0hÝòà ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà äîñòàòî÷íî ôîðìàëüíî ïðîèçâåñòè äèôôåðåíöèðîâàíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî ïðîöåññà ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïî t.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òîη(t) ≡ Aξ(t) =Òîãäàη(t) =Z ZZB(t − s)ξ(s)ds.B(t − s)eisλ dµ(λ)ds =ãäåg(λ) =ZZg(λ)eiλs dµ(λ),B(−u)eiλu du.Òàêèì îáðàçîì, íàìè ôàêòè÷åñêè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿËåììà 5 Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå η = Aξ(t), ãäå A îïåðàòîðîïèñàííîãî âûøå âèäà çàäàåòñÿ ôîðìóëîéη(t) =Zg(λ)eiλs dµ(λ),ãäå ôóíêöèÿ g(λ) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðèìåíèì îïåðàòîð Aê ôóíêöèè eitλ è ïîäñòàâèì òóäà t = 0:g(λ) = Aeitλ |t=05.4.27ÏðîãíîçÏðîäåìîíñòðèðóåì, êàê ýòà ëåììà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ïóñòü P ìíîãî÷ëåí.
Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ôîðìàëüíî çàïèñûâàåìîå â âèäå!dη(t) = ξ(t).dtPÒîãäà èç ëåììû âûòåêàåò, ÷òî ðåøåíèå åãî èìååò âèäη(t) =Zeiλtdµ(λ).P (iλ)Ïðè ýòîì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿZdm(λ)< ∞|P (iλ)|2(m ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ ìåðû µ). Åñëè ïîñëåäíåå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ, òî íè îäíîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ íåñóùåñòâóåò. Ýòî ñëåäóåò èç ëåììû 2.  ÷àñòíîñòè, ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèåóðàâíåíèÿdη(t) = ξ(t)dtñóùåñòâóåò â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäàZdm(λ)< ∞,λ2ïðè ýòîì îíî çàäàåòñÿ ôîðìóëîéη(t) =Zeitλdµ(λ) + ζ,iλãäå ζ ïðîèçâîëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, íå êîððåëèðîâàííàÿ ñ µ(C)(èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ñ Z(λ)).5.4Çàäà÷à ïðîãíîçà ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñèíãóëÿðíûé ñëó÷àéÍà÷íåì ñ îáùåé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïðîãíîçèðîâàíèÿ.
Ïóñòü ξ(t) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η èíòåãðèðóåìà ñ êâàäðàòîì, ò.å.28Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿη ∈ L2 (< Ω, F, P >). Òðåáóåòñÿ, íàáëþäàÿ çíà÷åíèÿ ïðîöåññà ξ(t), ïðåäñêàçàòü çíà÷åíèå íå íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû η . Îáîçíà÷èì ÷åðåç η̂≤t ïðîãíîç η ïî çíà÷åíèÿì ξ(s), s ≤ t íàèëó÷øèé â òîì ñìûñëå, ÷òîM (t) = M |η̂≤t − η|2ìèíèìàëüíî ñðåäè âñåõ äîïóñòèìûõ èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì ïðîãíîçîâ.Ïðîöåññ ξ(t) íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì ñëåâà , åñëè(∀η ∈ L2 (< Ω, F, P >)) lim M (t) = Dη,t→−∞è ñèíãóëÿðíûì ñëåâà , åñëè ýòîò ïðåäåë ðàâåí íóëþ.Ñìûñë ýòèõ îïðåäåëåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñèíãóëÿðíîì ñëó÷àåçíà÷åíèÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðåäñêàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî òî÷íîïî ñêîëü óãîäíî óäàëåííûì ïî âðåìåíè â ïðîøëîå ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèé, à â ðåãóëÿðíîì ñëó÷àå íåâîçìîæíî óêàçàòü çíà÷åíèå η ñ òî÷íîñòüþáîëåå âûñîêîé, ÷åì åå äèñïåðñèÿ.Ïîäîáíûì æå îáðàçîì äàþòñÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîöåññîâ, ðåãóëÿðíûõ èñèíãóëÿðíûõ ñïðàâà (â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåë â îïðåäåëåíèè âû÷èñëÿåòñÿïðè t → +∞), à òàêæå ïðîöåññîâ, ëèíåéíî ðåãóëÿðíûõ ñëåâà è ëèíåéíîñèíãóëÿðíûõ ñëåâà .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
